3.2.1 单调性与最大（小）值分层专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·分层作业系列 3.2.1 单调性与最大（小）值（分层作业，3层28题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 12题 约35分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 10题 约50分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 6题 约65分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共12题，建议用时约35分钟 一、单选题（共5小题） 1．定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ）（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得在上单调递增，故 2．已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ）（25-26高一上·浙江杭州·期中） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质即可确定答案. 【详解】由于的图象的对称轴为，且开口向上， 故在上单调递增，在上单调递减， 故只有C选项符合题意. 3．二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ）（24-25高一上·湖北武汉·期末） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小. 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 4．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 5．已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ）（25-26高一上·河北邢台·期末） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用定义域的限制及函数的单调性列不等式组，解不等式组求出解集． 【详解】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得， 不等式的解集为，故A正确． 故选：A． 二、多选题（共3小题） 6．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ）（24-25高一上·安徽淮北·期末） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）（26-27高一上·安徽·期中） A． B．若，则的值是1或 C．的值域为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据自变量所对应范围直接计算出函数值可判断A；分类讨论求解出自变量的值可判断B；分别求解出两段函数的值域，然后取并集可得结果可判断C；分别计算出每段函数所对应不等式的解集，然后取并集可得结果可判断D. 【详解】对于选项A，因为，则，故A正确； 对于选项B，当时，，解得（舍去），当时，，解得或（舍去），所以的值是，故B错误； 对于选项C，当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故C正确； 对于选项D，当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为，故D正确. 8．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值可以是（    ）（26-27高一上·云南红河·开学考试） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【详解】∵开口向下，顶点为，对称轴为y轴，最大值为9， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减小， ①当时，当时，y随x的增大而增大， 则当时取得最小值，为 当时取得最大值，为， ∵最大值与最小值的差为12， ∴ ， 解得，符合题意； ②当时， 则当时取得最大值，为9， 当时取得最小值，为， 此时最大值与最小值的差为12，符合题意； ③当时， 则当时取得最大值，为9 当时取得最小值，为， ∵最大值与最小值的差为12， ∴， 解得（舍去）. ∴综上，得到n的取值范围为：. 则n的取值可以是0，1，2. 三、填空题（共2小题） 9．若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______.（25-26高一上·上海·期末） 【答案】 【详解】由，可得二次函数的对称轴为， 又因为在区间上是严格递减函数，所以，解得. 10．函数 的最大值为_____________．（24-25高一上·福建厦门·期中） 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 四、解答题（共2小题） 11．已知二次函数．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测） (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质可求最值； （2）求出对称轴，结合一元二次函数性质可得. 【详解】（1）当时，，其图象开口朝上，且对称轴为， 因， 故在上的最小值为，最大值为； （2）的函数图象开口朝上，对称轴方程为， 因在上单调递增，则，得， 故实数的取值范围为. 12．已知函数的解析式为（25-26高一下·云南昆明·阶段检测） (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)；单调减区间为，最大值为4 (2)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求单调递减区间和最值； （2）分段求解不等式，再求并集即可得. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处） 则函数的单调减区间为， 当时，取得最大值4； （2）当时，，所以恒成立； 当时，，所以； 当时，，所以； 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. B 能力提升（建议完成） 本层共10题，建议用时约50分钟 一、单选题（共4小题） 13．当时，函数单调递减，则实数的取值范围是（   ）（25-26高一下·河北衡水·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的情况，分类讨论，即可求解. 【详解】当时，，显然符合； 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合； 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减， 此时需满足，即. 综上，实数的取值范围是. 14．“函数在区间单调递增”是“”的（   ）（25-26高一上·浙江杭州·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据函数的单调性列不等式，解不等式，然后判断. 【详解】函数 ，在区间单调递增，则，解得， 所以函数 ，在区间单调递增是的必要不充分条件. 15．已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ）（25-26高一上·浙江杭州·期中） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 【答案】D 【分析】由函数的对称性与单调性逐项分析判断即可. 【详解】当时，恒成立， 所以在上单调递减，由于的图象关于对称， 所以在上单调递增，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值，故D正确； 由于的图象关于对称，所以， 由于在上单调递减，所以，故B错误； 与的大小关系不确定，故A错误. 故选：D 16．已知在上满足，则实数的取值范围为（　　）（25-26高一下·山东德州·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可； 【详解】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 二、填空题（共2小题） 17．已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________．（26-27高一上·天津和平·开学考试） 【答案】 【分析】把二次函数化为顶点式，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点，在给定区间，要求最小值在处取到，最大值在处取到，因此区间必须包含，且区间右端点不能超出. 【详解】如图所示：因为，开口向上，对称轴为直线， 因为关于对称轴对称的点为， 因为区间必须包含，且区间右端点不能超出， 所以，解得. 18．已知，，且，则的最小值是________．（2026高一上·全国·专题练习） 【答案】 【分析】将原式变形可得，设，构造函数，结合基本不等式可得，再根据函数单调性可得最值. 【详解】， 令，则原式可设为的函数，当时，此函数为单调递增函数， 因为，且，，当且仅当时，的最小值为， 又在上单调递增， 所以原式的最小值为， 则的最小值是. 三、解答题（共4小题） 19．已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为.（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测） (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由两点函数值相等，直接求出对称轴，结合最小值优先用顶点式求二次函数； (2)解一元二次不等式，先移项整理，因式分解，结合开口方向写出解集； (3)闭区间上二次函数求最值，核心是比较对称轴和区间的位置关系，分对称轴在区间内、区间左、区间右三类讨论. 【详解】（1）由和函数值相等，得对称轴为， 因为二次函数的最小值为， 所以设二次函数的顶点式为，又图象过点， 所以，得，故， 故该二次函数的解析式； （2）不等式，即为，所以， 即，得， 故不等式的解集是； （3）对称轴为，开口向上，分三类讨论： 当，即，此时最小值在，，舍去， 当，即，函数在上单调递增， 所以二次函数在取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得； 当，即，函数在单调递减， 所以二次函数在 取得最小值， 故，得或， 不满足，舍去，得. 综上， 或 20．已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围．（25-26高一上·上海·期末） 【答案】 【分析】由的单调性列出，结合的取值即可求解. 【详解】取，因为在区间上是严格增函数， 则，即， 即，整理得， 因为，所以任意的恒成立， 因为，所以，所以. 21．已知是二次函数，满足，当时取得最小值0.（26-27高一上·广西桂林·阶段检测） (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)已知二次函数顶点，设顶点式，代入求出参数a得到解析式； (2)直接代入解析式，解一元二次不等式，利用平方大于0的性质写出解集； (3)先整理，由区间不单调求出对称轴t的取值范围，再比较区间两端点函数值，分段写出最大值. 【详解】（1）由时取得最小值0，可设，， ，，解得，. （2）由 或， 或， 所以，原不等式的解集为. （3）. 是开口向上的二次函数，对称轴为直线， 在区间上不单调，， ∴当时，在区间上的最大值为， 当时，在区间上的最大值为， 综合，函数在区间上最大值的表达式为. 22．已知点是二次函数图象上的点.（26-27高一上·天津南开·开学考试） (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. 【答案】(1) 顶点坐标为 (2) (3) 或 【分析】（3）属于定轴动区间问题，对进行分类讨论. 【详解】（1）代入点，，解得. 二次函数的解析式为，所以顶点坐标为. （2）因为抛物线开口向上，结合图像可知， 时，单调递减；时，单调递增. 所以时，函数取最小值为， 时，；时，，所以函数在时取最大值为， 函数的最大值与最小值的差为. （3）情况一：当，即时，在上单调递减， 时，；时，， 所以，解得（舍）. 情况二：当时，在上单调递减， 在上单调递增，所以时，， 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍）. 当时，对称轴距离更远，时，， 此时，解得或（舍） 情况三：当时，在上单调递增， 时，；时，， 此时，解得（舍）. 综上所述，或. C 拓展创新（学有余力选做） 本层共6题，建议用时约65分钟 一、填空题（共1小题） 23．定义在上的函数满足：（2026高一上·全国·专题练习） （1）； （2）当时，． 则集合中的最小元素是________． 【答案】11 【详解】当时，，通过分类讨论易画出该函数图象， 通过图象可知，在上单调递增，在上单调递减，且； ； 对，，有，所以， 当时，，函数在此区间单调递增， 当时，，函数在此区间单调递减， 所以函数在区间上有极大值； 当时，，因此要使，； 当时，即，， 令，解得或（舍去）， 因此集合中的最小元素是11． 二、解答题（共5小题） 24．已知函数的定义域为，且，当时，．（25-26高一下·广东江门·阶段检测） (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 25．已知二次函数（）满足，．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试） (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． （2），所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． （3），，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 26．设为实数，函数.（2026高一上·全国·专题练习） (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式代入，化简得到，则需满足即可求的取值范围；（2）去掉绝对值把函数写成分段二次函数，分别求出两段的对称轴，依据正负判断对称轴是否落在对应定义域，求出每一段的局部最小值，再比较两段得到整个函数的最小值。 【详解】（1）因为函数，所以， 故，所以，解得. （2）当时，， 所以，如图所示： 当时，，所以，如图所示： 综上所述：. 27．已知，存在使，，求范围.（2026高一上·全国·专题练习） 【答案】 【分析】根据二次函数性质，采用数形结合，列不等式求解即可. 【详解】，则. 令，则， 如图，则有，即，解得. 28．已知，求的最大值（2026高一上·全国·专题练习） 【答案】 【分析】根据基本不等式判断一正一负，从而，再结合对勾函数的单调性得结论. 【详解】显然和不可能均为负数， 若和均为正数，，，， 当的时候取等号，与矛盾，故和一正一负， 则为负数，令，在上递增，上递减， 最大值为（）， 此时，，或者，． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·分层作业系列 3.2.1 单调性与最大（小）值（分层作业，3层28题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 层级 定位 题量 建议用时 A 基础达标 人人必做：本节基本概念、基本方法的直接应用 12题 约35分钟 B 能力提升 建议完成：知识的综合运用与常见题型变化 10题 约50分钟 C 拓展创新 学有余力选做：综合性、创新性较强的问题 6题 约65分钟 A 基础达标（人人必做） 本层共12题，建议用时约35分钟 一、单选题（共5小题） 1．定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ）（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测） A． B． C． D． 2．已知，则函数在下列区间内单调递增的是（   ）（25-26高一上·浙江杭州·期中） A． B． C． D． 3．二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ）（24-25高一上·湖北武汉·期末） A． B． C． D． 4．已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ）（25-26高一上·江西上饶·阶段检测） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ）（25-26高一上·河北邢台·期末） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题） 6．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ）（24-25高一上·安徽淮北·期末） A． B． C． D． 7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）（26-27高一上·安徽·期中） A． B．若，则的值是1或 C．的值域为 D．的解集为 8．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为12，则n的取值可以是（    ）（26-27高一上·云南红河·开学考试） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题（共2小题） 9．若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______.（25-26高一上·上海·期末） 10．函数 的最大值为_____________．（24-25高一上·福建厦门·期中） 四、解答题（共2小题） 11．已知二次函数．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测） (1)若，求在上的最值； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 12．已知函数的解析式为（25-26高一下·云南昆明·阶段检测） (1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值； (2)解关于的不等式. B 能力提升（建议完成） 本层共10题，建议用时约50分钟 一、单选题（共4小题） 13．当时，函数单调递减，则实数的取值范围是（   ）（25-26高一下·河北衡水·阶段检测） A． B． C． D． 14．“函数在区间单调递增”是“”的（   ）（25-26高一上·浙江杭州·期中） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ）（25-26高一上·浙江杭州·期中） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 16．已知在上满足，则实数的取值范围为（　　）（25-26高一下·山东德州·阶段检测） A． B． C． D． 二、填空题（共2小题） 17．已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是________．（26-27高一上·天津和平·开学考试） 18．已知，，且，则的最小值是________．（2026高一上·全国·专题练习） 三、解答题（共4小题） 19．已知二次函数满足以下条件：①图象过点；②时的函数值与时的函数值相等；③函数的最小值为.（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测） (1)求该二次函数的解析式； (2)解不等式; (3)当时，该二次函数的最小值为0，求实数的值. 20．已知（m为实数）．若函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围．（25-26高一上·上海·期末） 21．已知是二次函数，满足，当时取得最小值0.（26-27高一上·广西桂林·阶段检测） (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)设函数在区间上不单调，求在区间上最大值的表达式； 22．已知点是二次函数图象上的点.（26-27高一上·天津南开·开学考试） (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数的最大值与最小值的差； (3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求的值. C 拓展创新（学有余力选做） 本层共6题，建议用时约65分钟 一、填空题（共1小题） 23．定义在上的函数满足：（2026高一上·全国·专题练习） （1）； （2）当时，． 则集合中的最小元素是________． 二、解答题（共5小题） 24．已知函数的定义域为，且，当时，．（25-26高一下·广东江门·阶段检测） (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 25．已知二次函数（）满足，．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试） (1)求的解析式； (2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (3)若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 26．设为实数，函数.（2026高一上·全国·专题练习） (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值. 27．已知，存在使，，求范围.（2026高一上·全国·专题练习） 28．已知，求的最大值（2026高一上·全国·专题练习） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $