函数专题10函数单调性的相关问题（专项训练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数专题10函数单调性的相关问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01证明函数的单调性 题型02求函数的单调区间 题型03复合函数的单调性 题型04利用函数的单调性求参数 题型05利用函数的单调性解不等式 题型06利用函数图像解决单调性 题型07利用函数单调性求最值或值域 题型08利用函数最值或值域求参数 题型09函数不等式恒成立问题 题型10函数不等式能成立(有解)问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01证明函数的单调性 1．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数，且. (1)求的值. (2)用定义法证明函数在上是增函数. 【答案】(1)1； (2) 由（1）知，，任意， ， 当时，，则，即， 所以函数在上是增函数. 【分析】（1）根据给定条件，代入计算即得. （2）利用增函数的定义推理得证. 【详解】（1）函数，由，得，所以. （2）略 2．（25-26高一上·安徽铜陵·阶段检测）已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增，证明： 在上任取两个数，且， ，，， ， ，，， ，，在区间上单调递增. (2)最大值为，最小值为1. 【分析】（1）在上任取两个数，且，计算与0的大小，利用单调性定义得解； （2）由（1）的结论可知为最小值，为最大值，利用求出和，即得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）略 （2）在区间上单调递增， 在区间上为增函数， 在时，取最小值，且最小值为， 在时，取最大值，且最大值为. 3．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)在上为减函数.证明如下： 任取， 函数， 则， ，故， 所以函数在上为减函数. (2)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的单调性的定义判断并证明. （2）根据单调性即可求解. 【详解】（1）在上为减函数.证明略； （2）在上单调递减， ∴﹒ 4．（25-26高一上·湖南郴州·期中）函数在上的单调性如何？请用定义法证明. 【答案】 函数在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则 因为，且，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递减. 【分析】判断出函数在上为减函数，任取且，计算，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； 【详解】略 题型02求函数的单调区间 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 【答案】 【详解】，故其对称轴为，结合函数图象知其单调递减区间是，单调递增区间是. 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 7．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是______ 【答案】和 【分析】作出的函数图象，根据图象可判断出单调递减区间. 【详解】因为，作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递减区间是和， 故答案为：和. 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间. 【答案】单调递增区间是和. 【分析】去掉绝对值化为分段函数，作出图象，结合图象读出单调递增区间. 【详解】当时，； 当时，，即 其图象如图所示，由图象得单调递增区间为和. 题型03复合函数的单调性 9．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 10．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 【点睛】 11．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【详解】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 12．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 题型04利用函数的单调性求参数 13．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论分段函数单调递减，再考虑衔接点然后合并区间. 【详解】在时，要求递减，； 在时，要求递减，对称轴，要保证区间在对称轴右侧，则； 再考虑衔接点，. 结合三个条件，可得. 14．（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）若函数与在区间上都是单调递减的，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是开口向下的二次函数，对称轴是，在上单调递减； ，当，即时，在上单调递减. 若和在区间上单调递减，则，同时满足，则a的取值范围是. 15．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】函数在区间上单调递减， 由函数图象抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以有，解得，即实数的取值范围是. 16．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数，在区间上函数值随着自变量的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的对称轴为， 又函数在区间上的函数值随着自变量的增大而减小，所以. 题型05利用函数的单调性解不等式 17．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义域的限制及函数的单调性列不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 18．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 19．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 20．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）已知函数，对于任意的，都有恒成立.且，当时，. (1)求； (2)判断在R上的单调性，并给出证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，又，所以， 即，故在上单调递增； (3). 【分析】（1）令，求出； （2）利用定义法判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质求结论. 【详解】（1）令，则， 因为对于任意的，都有恒成立. 所以； （2）略； （3）因为关于的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数的取值范围为. 题型06利用函数图像解决单调性 21．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 22．（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 【答案】BD 【分析】作出函数的图象，结合图象逐项判断即可. 【详解】因为，作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，因为，，则， 结合图形可知，函数不是偶函数，A错； 对于B选项，当时，， 故函数在区间上单调递增，B对； 对于C选项，由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，C错； 对于D选项，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以函数在区间上的最大值为，D对. 故选：BD. 23．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】讨论，当时由反比例函数找到可能图像；当时，时由基本不等式得到函数存在最值找到可能图象；当时，由函数在上的单调性找到函数图像. 【详解】当时，，B可能； 当时，，函数中，， 则，当且仅当时取等号，D可能； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递减， 因此函数在上单调递减，C可能， 无论取何值，选项A都不可能. 故选：BCD. 24．（25-26高一上·陕西延安·期中）（多选）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上有最大值3，有最小值 D．在区间上的最大值为3，最小值为 【答案】BC 【分析】根据函数图象总结函数性质，逐项判断即可. 【详解】对A：由图可知，函数在和上单调递减，单调区间不能用并集符号连接，故A错误； 对B：由图可知，在上单调递增，故B正确； 对C：由图可知，在上有最大值3，有最小值，故C正确； 对D：由图可知在区间上无最大值，最小值为，故D错误. 故选：BC 题型07利用函数单调性求最值或值域 25．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，分，和，三种情况分类讨论，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的对称性，分和，两种情况分类讨论，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得抛物线的开口向上，且对称轴为， ①当时，函数在区间上单调递增，此时； ②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时； ③ 当时，函数在区间上单调递减，此时， 综上可得，函数的最小值. （2）解：由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为， 当时，根据抛物线的对称性，可得，解得； 当时，根据抛物线的对称性，可得， 解得，前后矛盾，舍去， 综上可得，实数的值为. 26．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 又，则，， 又，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增，证毕． (3) 【分析】（1）根据分母不能为即可求出的定义域； （2）根据函数单调性的定义即可证明； （3）结合（2）中函数的单调性即可求解． 【详解】（1）由函数，则，即， 所以函数的定义域为． （2）略 （3）结合（2）有在上单调递增， 则在上也单调递增， 所以函数在上的最大值为． 27．（26-27高三上·上海·开学考试）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】将原函数转化为两个绝对值之和的形式，再通过绝对值的几何意义或分段讨论的方法求解函数的值域. 【详解】∵ ， ∴ 原函数可化为. 方法一：从几何意义分析，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 故表示数轴上点到点与点的距离之和. 当点位于点和点之间（含端点）时，距离之和取得最小值，最小值为； 当点位于点左侧或点右侧时，距离之和随向两侧延伸逐渐增大，无最大值. 方法二：通过零点分段法验证： 当时，，此时函数单调递减，； 当时，； 当时，，此时函数单调递增，. 综上，函数的值域为. 28．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 【答案】 【详解】在同一坐标系内作出直线， 则函数的图象如图中实线部分所示， 观察图象得函数图象的最低点为， 所以函数的最小值为3. 题型08利用函数最值或值域求参数 29．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 30．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1) 若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. (2). 【分析】（1）利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，结合解析式，化简计算，即可得证. （2）令，令，为开口向下，对称轴为的抛物线，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分别求出的最大值，结合条件，求出a值，综合即可得答案. 【详解】（1）略 （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 31．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由函数的单调性分别求解出与的值域范围，结合题意，求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增，可得，又函数在上单调递减，可得， 由，总，使成立，可知，解得； 当时，函数在上单调递减，可得， 同理可知，解得. 综上，或. 所以实数的取值范围是. 32．（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）已知函数． (1)若，函数都有意义，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)求函数的定义域． 【答案】(1) (2) (3) 当时，定义域为； 当时，定义域为； 当时，定义域为； 当时，，定义域为． 【分析】（1）根据题意转换为被开方数大于等于0在上恒成立，然后得到参数的不等式，然后换元构造二次函数，由对称得到单调区间，然后求出最大值即可得到参数的取值范围； （2）根据题意转化为能取遍，讨论和，由二次函数开口向上且有零点即可求得参数的取值范围； （3）根据题意转化为求不等式的解集，由判别式可知通过的值与0和的关系讨论分别得到对应不等式的解，即为函数定义域. 【详解】（1）根据题意得在上恒成立， 即，令， 由此可得在上恒成立， 所以问题可以转换为， 又的对称轴为，所以在单调递减， 所以当且仅当． 综上：的取值范围是． （2）根据题意得能取遍， 当时，，当时，； 当时，有，解得． 综上所述， （3）求函数的定义域等价于求不等式的解集， 当且时，即或时， 方程的根为 分类讨论的临界值为0和 当时，定义域为； 当时，定义域为； 当时，定义域为； 当时，，定义域为． 【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，本题中参数是最高次项系数，对参数的讨论是解决本题的关键.当时，借助一次不等式求解；当，借助二次不等式求解. 题型09函数不等式恒成立问题 33．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数，． (1)求在上的最小值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）小问求出函数的对称轴，分类讨论，以及三种情况； （2）小问换元法，令，将恒成立转化成恒成立，求的最大值即可. 【详解】（1）函数，，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增， 所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当，即时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述：. （2）若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则在上，单调递减，在上，单调递增， 又因为，， 所以， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围为． 34．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，若，且当时，． (1)求、的值，并写出的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2)在上单调递减， 证明：、，， ， 由，得，，， 则，即，所以函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据给定函数解析式，结合两个条件求出、的值，进而求得的解析式. （2）判断（1）中函数在上的单调性，再利用单调性定义推理得证. （3）由给定不等式可得，再利用建立不等式并借助单调性化简，再分离参数，借助基本不等式求出最值即可求出范围. 【详解】（1）函数，当时，由，得，则， 由，得，即，则，所以，， 函数的解析式为. （2）略 （3）由（1）知，当时，，函数在上单调递减， 则函数在上单调递增， 当时，；当时，， 由任意的都有恒成立，得，， 则任意的都有，且恒成立， 因此对任意的恒成立， 而，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 35．（26-27高一上·湖南长沙·阶段检测）设． (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为． 【分析】（1）分离参数，将不等式恒成立转化为在上恒成立，再结合构造函数，确定函数的最值，即可得解. （2）将看作关于的一次函数，即可将原问题转化为一次函数恒成立，结合一次函数性质即可求解. （3）将化为，即，对m分类讨论，即可求得答案. 【详解】（1）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，， 则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为． （2）设， 则是关于的一次函数，且一次项系数为， ，恒成立，等价于恒成立， 即等价于，解得， 故实数的取值范围为． （3）由化简得，即， 当时，，解得． 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为． 36．（26-27高一上·江西九江·开学考试）设函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，若时，的最大值为10，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可. （2）根据二次函数的性质，结合区间定轴动问题求解方法求解即可. （3）根据二次函数在固定区间的最值求解即可. 【详解】（1）函数开口向上，对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以. 故实数的取值范围为. （2）当时，恒成立，等价于当时，. 当时，在上单调递增，所以， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，， 所以，即，此时无解，不符合题意； 当时，在上单调递减，所以. 所以，解得，与矛盾，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由，令，则，即. 令，函数开口向上，对称轴为. 因为在上的最大值只能在区间端点处取得，而，， 当时，，所以，解得，满足题意； 当，，所以，解得，与矛盾，不满足题意. 综上所述，. 题型10函数不等式能成立(有解)问题 37．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）已知函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】这是一道"任意—存在"型的恒成立问题，核心转化是： 。解题关键在于先对参数 与1的大小关系分类讨论，分别确定两个函数的单调性和区间端点值，再让 的左右端点分别落在 的值域范围内列不等式求解。 【详解】对任意 ，总存在 使 ，即 的值域是 值域的子集。 当 时， 单调递减，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递增，。 ，。 当 时， 单调递增，； 当 时，，值域为 ； 当 时， 单调递减，（均为负值）。 （1）：需 即 结合 ，得 。 （2）： 值域 ， 值域 ，不满足包含关系，舍去。 （3）： 值域恒为负，而 ，需 即 ，与 矛盾，无解。 综上，实数 的取值范围是 。 【点睛】"任意 存在 "型问题，翻译成集合语言就是"前一个函数的值域是后一个函数值域的子集"。 38．（26-27高一上·贵州安顺·阶段检测）若，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式在区间上成立转化为求函数的最值问题，然后利用函数单调性求最值即可. 【详解】若，使得成立， 等价于，使得上成立， 设函数，所以问题转化为， 因为对勾函数在上单调递增，所以，所以. 故实数的取值范围是. 39．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题为假，则命题为真，再结合，，及二次函数性质计算可得； （2）将不等式转化为，再通过换元并结合对勾函数的性质可得. 【详解】（1）由已知命题为假，则恒成立， 当时，，显然在上不恒成立； 当时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即. 综上，的取值范围是． （2）由不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 即， 设，有， 而在上单调递增，则， 所以，故，所以. 因此，实数的取值范围为． 40．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 1．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 2．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先明确分段函数单调递减的条件，然后分析二次函数和反比例函数的单调性，最后再考虑分段点处的函数值衔接：结合三个条件即可求出的范围. 【详解】分段函数在定义域上整体单调递减，需要同时满足三个条件： 第一段二次函数在上递减： 是开口向上的抛物线，对称轴为， 要使其在单调递减，需，得； 第二段反比例函数在上递减： 是反比例函数，要在时单调递减，需系数； 两段在衔接点处满足递减的连续性： 即处左侧的函数值不小于右侧的函数值： 代入得，化简得，即. 联立三个条件得. 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 4．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 5．（25-26高二下·陕西汉中·阶段检测）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 6．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 7．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数存在最大值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数有最大值，结合一次函数、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：， 当时，当时，， 当时，， 要使函数存在最大值，则，解得：，由于，此时无解， 综上：a的取值范围是 8．（26-27高一上·天津河东·阶段检测）已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，结合对勾函数单调性可确定，通过对二次函数对称轴位置的讨论可得的单调性，从而确定，由此构造不等式求得结果. 【详解】 ，都 ，使 成立，； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 当时，； 又的对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， ， ，解得：， ； ②当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，解得：，或， ； ③当，即时，在上单调递减， ， ，解得：， . 综上所述：的取值范围为. 9．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列函数中，值域为的是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】选项A：的值域为，选项A错误； 选项B：在上单调递增，， ，的值域为； 选项C：在上单调递增，，， 的值域为； 选项D：在单调递减，在上单调递增， 又，，， 的值域为. 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 11．（25-26高二下·河南·期末）（多选）定义若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】通过分段定义明确的解析式，验证选项A的函数值；求选项B的函数解析式；结合函数图象判断C、D的正误. 【详解】，其中， ， 当 时，，若，由 ， 解得 ，与的交点坐标为 . 其中时，时， 当 时，，若，由 , 解得，与的交点坐标为 . 其中时，时， 所以，函数图象如图所示， 选项A： ，A选项正确； 选项B： 由， 则， 选项B正确. 选项C：结合函数图象可知，直线与图象有3个交点， 则或，因此C错误. 选项D：要让在上的值域为，需要覆盖到函数值和，同时不能出现大于0的部分， 函数值为的唯一位置是； 由，函数值为的最左点是，最右点是， 要使值域为，区间需包含最小值点，最大区间为， 长度为，因此D正确. 12．（26-27高一上·上海静安·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 【答案】3 【详解】当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 综上所述，的最小值为3. 13．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数，若对定义域内任意，恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】按照分段情况讨论，每段内保证成立，求出的范围，最后取两段结果的交集. 【详解】当时，， 所以，即， 对恒成立，即， 又，当且仅当，即时取等号， ，即； 当时，，即对成立， 当时，上式成立； 当时，有，解得，所以或， 所以； 综上，的取值范围为. 14．（26-27高一上·北京昌平·阶段检测）已知函数，当_______时，有最小值且最小值等于_______. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值且最小值等于. 15．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； (3)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出的解析式后根据二次函数的性质可求值域； （2）根据判别式恒为负可求参数的取值范围； （3）由题设可得在上的值域为的子集，根据最大值小于等于9可求参数的取值范围. 【详解】（1）时，， 故， ， 当时，； 当时，， 故的值域为. （2）的图象始终在的图象上方即为， 故对任意恒成立， 故，故，而， 故. （3）， 因为对任意，总存在，使得成立， 故在上的值域为的子集， 因为，故，故， 所以，解得. 16．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若函数定义域为时，证明函数在定义域内单调递增，并求满足的实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：由于，，且， 则， 因为，所以， 所以，即，故在上单调递增； 实数的取值范围：． 【分析】（1）利用恒等式通过消元思想求解； （2）利用函数的单调性的定义证明即可；并利用函数的单调性求解不等式即可． 【详解】（1）由可得：， 两式消去可得：． （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数专题10函数单调性的相关问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01证明函数的单调性 题型02求函数的单调区间 题型03复合函数的单调性 题型04利用函数的单调性求参数 题型05利用函数的单调性解不等式 题型06利用函数图像解决单调性 题型07利用函数单调性求最值或值域 题型08利用函数最值或值域求参数 题型09函数不等式恒成立问题 题型10函数不等式能成立(有解)问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01证明函数的单调性 1．（25-26高一上·新疆喀什·期中）已知函数，且. (1)求的值. (2)用定义法证明函数在上是增函数. 2．（25-26高一上·安徽铜陵·阶段检测）已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 3．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数，. (1)用定义法判断函数的单调性； (2)求函数的最大值和最小值. 4．（25-26高一上·湖南郴州·期中）函数在上的单调性如何？请用定义法证明. 题型02求函数的单调区间 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 6．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 7．（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是______ 8．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间. 题型03复合函数的单调性 9．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·山东枣庄·期中）函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 11．（25-26高二下·湖南·期末）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·河南驻马店·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型04利用函数的单调性求参数 13．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）若函数与在区间上都是单调递减的，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 15．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________． 16．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）已知函数，在区间上函数值随着自变量的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05利用函数的单调性解不等式 17．（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 20．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）已知函数，对于任意的，都有恒成立.且，当时，. (1)求； (2)判断在R上的单调性，并给出证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 题型06利用函数图像解决单调性 21．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）（多选）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 22．（河南省安阳市天一大联考2025-2026学年高一上学期12月期中数学试题）（多选）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上的最大值为 23．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·陕西延安·期中）（多选）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上有最大值3，有最小值 D．在区间上的最大值为3，最小值为 题型07利用函数单调性求最值或值域 25．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小值的表达式； (2)若函数在区间上的最大值为10，求实数的值. 26．（26-27高三上·北京石景山·阶段检测）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (3)求函数在上的最大值． 27．（26-27高三上·上海·开学考试）函数的值域为__________． 28．（25-26高一下·浙江宁波·强基计划）若表示a，b中的较大值，则函数的最小值为______． 题型08利用函数最值或值域求参数 29．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 30．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 31．（25-26高一下·湖南·开学考试）已知函数，若，总，使成立，则实数的取值范围是__________. 32．（25-26高一上·广东茂名·阶段检测）已知函数． (1)若，函数都有意义，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为，求实数的取值范围； (3)求函数的定义域． 题型09函数不等式恒成立问题 33．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知函数，． (1)求在上的最小值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 34．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，若，且当时，． (1)求、的值，并写出的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围． 35．（26-27高一上·湖南长沙·阶段检测）设． (1)若，恒成立，求实数的取值范围； (2)若，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，解关于的不等式． 36．（26-27高一上·江西九江·开学考试）设函数. (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，若时，的最大值为10，求的值. 题型10函数不等式能成立(有解)问题 37．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）已知函数，函数，若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是______. 38．（26-27高一上·贵州安顺·阶段检测）若，使得成立，则实数的取值范围是________. 39．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； (2)当时，不等式有解，求实数的取值范围． 40．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 1．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·浙江嘉兴·阶段检测）函数，（a为常数），在定义域上单调递减，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·陕西汉中·阶段检测）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知函数存在最大值，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·天津河东·阶段检测）已知函数 ，．若 ，都 ，使 成立，则实数 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列函数中，值域为的是（     ） A． B．， C．， D．， 10．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．（25-26高二下·河南·期末）（多选）定义若函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若直线与的图象有3个交点，则 D．在区间上的值域为，则的最大值为 12．（26-27高一上·上海静安·阶段检测）已知，，则的最小值为__________． 13．（26-27高三上·四川绵阳·阶段检测）已知函数，若对定义域内任意，恒成立，则的取值范围是________． 14．（26-27高一上·北京昌平·阶段检测）已知函数，当_______时，有最小值且最小值等于_______. 15．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）设，，其中，记． (1)若，求的值域； (2)若的图象始终在的图象上方，求实数的取值范围； (3)若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 16．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若函数定义域为时，证明函数在定义域内单调递增，并求满足的实数的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $