专题12幂函数的相关问题专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数专题12幂函数的相关问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01幂函数概念及其求参 题型02求幂函数的解析式或求值 题型03幂函数的定义域相关问题 题型04幂函数的值域的相关问题 题型05幂函数图象的判断及应用 题型06幂函数的单调性的相关问题 题型07幂函数的奇偶性的相关问题 题型08利用幂函数的单调性解不等式 题型09利用幂函数的单调性比较大小 题型10幂函数综合的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01幂函数概念及其求参 1．（25-26高一上·新疆·阶段检测）（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 2．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断. 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 3．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义直接判断即可. 【详解】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 4．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 【答案】3 【详解】解：由题意得，解得或， 当时，， 此时定义域不为，故舍去； 当时，，满足题意． 题型02求幂函数的解析式或求值 5．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】设幂函数，则，所以， 故. 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【答案】 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以 ，即，解得 ，即， 则，定义域为 . 故所求幂函数的解析式为：. 7．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 8．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 题型03幂函数的定义域相关问题 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出幂函数，再由幂函数有意义列出不等式组求解. 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 10．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 11．（25-26高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 【答案】1 【分析】根据已知条件列出约束式即可求解. 【详解】若幂函数（为整数）的定义域为，则，解得， 而是整数，则只能，经检验符合题意. 故答案为：1 12．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故， 则， 故，解得或， 故的定义域为 故答案为： 题型04幂函数的值域的相关问题 13．（25-26高一上·福建·期中）函数的值域为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 14．（25-26高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，结合图象的平移得到其对称中心；又，结合不等式的性质求出函数的值域. 【详解】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以. 故答案为：； 15．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）换元后，利用二次函数的单调性即可得解； （2）令则原不等式化为，求出的范围再求的范围； （3）换元后求出的值域即为的范围. 【详解】（1）令,则，所以，，在区间上单调递增，所以， 所以在上的值域为； （2）令则化为，化简得， 解得，即，解得，所以原不等式的解集为. （3）令因为，所以，则， 令，在单调递减，在单调递增，所以时取得最小值， 又时，，时，，所以时取得最大值， 所以 ，所以的取值范围是. 16．（25-26高一上·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数的定义，得到，再由幂函数的性质，即可求解； （2）设，则，转化为，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 幂函数在区间上单调递减，所以，即. （2）解：由（1）知：，当时，可得， 设，则， 则函数，即为， 又由函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，即时，函数在上单调递增，所以， 令，解得； 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 所以，令，解得（舍去）； 当时，即时，函数在上单调递减，所以， 令，解得（舍去）， 综上可得，实数的值为. 题型05幂函数图象的判断及应用 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 【答案】，，，. 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，图象在上递增， 且越大，图象递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图象在上递减， 当时，函数的函数值为， 函数的函数值为， 因为，所以是曲线，是曲线； 综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 18．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 19．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 【答案】 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 20．（26-27高一上·全国·课堂例题）若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，得到，求得或，再根据幂函数的性质，即可求得实数的值； 【详解】根据幂函数定义可知，，解得或， 当时，，当时，， 由图可知不合题意，所以. 故选：A. 题型06幂函数的单调性的相关问题 21．（25-26高二下·山东青岛·期末）下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次求出4个函数的单调性即可. 【详解】对于A，为减函数，正确； 对于B，，为增函数； 对于C，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，为增函数，D错误. 22．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 23．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 解得或， 即或或， 所以的取值范围是. 24．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 又因为对任意，且，满足， 即对任意，都有， 故函数是幂函数且在上单调递增， 所以， 所以， 则，明显为上的奇函数， 由得， 所以， 所以. 故选：A. 题型07幂函数的奇偶性的相关问题 25．（25-26高一上·山西朔州·期末）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【分析】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 26．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义可得出关于的等式，求出的值，再结合函数为偶函数检验即可. 【详解】因为函数是幂函数，则，即，解得或， 当时，函数为奇函数，不符合题意， 当时，函数为偶函数，符合题意. 综上所述，. 故选：D. 27．（2026高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 28．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 题型08利用幂函数的单调性解不等式 29．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数在上单调递减． (1)若命题：，为真命题，求实数的最小值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求得，再采用参变分离法将存在性命题转化为，再根据函数在上的单调性求出最小值. （2）代入解析式后通过移项通分结合穿针引线法求解分式不等式即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 即或， 又因为函数在单调递减，所以，所以，代入得， ，，即，使得成立，则， 设，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 即，则实数的最小值为. （2）， ， 其三个零点分别为，且的系数为正， 所以解得或. 30．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 故，， 由且，， 解得：或， 的解集为. 31．（26-27高三上·广东河源·阶段检测）已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】①由幂函数的定义和单调性即可求解；②根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】①因为幂函数在上是严格减函数， 所以，解得或， 当时，，在上是严格增函数，不符合题意，舍， 当时，，在上为严格减函数，符合题意，故； ②由幂函数在上是严格减函数可得，， 解得或，故解集为. 32．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】构造幂函数，利用幂函数的单调性可得答案. 【详解】因为函数是定义在上的增函数，则由 ，可得，解得， 故实数的取值范围是. 由， 可得，解得， 故实数的取值范围是. 题型09利用幂函数的单调性比较大小 33．（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为幂函数，令，解得或， 时，的图象经过原点，符合题意，所以， 时，，图象不过原点，不合题意， 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以. 34．（25-26高一上·天津·期中）已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数在上单调递增即可判断出答案. 【详解】 因为幂函数，在上单调递增，且， 所以， 即， 所以. 故选：D. 35．（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的性质，将所给的数转化为便于比较的形式即可求出. 【详解】指数函数在上单调递增，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 指数函数在上单调递减，，，即， 将的指数化为相同，得， 幂函数在上单调递增，，， 综上所述，. 故选：. 36．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助是增函数，直接得解. 【详解】因为是增函数， 因为，所以， 即. 故选：C 题型10幂函数综合的问题 37．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 38．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若在上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性即可求得； （2）利用条件（1）可求得函数，结合二次函数的对称轴与单调性即可求解； （3）利用条件（1）可将不等式化为，讨论参数的取值范围即可求解. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增， 所以，即，解得或； 当时，，在上单调递减，不合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，即实数的值为； （2）由（1）知，，所以，其开口向上，对称轴为； 又在上是增函数，所以，即的取值范围为； （3）依题意，不等式可化为，即，即； 当时，，无解； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 39．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据幂函数的概念，结合时，幂函数在上单调递增可求得； 再利用奇函数的性质求时的解析式，即可得在R上的解析式； （2）利用的奇偶性和单调性将不等式转化为含参不等式，求解不等式即可. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，， 所以时，. 因为函数是定义在R上的奇函数，所以，， 当时，，则. 故. ∴. （2）由（1）中的解析式易证在上是增函数. ， ， ，即 当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 40．（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，当时，的最大值为16，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数a，b（），使得函数在上的值域为？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）设，代点求值； （2）令，结合一元二次函数求最值即可； （3）根据的单调性列方程组，两式相减化简得出，根据，求出的范围，最后利用一元二次函数求值域. 【详解】（1）设幂函数（为常数）， 则，则，故. （2）令，因为，所以， 则可转化为，. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 当时，的最大值在处取得，即. 解得或，即或（舍去），故. 综上，实数的值为或. （3）由函数可知其在定义域内为单调递减函数. 若存在实数，，使得函数在上的值域为，则： ，， 两式相减可得： 所以. 则. 令，则， 由，得，则. 故实数的取值范围为. 1．（26-27高三上·福建南平·阶段检测）已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，则的图象经过点成立。所以“”是“的图象经过点”的充分条件； 若幂函数的图象经过点，则也可以，所以“”不是“的图象经过点”的必要条件. 综上可得：“”是“的图象经过点”的充分不必要条件. 2．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增， 则为奇数且，， 故或. 3．（25-26高一上·全国·课前预习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【详解】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 4．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）已知，且，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：当取，此时，但，故不成立，故A错误； 选项B：当取，此时，但，故不成立，故B错误； 选项C：当时，，不等式不成立，故C错误 选项D：因为函数在上是单调递增函数，因此当时，必有，该不等式恒成立，故D正确. 5．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，或. 又函数在单调递减，要求指数，所以. 6．（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 7．（26-27高一上·全国·课后作业）如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由幂函数定义结合题设幂函数特征可得答案. 【详解】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数. 由得， 所以.故或. 8．（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 9．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】选项A：的定义域为，关于原点对称，且，是奇函数； 根据幂函数性质，幂指数，在上单调递减，故A符合要求； 选项B：的定义域为，关于原点对称，，是奇函数； 且在上单调递减，故B符合要求； 选项C：是二次函数，满足，是偶函数，不符合； 选项D：是奇函数，但幂指数，在上单调递增，不符合. 10．（25-26高一上·湖北·期末）（多选）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的定义和性质判断各项即可. 【详解】因为幂函数的图象过， 所以，解得，A正确； 所以，定义域为，因为， 所以是奇函数，B正确； 在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误； 根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·浙江·期末）（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 【答案】BC 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】若，，定义域为， 其图象上存在点，而点(4,2)关于直线对称点不在其图象上，，故不关于直线对称，故A错误. 若，，可知是开口向上的二次函数，对称轴为， 又，是偶函数，，在上单调递增，故B正确. 若，，可知的定义域为， 又，在上单调递减，故C正确. 若，，则 ， 故只有当时才有，故D错误. 故选：BC. 12．（26-27高三上·福建·阶段检测）已知幂函数为偶函数，则__________． 【答案】 【分析】结合幂函数与偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，是奇函数，不符合题意； 当时，，是偶函数，符合题意. 综上，. 13．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，并给出了这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是的子集；（3）在上单调递增.则他研究的函数是___________填序号. 【答案】① 【分析】根据幂函数的性质分别写出四个函数的奇偶性、值域和单调性，再结合题干找出满足题意的即可. 【详解】对于①，定义域为，定义域关于原点对称， ，是偶函数， 在上单调递增，值域为，满足上述性质； 对于②，定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数，不满足； 对于③，定义域为，定义域关于原点对称， ，是偶函数， 在上单调递增，故在上单调递减，不满足； 对于④，定义域为，定义域关于原点对称， ，是奇函数，不满足. 14．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 15．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，函数. (1)证明：是偶函数. (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增. (3)求不等式的解集. 【答案】(1)因为为幂函数，设， 代入可得，解得， 所以，所以， 证明：的定义域为关于原点对称， ， 所以是偶函数. (2)任取，则 ， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据幂函数定义求解出的解析式，再根据的关系证明奇偶性； （2）通过取值、作差、变形、判断符号、下定义，完成单调性证明即可； （3）根据的单调性和奇偶性解不等式，注意定义域. 【详解】（1）略 （2）略 （3）， 因为在上单调递增且为偶函数， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 16．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数； (3) 【分析】（1）根据幂函数定义求的可能值，结合“定义域上不单调”的条件筛选出符合要求的，得到函数解析式. （2）验证函数定义域关于原点对称，再证明，判定函数为奇函数. （3）利用奇函数性质转化不等式，结合函数在不同区间的单调性分情况解不等式，确定实数的取值范围. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 若，则在定义域内单调递增，不合题意； 若，则在定义域，内单调递减， 但在定义域内不单调，符合题意； 所以函数的解析式为； （2）函数为奇函数，证明略； （3）由及为奇函数， 得， 即， 而在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以，解得； 或，解得； 或，解得； 综上，实数a的取值范围为或， 所以实数a的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数专题12幂函数的相关问题 目录 A题型建模・专项突破 题型01幂函数概念及其求参 题型02求幂函数的解析式或求值 题型03幂函数的定义域相关问题 题型04幂函数的值域的相关问题 题型05幂函数图象的判断及应用 题型06幂函数的单调性的相关问题 题型07幂函数的奇偶性的相关问题 题型08利用幂函数的单调性解不等式 题型09利用幂函数的单调性比较大小 题型10幂函数综合的问题 B综合攻坚・能力跃升 题型01幂函数概念及其求参 1．（25-26高一上·新疆·阶段检测）（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南南阳·模拟预测）“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）若幂函数的定义域为，则实数______． 题型02求幂函数的解析式或求值 5．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 7．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 8．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知幂函数，则（    ） A．8 B．2 C．4 D． 题型03幂函数的定义域相关问题 9．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 10．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 11．（25-26高一上·上海·课后作业）若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为________． 12．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 题型04幂函数的值域的相关问题 13．（25-26高一上·福建·期中）函数的值域为______. 14．（25-26高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 15．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)求在上的值域； (2)解不等式； (3)若关于的方程在上有解，求的取值范围． 16．（25-26高一上·山东·期中）已知幂函数在区间上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，且的最小值为0，求实数的值. 题型05幂函数图象的判断及应用 17．（26-27高一上·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 18．（25-26高一上·山西·阶段检测）已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 19．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的图象恒过点___________. 20．（26-27高一上·全国·课堂例题）若幂函数的大致图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 题型06幂函数的单调性的相关问题 21．（25-26高二下·山东青岛·期末）下列函数是减函数的为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·江苏连云港·期末）函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 24．（25-26高一上·浙江温州·期中）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 题型07幂函数的奇偶性的相关问题 25．（25-26高一上·山西朔州·期末）（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 26．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 27．（2026高一上·广东汕头·竞赛）已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 28．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型08利用幂函数的单调性解不等式 29．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数在上单调递减． (1)若命题：，为真命题，求实数的最小值； (2)求不等式的解集． 30．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）已知幂函数 在上是单调递减函数，则不等式的解集为_________. 31．（26-27高三上·广东河源·阶段检测）已知幂函数在上是严格减函数，其中，则的值为_________；关于的不等式的解集为_________． 32．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则实数的取值范围是________；若，则实数的取值范围是________. 题型09利用幂函数的单调性比较大小 33．（26-27高一上·河南·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·天津·期中）已知，，，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型10幂函数综合的问题 37．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 38．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若在上是增函数，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 39．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 40．（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若函数，当时，的最大值为16，求实数m的值； (3)若函数，是否存在实数a，b（），使得函数在上的值域为？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由. 1．（26-27高三上·福建南平·阶段检测）已知是幂函数，则“”是“的图象经过点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（26-27高三上·江苏盐城·阶段检测）已知幂函数（且）为奇函数，且在区间上递增，则等于（    ） A．1 B．1或3 C．2 D．3 3．（25-26高一上·全国·课前预习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）已知，且，则下列不等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高一上·福建·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·全国·课后作业）如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 8．（26-27高一上·全国·课后作业）如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 9．（25-26高二下·辽宁葫芦岛·期末）（多选）下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·湖北·期末）（多选）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 11．（25-26高一上·浙江·期末）（多选）已知幂函数，下列说法正确的有（   ） A．若，则的图象关于直线对称 B．若，则是偶函数，且在上单调递增 C．若，则的定义域为，且在上单调递减 D．若，则对任意，都有 12．（26-27高三上·福建·阶段检测）已知幂函数为偶函数，则__________． 13．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）有四个幂函数：①；②；③；④某同学研究了其中的一个函数，并给出了这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是的子集；（3）在上单调递增.则他研究的函数是___________填序号. 14．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 15．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知幂函数的图象经过点，函数. (1)证明：是偶函数. (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增. (3)求不等式的解集. 16．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）已知幂函数（）在定义域上不单调. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并证明； (3)若，求实数a的取值范围. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $