第12讲 幂函数 期中专项训练（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第12讲 幂函数 一、知识讲解 【知识点 幂函数的图象与性质】函数y＝xα 叫做幂函数（xα的指数α为常数；xα的系数是1） （1）所有的幂函数在(0,+∞)上都有图像，图象都过点(1,1) （2）α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数 （3）α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数；在区间(0,1)上 （4） 判断图像依据：在（0,1）上，自上而下，幂指数逐渐增大；在[1，∞)上，幂指数逐渐减小 二、必过题型 【题型1 理解幂函数的概念】 1.（25-26高一上·辽宁葫芦岛）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数.故选：C. 2.（25-26高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C. 3.（24-25高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 【解答过程】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确； 当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确； 由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确； 函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确.故选：B. 4.（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意；当时，，此时图象经过原点，不符合题意；所以，. 5．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】令，即时，，图象恒过定点．故选：B. 6．（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【答案】【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 【题型2 幂函数的函数值、解析式】 1.（25-26高一上·浙江）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得.故选：C. 2.（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【解答过程】由题意得，，解得，则，所以.故选：C. 3.（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【解答过程】因为幂函数满足，所以，所以， 则，从而.故选：B. 4.（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 【解答过程】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以，所以.故选：C. 5.（25-26高一下·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______. 【答案】【详解】设，代入点，可得， 解得，所以，所以. 6.（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【解答过程】设幂函数的解析式为，，所以.故选：D 【题型3 根据幂函数求参数】 1.（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数为幂函数，则的值为（　　） A．2 B．1 C．2或 D．2或1 【解答过程】根据幂函数的定义，可得，解得或.故选：C. 2.（25-26高三上·河南）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【解答过程】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，.故选：C. 3.（25-26高一上·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解答过程】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或，故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：B. 4.（2026·河南驻马店）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【解答过程】因为为幂函数，所以，即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.综上，.故选：A. 5.（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【解答过程】因为幂函数的图象不过原点，则，解得.B. 6．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 7.（24-25高一上·广东广州）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答过程】由题意得且，解得，则，故选：C． 8.（24-25高一上·全国）已知函数的图象过点，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【解答过程】的图象过点，则，即，解得或．故选：D. 【题型4 求幂函数的定义域、值域】 1.（2026高一上·全国）幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【解答过程】，，即的定义域为.故选：B. 2.（25-26高一上·辽宁盘锦）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误，故选：C. 3.（25-26高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解答过程】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合.③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合.⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④.故选：C. 4.（25-26高一上·山西吕梁）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则，故，解得故选：B. 5.（24-25高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解答过程】因为幂函数的定义域为R，故，解得，又，所以， 检验，时，，即，满足题意．故选：C. 6.（25-26高一上-广东期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得.故，则， 所以，所以，所以函数的定义域是.故选：D. 7.（25-26高一上-上海浦东期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 【答案】【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得或，故的定义域为 8.（25-26高一下-河北衡水）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意；当时，，定义域为，不符合题意.故 9.（24-25高三上·福建·阶段练习）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答过程】当是正偶数时，显然，即其值域为． 当时，的值域为，但不是正偶数． 故“是正偶数”是“的值域为”的充分不必要条件．故选：A. 10.（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误；对于B，的定义域为，其值域为，的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误，故选：C. 11.（25-26高二下-黑龙江）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A【详解】设函数，由题意，故， 于是，则，令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. 【题型5 幂函数图象的判断及应用】 1.（24-25高一上·四川·期末）下列图象可能为幂函数图象的是（    ） A．B．C． D． 【解答过程】幂函数（为常数）的性质有： 若自变量有意义，则必过原点，根据这条性质，排除A、B、C，故D正确；故选：D. 2.（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 【解答过程】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求.故选：B. 3.（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此.故选：D. 4.（25-26高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【解答过程】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为，故符合题意.故选：C. 5．（25-26高一-云南期末）函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】B【详解】函数是幂函数，定义域为R，又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD；由，得函数在上单调递增，排除C；且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求.故选：B 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 7．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以；当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以；综上可得. 【题型6 由幂函数的单调性、奇偶性求参数】 1.（24-25高一上·浙江）已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 【解答过程】因为在区间上单调递增，所以，解得， 又因为，所以，且为奇函数，所以，故选：C. 2.（24-25高一上·天津）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 【解答过程】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以，解得，故选：A. 3.（25-26高一上·山西）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【解答过程】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数，当时，是偶函数，不符合题意.所以.故选：D. 4.（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A．或3 B． C． D．3 【解答过程】由题意，可得，即，解得或， 当时，在上单调递增，不合题意，舍去； 当时，在上单调递减，所以符合题意.故选：B. 5.（25-26上海）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答过程】由幂函数在上是严格减函数，得，解得， 而，则，， 由幂函数的图象关于y轴对称，得为偶数， 因此，此时，所以整数a的值是1.故选：B. 6.（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答过程】由幂函数在区间上单调递增，得，而， 解得或，又函数是偶函数，则为偶数，因此.故选：C. 7.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D【详解】因为幂函数在上单调递减， 则，解得，可得正实数a，b满足，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 8.（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知幂函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C【详解】因为该函数是幂函数，所以，解得，或， 当时，，因为， 所以函数不是偶函数，不符合题意； 当时，，此时定义域为全体非零实数， 因为，所以函数是偶，符合题意，所以.选C 9.（25-26高二下·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D【详解】当，则，显然函数为非奇非偶函数，充分性成立， 当幂函数，则，即，得或， 若，即为非奇非偶函数，满足， 若，即为奇函数，不满足，所以，故必要性成立，综上，p是q的充要条件. 10.（25-26高二下-辽宁）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在   或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 11.（25-26高一上-江苏期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】A选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； C选项，，值域为，值域不符合题意，C选项错误； D选项，，需满足，即定义域为， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，D选项错误； B选项，，定义域为，定义域关于原点对称， 且，是偶函数，且值域也满足，B选项正确.故选：B 12．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为对任意的，有，所以在R上单调递增， 因为，所以，解得，则实数的取值范围是. 13.（26-27高三上·福建厦门）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由为幂函数，则，即，解得：或，当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意，当时，，由函数的定义域关于原点对称，且，此时函数为奇函数，不满足题意，综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增，此时， 又在的最小值为，所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减，此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意，综上所述，的值为或. 【题型7 比较幂值的大小】 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误.故选：D. 2．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】因为幂函数在上为增函数，且，， 所以，又因为，所以.故选：A.， 3．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为幂函数在上为增函数，且，， ，所以.故选：B. 4．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即；. 5.（24-25高一上·天津·期中）已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】,幂函数在上单调递增，因为, 所以,即,所以,故选：D. 6.（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意可知，，， 因为在上是增函数，且，所以．故选：C. 7.（24-25高一上·全国）若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解答过程】为偶函数，所以，又因为幂函数在上单调递减， 所以，即．故选：B. 8.（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以.故选：B. 9.（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为，且在内单调递增， 则，即.故选：D. 10.（25-26高一上·河北保定·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解答过程】因为是幂函数，所以，解得或. 又的图象经过原点，所以，即.因为，所以， 又因为在上单调递增，所以．选：A. 11.（25-26高一上·全国）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知．故选：B． 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 1.（25-26高二下-重庆）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 2.（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】∵幂函数的图象经过点，，解得，故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得.故选：C. 3.（25-26高一上-江苏）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】C【详解】因为幂函数，由于立方根的意义可得幂函数定义域为，选项A正确；因为，所以，所以幂函数值域为，选项B正确； 因为，所以为偶函数，又因为， 所以幂函数在区间单调递增，根据偶函数的性质得到在上单调递减，选项C错误； 由于为偶函数，所以 ，由， 根据函数图象和性质，可得，则有， 解得，选项D正确；故选：C 4.（25-26高一上-海南）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 【答案】AD【详解】根据已知，设幂函数，又函数图像过点，解得，即. 对于选项A，因为，所以A正确； 对于选项B，定义域为，B错误； 对于选项，，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于选项D，值域为，故无最小值，D正确.故选：AD. 5．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数；由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为.故选：D. 6．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数则不等式的解集为______． 【答案】【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称， 又由幂函数的性质，可得函数在为单调递增函数， 所以函数在为单调递减函数，不等式，即为， 平方整理得，解得，所以不等式的解集为. 7.（25-26高一上-黑龙江）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【答案】C【详解】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以，因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确；因为任意，都有，故D错误．故选：C 8.（25-26高一上-四川期中）（多选）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 【答案】AC【详解】设幂函数 的解析式为，因为幂函数 的图象经过点， 所以，解得，即，对于A，函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误；对于C，因为，所以函数 为偶函数，故C正确；对于D，解法一：，取， 则，，此时， 解法二：作出函数的图象如下：     由图象可知，函数为凹函数，所以，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：AC 9．（多选）（25-26高一上·重庆·期中）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC【详解】函数在定义域上为增函数. 选项A：因为，则，又函数为增函数，所以，即， 所以，A正确； 选项B：令. 取，，则，， 此时，即，也即，B错误； 选项C：因为函数为增函数，函数为增函数，所以函数也为增函数， 因为，所以，C正确； 选项D：函数简图如下：函数在上为凸函数，此时； 函数在上为凹函数，此时，D错误.故选：AC. 10.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】幂函数在上是单调递减函数， ，，，， 当时，，，故是偶函数，不符合题意； 当时，，，故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，.故选：D. 11.（25-26高一上·吉林长春）已知幂函数的图象不经过原点． (1)求幂函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【解答过程】（1）因为幂函数的图象不过原点， 所以，解得，故. （2）因为，定义域为， 所以由得，解得或， 所以原不等式的解集为. 12.（25-26高一上·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【解答过程】（1）因为是幂函数，所以，解得或， 又在第一象限上是增函数，故，所以，则. （2）由（1）知在上是增函数，又的定义域为， 所以解得，所以的取值范围是. 13.（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【解答过程】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，此时为偶函数，不符合题意； 当时，，此时为奇函数，符合题意； 所以，则的定义域为，且函数在上单调递减，则在上单调递减， 所以不等式，即或或， 解得或无解或，所以实数的取值范围为.故选：C. 14.（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【解答过程】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得， 又，则或或， 当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去. 当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意.综上所述，. （2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增， 因为，所以， 两边平方，得，化简得，解得或， 故实数的取值范围为. 15．（25-26高一上-福建）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去，当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知，由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以，易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 16．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 【解答过程】（1）设，   代入点，得：，解得，   所以． （2）是增函数．证明：函数的定义域是．    ，且，   有   ，，.    因为，   所以，所以， 即幂函数是上的增函数． （3）由（2）知在上单调递增，   所以，    ，   所以的值域为． 17．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【解答过程】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以，所以，所以. （2）由（1）知，又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂函数 一、知识讲解 【知识点 幂函数的图象与性质】函数y＝xα 叫做幂函数（xα的指数α为常数；xα的系数是1） （1）所有的幂函数在(0,+∞)上都有图像，图象都过点(1,1) （2）α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数 （3）α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数；在区间(0,1)上 （4） 判断图像依据：在（0,1）上，自上而下，幂指数逐渐增大；在[1，∞)上，幂指数逐渐减小 二、必过题型 【题型1 理解幂函数的概念】 1.（25-26高一上·辽宁葫芦岛）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.（24-25高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（    ） A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数 C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数 4.（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 5．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·陕西安康·期中）函数的图象过定点______. 【题型2 幂函数的函数值、解析式】 1.（25-26高一上·浙江）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 3.（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4.（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函数是幂函数.则（   ） A． B．2 C． D．1 5.（25-26高一下·浙江·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则______. 6.（24-25高一上·山西阳泉·期中）已知幂函数满足，求的值（   ） A．3 B． C．4 D． 【题型3 根据幂函数求参数】 1.（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数为幂函数，则的值为（　　） A．2 B．1 C．2或 D．2或1 2.（25-26高三上·河南）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 3.（25-26高一上·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.（2026·河南驻马店）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 5.（24-25高一上·吉林延边·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 6．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 7.（24-25高一上·广东广州）已知点在幂函数的图象上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8.（24-25高一上·全国）已知函数的图象过点，则实数（    ） A． B． C．或 D．或 【题型4 求幂函数的定义域、值域】 1.（2026高一上·全国）幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·辽宁盘锦）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.（25-26高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4.（25-26高一上·山西吕梁）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一上·江苏南京·期中）已知幂函数的定义域为，且，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 6.（25-26高一上-广东期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上-上海浦东期末）已知幂函数的图象过点，则的定义域为____________. 8.（25-26高一下-河北衡水）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 9.（24-25高三上·福建·阶段练习）已知是幂函数，则“是正偶数”是“的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10.（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 11.（25-26高二下-黑龙江）若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【题型5 幂函数图象的判断及应用】 1.（24-25高一上·四川·期末）下列图象可能为幂函数图象的是（    ） A．B．C． D． 2.（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 3.（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高一-云南期末）函数的大致图象为（    ） A．B．C．D． 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 7．（25-26高二下·全国·期末）若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 由幂函数的单调性、奇偶性求参数】 1.（24-25高一上·浙江）已知幂函数为奇函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或3 D．3 2.（24-25高一上·天津）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 3.（25-26高一上·山西）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 4.（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A．或3 B． C． D．3 5.（25-26上海）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6.（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 7.（25-26高二下·河北沧州·期末）已知幂函数在上单调递减，若正实数a，b满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C． D． 8.（25-26高一上·安徽蚌埠·期末）已知幂函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D．1 9.（25-26高二下·浙江舟山·期末）若，幂函数是非奇非偶函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 10.（25-26高二下-辽宁）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11.（25-26高一上-江苏期末）若函数是偶函数，且值域为，则可以是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）已知函数满足：对任意的，有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13.（26-27高三上·福建厦门）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【题型7 比较幂值的大小】 1．（25-26高一上·江苏连云港·期末）下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 5.（24-25高一上·天津·期中）已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6.（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7.（24-25高一上·全国）若幂函数是上的偶函数，且在区间上单调递减，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10.（25-26高一上·河北保定·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 11.（25-26高一上·全国）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 1.（25-26高二下-重庆）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上-江苏）下列关于幂函数的说法不正确的是（   ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递增 D．的解集为 4.（25-26高一上-海南）（多选）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 5．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数则不等式的解集为______． 7.（25-26高一上-黑龙江）已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 8.（25-26高一上-四川期中）（多选）已知幂函数 的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为 C．函数 为偶函数 D．若函数 ，，，则 9．（多选）（25-26高一上·重庆·期中）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 10.（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11.（25-26高一上·吉林长春）已知幂函数的图象不经过原点． (1)求幂函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 12.（25-26高一上·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 13.（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知幂函数是定义域上的奇函数，则满足的实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14.（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称. (1)求的值及函数的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上-福建）已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 16．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 17．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $