1.3 等式性质与不等式性质讲义-2027届高三数学一轮复习

1.3　等式性质与不等式性质 1.掌握等式性质.　2.会比较两个数的大小.　3.掌握不等式的性质,并能简单应用. 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)对称性:如果a=b,那么b=a. (2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c. (3)可加(减)性:如果a=b,那么. (4)可乘性:如果a=b,那么. (5)可除性:如果a=b,c≠0,那么. 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c. (3)同向可加性:a>b⇔a+cb+c;a>b,c>d⇒a+cb+d. (4)可乘性:a>b,c>0⇒acbc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒acbd. (5)可乘方性:a>b>0⇒anbn(n∈N,n≥1). (6)可开方性:a>b>0⇒(n∈N,n≥2). 1.倒数性质 若ab>0,则a>b⇒ < ; 若ab<0,则a>b⇒ > . 2.分数性质 若a>b>0,m>0,则 (1)真分数性质:< ; > (b-m>0). (2)假分数性质:> ; < (b-m>0). 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.( ) (2)同向不等式具有可加性和可乘性.( ) (3)如果a>b,那么<.( ) (4)如果c>a>b>0,那么>. ( )　　　　　　　　　　　　　 2.(人教A版必修第一册习题改编)设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有(　　) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 3.(人教A版必修第一册习题改编)设a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式成立的是(　　) A.ac>bc B.< C.a2>b2 D.a+c>b+c 4.(人教B版必修第一册习题改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范围是　　　　.  考点一　比较两个数(式)的大小 例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2-2x>-3(x∈R) B.+≥+(a>0,b>0) C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) 课堂笔记： (2)若a>0,b>0,则p=(ab与q=abba的大小关系是(　　) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q 课堂笔记： 比较大小的常用方法 1.作差法 (1)作差;(2)变形(常采用配方、因式分解、有理化法);(3)定号;(4)结论. 2.作商法 (1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论. 1.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 2.已知a>0,b>0,M=,N=+,则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M,N大小关系不确定 考点二　不等式性质的基本应用 例2 (1)若a>0>b,则(　　) A.a3>b3 B.|a|>|b| C.< D.ln(a-b)>0 课堂笔记： (2)(多选)若<<0,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.|a|+b>0 C.a->b- D.ln a2>ln b2 课堂笔记： 解决不等式性质应用问题的三种方法 1.直接法:直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件. 2.利用特殊值排除法. 3.单调性法:当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 3.若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是(　　) A.a+c<b+c B.< C.ac>bc D.b-a>c 4.(多选)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列说法正确的是(　　) A.> B.a-c>2b C.a2>b2 D.ab+bc>0 考点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 例3 (1)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是　　　　,3x+2y的取值范围是　　　　.  课堂笔记： (2)已知3<a<8,4<b<9,则的取值范围是　　　　.  课堂笔记： (变条件)若将本例(1)中条件改为“-1<x+y<4,2<x-y<3”,求3x+2y的取值范围. 根据不等式的性质求取值范围的策略 1.严格运用不等式的性质,注意其成立的条件. 2.同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围. 3.运用待定系数法建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 5.已知0<β<α<,则α-β的取值范围是　　　　.  6.已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是(　　) A.[-24,192] B.[-24,252] C.[36,252] D.[36,192] 1.已知a>b>0,c<d<0,则下列结论一定成立的是(　　) A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D.ad>bc 2.已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M,N的大小关系不确定 3.已知-3<a<-2,3<b<4,则的取值范围为(　　) A.(1,3) B. C. D. 4.(2026·四川绵阳诊断)已知a,b,c均为实数,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b,则ac>bc B.若a>b,则c-a>c-b C.若b<a<0,则< D.若a>b,c≠0,则< 5.已知实数a<b,则“m>0”是“<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(2026·辽宁沈阳模拟)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论一定正确的是(　　) A.bc>c2 B.>0 C.ab2>cb2 D.<0 7.已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则下列结论错误的是(　　) A.-1<x<2 B.-2<y<1 C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3 8.A,B,C,D四名同学的年龄关系如下.A,C的年龄之和与B,D的年龄之和相同,C,D的年龄之和大于A,B的年龄之和,B的年龄大于A,D的年龄之和,则A,B,C,D的年龄关系是 (　　 ) A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 9.(多选)已知a,b,c∈R,且a>b,abc≠0,则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.ac2>bc2 C.c-a<c-b D.2a>2b 10.(多选)(2026·山东临沂模拟)已知a>b>c,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.ab2>cb2 C.a+b>c D.a2+c2>b2 11.已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为　　　　.  12.设实数a,b满足0<a<b,且a+b=1,则a2+b2,2ab,a中最大的是　　　　.  13.(多选)(2026·江苏常州模拟)若<<0,则(　　) A.|a|<|b| B.ac<bc C.>0 D.0<<1 14.给出三个不等式:①a2>b2;②2a>2b-1;③>-.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是　　　　.(答案不唯一,写出一个即可)  学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　等式性质与不等式性质 1.掌握等式性质.　2.会比较两个数的大小.　3.掌握不等式的性质,并能简单应用. 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.等式的性质 (1)对称性:如果a=b,那么b=a. (2)传递性:如果a=b,b=c,那么a=c. (3)可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c. (4)可乘性:如果a=b,那么ac=bc. (5)可除性:如果a=b,c≠0,那么=. 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c. (3)同向可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d. (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1). (6)可开方性:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2). 1.倒数性质 若ab>0,则a>b⇒ < ; 若ab<0,则a>b⇒ > . 2.分数性质 若a>b>0,m>0,则 (1)真分数性质:< ; > (b-m>0). (2)假分数性质:> ; < (b-m>0). 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.(√) (2)同向不等式具有可加性和可乘性.(×) (3)如果a>b,那么<.(×) (4)如果c>a>b>0,那么>. (√) 　　　　　　　　　　　　　 2.(人教A版必修第一册习题改编)设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有(　　) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 解析　A　因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N. 3.(人教A版必修第一册习题改编)设a,b,c∈R,且a>b,则下列不等式成立的是(　　) A.ac>bc B.< C.a2>b2 D.a+c>b+c 解析　D　对于A,当c≤0时,不等式ac>bc不成立,故A错误;对于B,当a>0,b<0时,不等式<不成立,故B错误;对于C,当a=-1,b=-2时,不等式a2>b2不成立,故C错误,D正确. 4.(人教B版必修第一册习题改编)已知a∈(1,3),b∈(2,3),则a-2b的取值范围是　　　　.  答案　(-5,-1) 解析　由b∈(2,3)得-6<-2b<-4, 又1<a<3,故-5<a-2b<-1. 考点一　比较两个数(式)的大小 例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(　　) A.x2-2x>-3(x∈R) B.+≥+(a>0,b>0) C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0) (2)若a>0,b>0,则p=(ab与q=abba的大小关系是(　　) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q 答案　(1)ABD　(2)A 解析　(1)∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,∴x2-2x>-3,故A正确; ∵+-=+=, 又a,b均为正实数, ∴a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0,∴+≥+,故B正确; ∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误; 用作差法比较-=, ∵b>a>0,∴>0,∴<,故D正确. (2)由题知p>0且q>0,===, 若a>b>0,则>1,a-b>0,∴>1, 即p>q; 若b>a>0,则0<<1,a-b<0, ∴>1,即p>q; 若a=b,则=1,∴p=q.综上,p≥q. 比较大小的常用方法 1.作差法 (1)作差;(2)变形(常采用配方、因式分解、有理化法);(3)定号;(4)结论. 2.作商法 (1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论. 1.已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(　　) A.x>y B.x=y C.x<y D.x,y的关系随c而定 解析　C　由题设,易知x>0,y>0,又==<1,∴x<y. 2.已知a>0,b>0,M=,N=+,则M与N的大小关系为(　　) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M,N大小关系不确定 解析　B　M2-N2=(a+b)-(a+b+2)=-2<0,所以M<N. 考点二　不等式性质的基本应用 例2 (1)若a>0>b,则(　　) A.a3>b3 B.|a|>|b| C.< D.ln(a-b)>0 (2)(多选)若<<0,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.|a|+b>0 C.a->b- D.ln a2>ln b2 答案　(1)A　(2)AC 解析　(1)因为a>0>b,所以a3>0,b3<0,即a3>b3,故A正确; 取a=1,b=-2,则|a|>|b|不成立,<不成立,故B,C错误; 取a=,b=-,则ln(a-b)=ln 1=0,故D错误. (2)由<<0,可知b<a<0. 对于A,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0,则<,故A正确; 对于B,因为b<a<0,所以-b>-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故B错误; 对于C,因为b<a<0,<<0,则-> ->0,所以a->b-,故C正确; 对于D,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上单调递减,可得b2>a2>0, 而y=ln x在定义域(0,+∞)上单调递增,所以ln b2>ln a2,故D错误. 解决不等式性质应用问题的三种方法 1.直接法:直接利用不等式的性质逐个验证,要特别注意前提条件. 2.利用特殊值排除法. 3.单调性法:当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. 3.若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是(　　) A.a+c<b+c B.< C.ac>bc D.b-a>c 解析　A　对于A,由不等式的性质知,c>0,a<b⇒a+c<b+c,故A正确; 对于B,若a=-2,b=-1,则>,故B错误; 对于C,由不等式的性质知,c>0,a<b⇒ac<bc,故C错误; 对于D,a<b⇒b-a>0,又c>0,所以无法判断b-a与c的大小关系,故D错误. 4.(多选)已知实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,则下列说法正确的是(　　) A.> B.a-c>2b C.a2>b2 D.ab+bc>0 解析　BC　对于A,因为a>b>c,所以a-c>b-c>0,所以<,故A错误; 对于B,因为a>b>c,a+b+c=0,所以a>0,c<0,a-b>0, 所以b+c=-a<0,所以a-b>b+c,即a-c>2b,故B正确; 对于C,因为a-b>0,a+b=-c>0,所以a2-b2=(a+b)(a-b)>0,即a2>b2,故C正确; 对于D,ab+bc=b(a+c)=-b2≤0,故D错误. 考点三　利用不等式的性质求代数式的取值范围 例3 (1)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是　　　　,3x+2y的取值范围是　　　　.  (2)已知3<a<8,4<b<9,则的取值范围是　　　　.  答案　(1)(-4,2)　(1,18)　(2) 解析　(1)因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18. (2)因为4<b<9,所以<<,又3<a<8,所以×3<<×8,即<<2. (变条件)若将本例(1)中条件改为“-1<x+y<4,2<x-y<3”,求3x+2y的取值范围. 解　设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则所以即3x+2y=(x+y)+(x-y),又因为-1<x+y<4,2<x-y<3, 所以-<(x+y)<10,1<(x-y)<, 所以-<(x+y)+(x-y)<,即-<3x+2y<,所以3x+2y的取值范围为. 根据不等式的性质求取值范围的策略 1.严格运用不等式的性质,注意其成立的条件. 2.同向不等式的两边可以相加,如果在解题过程中多次使用这种转化,就会扩大其取值范围. 3.运用待定系数法建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系,最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 5.已知0<β<α<,则α-β的取值范围是　　　　.  答案　 解析　因为0<β<,所以-<-β<0,又0<α<,所以-<α-β<,又β<α,所以α-β>0,即0<α-β<,即α-β的取值范围为. 6.已知a-b∈[5,27],a+b∈[6,30],则7a-5b的取值范围是(　　) A.[-24,192] B.[-24,252] C.[36,252] D.[36,192] 解析　D　设7a-5b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a-(m-n)b, 所以解得 所以7a-5b=6(a-b)+(a+b). 又a-b∈[5,27],a+b∈[6,30], 所以7a-5b=6(a-b)+(a+b)∈[36,192]. 1.已知a>b>0,c<d<0,则下列结论一定成立的是(　　) A.a+c>b+d B.a-c>b-d C.ac>bd D.ad>bc 解析　B　因为c<d<0,所以-c>-d>0. 又a>b>0,所以a-c>b-d. 2.已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M<N C.M≤N D.M,N的大小关系不确定 解析　A　因为M-N=ab-a-b+1=(b-1)(a-1),且a,b∈(0,1),所以b-1<0,a-1<0, 所以M-N>0,即M>N. 3.已知-3<a<-2,3<b<4,则的取值范围为(　　) A.(1,3) B. C. D. 解析　A　因为-3<a<-2,所以4<a2<9.而3<b<4,即<<,故的取值范围为(1,3). 4.(2026·四川绵阳诊断)已知a,b,c均为实数,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b,则ac>bc B.若a>b,则c-a>c-b C.若b<a<0,则< D.若a>b,c≠0,则< 解析　C　b<a<0,同除以ab(ab>0),<. 5.已知实数a<b,则“m>0”是“<”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　D　已知实数a<b,若m>0,例如a=-2,b=-1,m=2,得>, ∴ “m>0”不是“<”的充分条件; 若<,例如a=0,b=1,m=-2 符合此不等式,但是m<0, ∴ “m>0”不是“<”的必要条件. ∴ “m>0”是“<”的既不充分也不必要条件. 6.(2026·辽宁沈阳模拟)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论一定正确的是(　　) A.bc>c2 B.>0 C.ab2>cb2 D.<0 解析　D　由题知a>b>c且a+b+c=0,则有a>0,c<0,b>c,则bc<c2,故A错误; b-c>0,因为b与0的大小关系未知,不能确定>0,故B错误; a>c,当b=0时,ab2=cb2,故C错误; a-b>0,c<0,<0,故D正确. 7.已知实数x,y满足-3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则下列结论错误的是(　　) A.-1<x<2 B.-2<y<1 C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3 解析　C　x=[(x+2y)+2(2x-y)]∈(-1,2),故A正确; y=(x+2y)-(2x-y)∈(-2,1),故B正确; x+y=∈(-2,2),故C错误; x-y=∈(-1,3),故D正确. 8.A,B,C,D四名同学的年龄关系如下.A,C的年龄之和与B,D的年龄之和相同,C,D的年龄之和大于A,B的年龄之和,B的年龄大于A,D的年龄之和,则A,B,C,D的年龄关系是 (　　 ) A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 解析　D　用A,B,C,D表示A,B,C,D四名同学的年龄,则A>0,B>0,C>0,D>0. 则A+C=B+D　①, C+D>A+B　②, B>A+D　③. ①+②得C>B,①+③得C>2D,②+③得C>2A,由于A>0,D>0,故由③得B>A,B>D, 由①得C-B=D-A, ∵C>B,∴C-B>0,∴D-A>0,∴D>A, 综上,C>B>D>A. 9.(多选)已知a,b,c∈R,且a>b,abc≠0,则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.ac2>bc2 C.c-a<c-b D.2a>2b 解析　BCD　对于A,当a>0,c>0,b<0时,>,则A不一定成立,故A错误; 对于B,因为a>b,abc≠0,则c2>0,所以ac2>bc2,则B一定成立,故B正确; 对于C,因为a>b,则-a<-b,所以c-a<c-b,则C一定成立,故C正确; 对于D,因为f(x)=2x在R上单调递增,a>b,所以f(a)>f(b),即2a>2b,则D一定成立,故D正确. 10.(多选)(2026·山东临沂模拟)已知a>b>c,则下列不等式正确的是(　　) A.< B.ab2>cb2 C.a+b>c D.a2+c2>b2 解析　AD　对于A,-==,因为a>b>c, 所以c-b<0,a-c>0,a-b>0,即<0,所以<,故A正确; 对于B,取a>b=0>c,此时ab2=cb2=0,故B错误; 对于C,取a=-1>b=-2>c=-3,则a+b=c=-3,故C错误; 对于D,若a>b=0>c,则a2+c2>b2=0显然成立, 若a>b>0>c,则a2+c2>a2>b2 成立, 若a>0>b>c,则a2+c2>c2>b2 成立, 综上所述,只要a>b>c,就一定有a2+c2>b2,故D正确. 11.已知2<a<3,-2<b<-1,则a+2b的取值范围为　　　　.  答案　(-2,1) 解析　因为-2<b<-1,所以-4<2b<-2.又2<a<3,两式相加可得-2<a+2b<1. 12.设实数a,b满足0<a<b,且a+b=1,则a2+b2,2ab,a中最大的是　　　　.  答案　a2+b2 解析　因为0<a<b,所以(a2+b2)-2ab=a2-2ab+b2=(a-b)2>0,所以a2+b2>2ab. 又0<a<b,且a+b=1,所以0<a<, 所以(a2+b2)-a=a2+(1-a)2-a=2a2-3a+1=2->2×-=0, 所以a2+b2>a,所以a2+b2,2ab,a中最大的是a2+b2. 13.(多选)(2026·江苏常州模拟)若<<0,则(　　) A.|a|<|b| B.ac<bc C.>0 D.0<<1 解析　ACD　由<<0得c≠0, 当c>0时,由<<0得<<0,即b<a<0,可得0<<1, 当c<0时,由<<0得>>0,即b>a>0,所以0<<1,故 AD正确; 由<<0得-=<0,且a 与b 同号,即ab>0, 所以c与b-a 异号,即c 与a-b 同号,由ac<bc 得(a-b)c<0,故B错误,C正确. 14.给出三个不等式:①a2>b2;②2a>2b-1;③>-.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是　　　　.(答案不唯一,写出一个即可)  答案　a>b>0(答案不唯一) 解析　使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0,当a>b>0时,①②显然成立,对于③,()2-(-)2=2-2b=2(-),因为a>b>0,所以2(-)>0,所以()2-(-)2>0,即>-. 学科网（北京）股份有限公司 $