精品解析：江苏省海头高级中学2026-2027学年高一上学期第一次调研测试数学试卷

海头高中高一年级2026-2027学年度上学期第一次调研测试 数 学 试 卷 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 设为实数，已知，，且，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，且得或. 当时，；当时，. 所以的值为或. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”. 3. 下列运算结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误. 4. 若全集，，.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，得. 因为，，所以. 5. 命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出命题的否定，即可得到，根据二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】命题“”的否定为， 因为为真命题，又，当且仅当时取等号， 即，所以，即实数的取值范围是. 故选：B 6. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D错误. 7. 设正实数、满足，则下列说法正确的是（    ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式及“1”的技巧可判断A；根据基本不等式可判断BC；根据重要不等式可判断D. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于选项B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于选项D，，当且仅当时等号成立，故D错误． 8. 已知，，试用表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的转化得，再利用换底公式即可求解. 【详解】由，，得. 所以. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D正确. 10. 在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（ ） A. 天狼星的星等大约是南极星星等的倍 B. 太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是 C. 天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是 D. 天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用对数与指数的关系式即可求解，判断各选项的正误. 【详解】解：设太阳的星等与亮度为、，天狼星的星等与亮度为、，南极星的星等与亮度为、，由题意可知，，， 对于A，，则A选项正确； 对于B，由得，， 所以，即太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是，则B选项错误； 对于C，由得，， 所以，即天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是，则C选项正确； 对于D，由得，， 所以，即天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是，则D选项错误； 故选：AC. 11. 关于的方程的两实根为，，且，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，即可判断A，根据基本不等式即可求解B，利用，结合基本不等式即可求解CD. 【详解】由的两实根为，可得， 故，或， 对于选项A，，故A正确； 对于选项B，由，，可得， 则，解得，当且仅当时等号成立，故B错误； 对于选项C，由可得， 则， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于选项D，由可得，故，当且仅当，即时等号成立，故D正确， 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写答题卡相应位置上. 12. 当时，命题是真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据真命题的定义结合一元二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】由题意，当时，不等式为恒成立； 当时，由，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 13. 如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据图形由直角三角形相似可分别计算出各边长，可得，，，，利用图形中线段的大小关系即可得出结论. 【详解】由题意利用三角形相似可得，即得， 易知，又，所以由可得；即①正确； 在中，易知，所以可得， 由三角形相似可得，所以， 由可得，即②正确； 易知， 利用勾股定理可得， 所以由，即可以得，即③正确； 故答案为：①②③ 14. 若存在，使得成立，则实数的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，根据存在，，得到，转化后可利用基本不等式求最小值. 【详解】原不等式化为 由得.则. 因为存在，，则. 因为， 当且仅当，即时等号成立. 所以，即实数的最小值为. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1） （2）． （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 16. 甲：若关于的不等式的解集为；乙：若二次函数有两个零点. （1）写出当甲为真命题时，实数的取值集合； （2）写出当乙为真命题时，实数的取值集合； （3）若甲、乙至多有一个真命题时，求实数的取值集合. 【答案】（1） （2）或 （3）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立求出集合. （2）利用一元二次方程实根分布列式求出集合. （3）求出，进而求出其补集得集合. 【小问1详解】 由关于的不等式的解集为， 得，恒成立， 当时，成立，则； 当时，，解得. 所以实数的取值集合. 【小问2详解】 由题意，关于的方程有两个不相等的实根， 得，即或. 所以实数的取值集合或. 【小问3详解】 当甲、乙都是真命题时，， 因此当甲、乙至多有一个真命题时，或， 所以实数的取值集合或. 17. 某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上. （1）若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ （2）为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 【答案】（1）长度为米 （2）的长的范围是（单位：米） 【解析】 【分析】（1）设长度为米，求出，可得的面积的表达式，然后由基本不等式求解即可； （2）设的长为米，由，得，求得，得的面积的表达式，由题意列不等式，求解即可． 【小问1详解】 由题意，设长度为米，， ∵，∴， ∴的面积为， 由基本不等式， 当且仅当，即时等号成立， ∴当长度为米时, 的面积最大，最大值为平方米. 【小问2详解】 设的长为米，则为米，其中， ∵为矩形，， ∴，∴，则， 故，整理得， 又，则或， 故的长的范围是（单位：米）． 18. 已知全集，集合， （1）若，求； （2）若，且，求实数的取值范围. （3）若集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用集合的运算即可. （2）由得，从而可求的取值范围. （3）由已知得到⫋，转化为在上恒成立即可求解. 【小问1详解】 因为，所以或. 当时，， 故. 【小问2详解】 因为，则. 因为，此时，所以. 所以，解得，实数的取值范围是. 【小问3详解】 法1：= 因为是的必要不充分条件， 所以⫋，则⫋. 等价于在上恒成立， 所以， 即，即，. 所以实数的取值范围是. 法2：= 因为是的必要不充分条件，所以⫋. 令，解得. 当，即时，. 则，解得； 当，即时，，不符合题意； 当，即时，. ，不等式组无解. 综上，实数的取值范围是. 19. 已知函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1），. （2）不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值； （2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可； （3）利用换元法结合基本不等式求最值即可 【小问1详解】 由不等式的解集为 可得方程的两根为且， 由韦达定理得，解得，. 【小问2详解】 由得， 又因为，所以原不等式化为，即 当时，，得； 当时，的解是. 当时，不等式的解集为； 当时，，由不等式得； 当时，，由不等式得. 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 【小问3详解】 由得， ∵对恒成立， ∴， 化简得，且， 代入得 令，则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海头高中高一年级2026-2027学年度上学期第一次调研测试 数 学 试 卷 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 设为实数，已知，，且，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若全集，，.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 7. 设正实数、满足，则下列说法正确的是（    ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 8. 已知，，试用表示正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（ ） A. 天狼星的星等大约是南极星星等的倍 B. 太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是 C. 天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是 D. 天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是 11. 关于的方程的两实根为，，且，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写答题卡相应位置上. 12. 当时，命题是真命题，则实数的取值范围是______. 13. 如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是______.（写出所有正确命题的序号） 14. 若存在，使得成立，则实数的最小值为___________． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1） （2）． （3） 16. 甲：若关于的不等式的解集为；乙：若二次函数有两个零点. （1）写出当甲为真命题时，实数的取值集合； （2）写出当乙为真命题时，实数的取值集合； （3）若甲、乙至多有一个真命题时，求实数的取值集合. 17. 某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上. （1）若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ （2）为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 18. 已知全集，集合， （1）若，求； （2）若，且，求实数的取值范围. （3）若集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围 19. 已知函数. （1）当时，不等式的解集为，求实数的值； （2）若，且，求关于的不等式的解集； （3）若对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $