第03讲 等式与不等式的性质讲义-2027届高三数学一轮复习

第03讲 等式与不等式的性质 内 容 导 航 知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的基本性质 知识点3 比较大小的常用方法 知识点4 不等式的常用结论 知识点5 不等式性质的正误判断 知识点6 比较大小 知识点7 求代数式的取值范围 知识点8 不等式的基础证明 题型1 等式与不等式的性质 题型2 不等关系与不等式 题型3 不等式比较大小 知 识 点 通 关 知识点1 等式的基本性质 1. 对称性：若a=b，则b=a ； 2. 传递性：若a=b且b=c，则a=c； 3. 可加性：若a=b，则a+c=b+c ； 可乘性：若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则 。 知识点2 不等式的基本性质 性质名称 具体内容 注意事项 对称性 a>b⇔b<a 双向等价 传递性 a>b,b>c⇒a>c 单向推导 可加性 a>b⇔a+c>b+c 双向等价，移项的依据 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 单向，可推广到 n个同向不等式 可乘性 a>b,c>0⇒ ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc 乘负数不等号方向 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 必须同时满足 "同向"和"正数" 乘方性 a>b>0⇒> (n∈N,n≥2) 仅对 成立 开方性 a>b>0⇒ ​(n∈N,n≥2) 仅对 成立 知识点3 比较大小的常用方法 1. 作差法（通用）： 2. 作商法（适用于同号两数）：若a,b>0，则;;。 3. 中间量法：找 0、1 等中间量，通过传递性比较大小。 知识点4 不等式的常用结论 1. 倒数法则：a＞b,ab＞0⇒ ； 2. 分数性质：若a>b>0,m>0，则 （真分数性质） ； 3. 绝对值不等式： ||a|-|b||≤|a±b| ≤ |a|+|b|。 知识点5 不等式性质的正误判断 方法技巧 不等式性质的快速判断 1、特殊值法：代入 0、1、-1 等特殊值排除错误选项； 2、性质法：严格依据 8 条基本性质判断变形的等价性； 3、函数法：将不等式转化为函数单调性问题。 易错分析 忽略前提条件 1、忽略可乘性中 "c 的符号" 对不等号方向的影响； 2、忽略乘方、开方性质中 "a,b>0" 的前提； 3、混淆同向可加性与同向可乘性的条件。 知识点6 比较大小 方法技巧 比较大小的解题策略 1. 指数对数式：优先找中间量 0 或 1，再结合函数单调性 ； 2. 同结构代数式：作差法变形为因式乘积形式判号 ； 3. 同号幂形式：作商法与 1 比较大小 ； 4. 复杂形式：构造函数，利用导数判断单调性。 易错分析 方法选择不当 1. 作商法比较大小时忽略分母符号 ； 2. 构造函数时定义域判断错误 ； 3. 指数函数与对数函数单调性混淆。 知识点7 求代数式的取值范围 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 设所求代数式为已知代数式的线性组合，用待定系数法求系数 ； 利用同向不等式的可加性，分别求出各部分的范围 ； 合并得到最终范围，注意边界值的验证。 易错分析 范围扩大问题 多次使用同向不等式相加，导致边界扩大 ； 忽略变量之间的相互制约关系 ； 端点值无法同时取到，错误包含端点。 知识点8 不等式的基础证明 方法技巧 不等式证明的基础方法 综合法：从已知条件出发，利用不等式性质逐步推导结论 ； 分析法：从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件 ； 作差法：通过作差变形，证明差大于等于 0。 易错分析 逻辑不严谨 证明过程中使用未证明的结论 ； 忽略不等式性质的前提条件 ； 循环论证 。 考 点 演 练 题型1 等式与不等式的性质 【典例1】下列不等式中成立的是（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则 【答案】B 【解答】解：A．c＝0时不成立； B．成立． C．a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．因此不成立． D．a＜b＜0，则．因此不成立． 故选：B． 【变式1】已知a＜b＜0＜c＜d，则下列不等式一定成立的是（　　） A．ac＜bd B．ac＞bd C．ad＜bc D．ad＞bc 【答案】C 【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1，d＝3时，ac＝﹣2＞bd＝﹣3，A错误； 当a＝﹣3，b＝﹣1，c＝1，d＝2时，ac＝﹣3＜bd＝﹣2，B错误； 因为a＜b＜0，所以﹣a＞﹣b＞0，又d＞c＞0，则﹣ad＞﹣bc＞0，即ad＜bc，C正确，D错误． 故选：C． 题型2 不等关系与不等式 【典例1】设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 【答案】A 【解答】解：∵M﹣N＝2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3） ＝（a﹣1）2+2＞0， ∴M＞N． 故选：A． 【变式1】设﹣2＜a＜7，1＜b＜2，求a+b，a﹣b，的范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵﹣2＜a＜7，1＜b＜2， ∴﹣1＜a+b＜9，﹣2＜﹣b＜﹣1， ∴﹣4＜a﹣b＜6； 又由﹣2＜a＜7，1＜b＜2， ，表示如图阴影中任意一点与原点连线的斜率， 分析可得的最大值为7，最小值为﹣2， 即﹣27． 题型3 不等式比较大小 【典例1】若P，Q（a≥0），则P，Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定 【答案】C 【解答】解：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2， 只要证：2a+7+22a+7+2， 只要证：a2+7a＜a2+7a+12， 只要证：0＜12， ∵0＜12成立， ∴P＜Q成立． 故选：C． 【变式1】设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C．ac2＞bc2 D． 【答案】C 【解答】解：因为b＞a＞0， y在（0，+∞）上是增函数，所以，故A正确； 因为在（0，+∞）上是减函数，所以，故B正确； 当c＝0时，C显然错误； 因为b（a+2）﹣a（b+2）＝2（b﹣a）＞0， 所以b（a+2）＞a（b+2），所以．故D正确． 故选：C． 过 关 验 收 1．已知实数c＜0＜a＜b，则下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，因为c＜0＜a＜b，所以0＜a2＜b2，等式两边同乘，可得，该不等式成立； 对于B，当c＝﹣2，a＝1，b＝2时，2，1，此时，该不等式不成立； 对于C，， 由于实数c＜0＜a＜b，则b﹣a＞0，a﹣c＞0， 故0，即，该不等式成立； 对于D，（b）﹣（a）＝（）+（b﹣a）＝（b﹣a）（1）， 由于0＜a＜b，则b﹣a＞0，10，则（b）﹣（a）＞0， 即ba，该不等式成立． 故选：B． 2．已知实数a、b、c满足a＞b＞1＞c，则下列结论一定正确的是（　　） A．ac＞bc B．bc＜1 C．logab+logba＞2 D．a+c＞b 【答案】C 【解答】解：当c＝0时，AB显然错误； 因为a＞b＞1，所以logba＞1＞logab，则logab+logba＞2，C正确； 当a＝3，b＝2，c＝﹣1时，D显然错误． 故选：C． 3．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C．对任意c∈R，ac2＞bc2 D．ea＞eb 【答案】D 【解答】解：对A：当a＝1，b＝﹣1时，不等式不成立； 对B：当a＝1，b＝﹣1时，不等式不成立； 对C：当c＝0时，不等式ac2＞bc2不成立； 对D：因为y＝ex在R上单调递增，又a＞b，所以ea＞eb恒成立． 故选：D． 4．为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（　　） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 【答案】B 【解答】解：由题意，设高一学生去甲地的人数为A，去乙地的人数为B， 高二学生去甲地的人数为C，去乙地的人数为D， 所以高一总人数：A+B，高二总人数C+D， 前往甲地的学生人数：A+C，前往乙地的学生人数：B+D， 因为高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， 所以，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得A＞D， 所以高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数． 故选：B． 5．下列命题是真命题的为（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d 【答案】D 【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误； 当a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2时，B显然错误； 当c＝0时，C显然错误； 若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，D正确． 故选：D． 6．已知a、b是非零实数，若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C． D． 【答案】C 【解答】解：对于选项AD：当a＝﹣1，b＝1时，AD显然错误； 对于选项B：当a＝1，b＝2，满足a＜b，但ab2＝4＞2＝a2b，故B错误； 对于选项C：因为， 且a＜b，a、b是非零实数，则a﹣b＜0，a2b2＞0， 可得，即，故C正确． 故选：C． 7．已知a＞b＞0且ab＝10，则下列结论中不一定正确的是（　　） A．lga+lgb＞0 B．lg（a﹣b）＞0 C． D． 【答案】B 【解答】解：因为a＞b＞0且ab＝10， 则lga+lgb＝lgab＝1，A正确； a＞b＞0且ab＝10，∴，，，取a，b，B显然； 由，得， ∴， ∴，C正确； 由题意可得，a0，则a，lga＞0， 由lgb＜lga，可得1，D正确． 故选：B． 8．“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价m%，第二次提价n%；方案乙：第一次提价n%，第二次提价m%； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价（2m+2n）%，第二次降价（m+n）%； 其中0＜n＜m＜50，则四个方案中提价最多的方案为（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解答】解：依题意得：设单价为1，那么方案甲售价为：1×（1+m%）（1+n%）＝（1+m%）（1+n%）； 方案乙提价后的价格是：（1+n%）（1+m%））； （1+m%）（1+n%）＝1+m%+n%+m%•n%＝1+（m+n）%+m%•n%； 方案丙提价后的价格是； 所以只要比较m%•n%与的大小即可， 因为， 所以， 即（1+n% ）， 又方案丁提价方案提价后的价格是：[1+（2m+2n）%][（1﹣（m+n）%]， 下面比较方案丙与方案丁的价格： 计算[1﹣（m+n）%]， 设t＝m+n，则式子变为2t%）（1﹣t%）， 展开式子：，（1+2t%）（1﹣t%）＝（1， 作差：， 因为0＜n＜m＜50，所以t＝m+n＞0，则， 即方案丙的价格大于方案丁的价格， 因此，四个方案中提价最多的方案为丙． 故选：C． 9．关于实数x，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲：x＞2；乙：x＜4；丙：x＞3．如果甲、乙、丙三个陈述中有且仅有一个正确，则x的取值范围可以为（　　） A．（3，+∞） B．（﹣∞，2] C．（2，3） D．[4，+∞） 【答案】B 【解答】解：若甲对，则，此时x不存在； 若乙对，则，即x≤2； 若丙对，则，此时x不存在， 综上，x≤2． 故选：B． 10．已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：， 因为2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1， 得2＜﹣2y＜6，2＜x＜4，所以，即， 所以，所以． 故选：D． 11．已知a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（　　） A．a2＜b2 B．a2b＜ab2 C． D． 【答案】C 【解答】解：令a＝﹣3，b＝1，满足a＜b，但a2＞b2，故A错误； 令a＝﹣1，b＝1，满足a＜b，但a2b＞ab2，故B错误； a、b为非零实数，且a＜b， 则0，即，故C正确； 令a＝1，b＝2，满足a＜b，则，故D错误． 故选：C． 12．若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a2＞b2 B． C．2 D． 【答案】C 【解答】解：对于A，若a＝﹣1，b＝﹣2，则a2＜b2，故A错误， 对于B，若a＝﹣1，b＝﹣2，则，故B错误， 对于C，∵ab＞0，∴，0，又a＞b， ∴2，故C正确， 对于D，若a＝﹣1，b＝﹣2，则，故D错误， 故选：C． 13．下列命题中正确的是（　　） A．若ac2＞bc2，则|a|＞|b| B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d C．若a＞b，则 D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则 【答案】D 【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，不能得到|a|＞|b|，故A错， 对于B，若a＞b，c＞d，则﹣c＜﹣d，则不能得到a﹣c＞b﹣d，故B错， 对于C，若a＞b，取a＝0时，无意义，故C错， 对于D，若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd，两边同时除以bc＞0，则，故D正确． 故选：D． 14．已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则的取值范围是（　　） A．（，） B．（，） C．（，1） D．（，2） 【答案】B 【解答】解：， ∵2＜x＜4，∴， 又﹣3＜y＜﹣1，∴2＜﹣2y＜6， ∴3， 则4，可得． 故选：B． 15．已知a，b为正实数，c为实数，则“a＞b”的充要条件可以是（　　） A．ac＞bc B．ac＞bc C． D．a+lna＞b+lnb 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若c＝0，有ac＝bc＝0，即由a＞b不会得到ac＞bc，A错误； 对于B，若c＝0，有ac＝bc＝1，即由a＞b不会得到ac＞bc，B错误； 对于C，取，a＞b成立，但，故C也错误； 对于D，设f（x）＝x+lnx，易得f（x）为（0，+∞）上的增函数， 故a＞b＞0时必有f（a）＞f（b）即a+lna＞b+lnb； 而a+lna＞b+lnb即f（a）＞f（b），故a＞b＞0， 故a+lna＞b+lnb是a＞b的充要条件，D正确． 故选：D． 16．如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） A．|a|＞|b| B． C．a2＜b2 D． 【答案】D 【解答】解：A、取a，b＝1，可得|a|＜|b|，故A错误； B、取a＝﹣2，b＝1，可得，故B错误； C、取a＝﹣2，b＝1，可得a2＞b2，故C错误； D、如果a＜0，b＞0，那么0，0，∴，故D正确； 故选：D． 17．已知实数a＜b，则“m＞0”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解答】解：因为实数a＜b， 若m＞0，如a＝﹣2，b＝﹣1，m＝2，得， ∴m＞0不是的充分条件； 若，如a＝0，b＝1，m＝﹣2符合此不等式，但是m＜0， ∴m＞0不是的必要条件， ∴m＞0是的既不充分也不必要条件． 故选：D． 18．已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列说法正确的是（　　） A． B．ac2＞bc2 C．a2＞b2 D．ea＞eb 【答案】D 【解答】解：a＞0＞b时，，A错误； c＝0时，ac2＝bc2，B错误； a＝1，b＝﹣1时，a2＝b2，C错误； y＝ex是R上的增函数，a＞b，所以ea＞eb，D正确． 故选：D． 19．已知实数x，y满足x2+2log4x＝2y+log2y，则x，y的大小关系不可能是（　　） A．x＜y＜1 B．y＜x＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 【答案】A 【解答】解：令， ∴0＜a＜2时，f（a）＜0，即a2+2log4a＜2a+log2a， a＝2时，f（a）＝0，即a2+2log4a＝2a+log2a， a＞2时，f（x）＞0，即a2+2log4a＞2a+log2a， 又t＝u（a）＝a2+2log4a、t＝v（a）＝2a+log2a在（0，+∞）单调递增， 所以u（a）、v（a）的函数图像如下： 当t＜5时，y＜x＜2，当t＝5时，y＝x＝2，当t＞5时，y＞x＞2， 故x＜y＜1不可能成立． 故选：A． 20．已知a＞2，5a+12a＝13b，则（　　） A．a＞2＞b B．a＞b＞2 C．b＞a＞2 D．b＞2，但a和b的大小关系无法确定 【答案】B 【解答】解：因为a＞2，所以5a+12a＞52+122＝132，即13b＞132，可得b＞2， 根据13b＝5a+12a，两边都除以13a， 结合a＞2，可得，所以b﹣a＜0，即b＜a， 综上所述，2＜b＜a． 故选：B． 21．已知a＞0，b＞0，c＞0，且1+a﹣a2＝a•2a，1+2b﹣b2＝b•3b，1+3c﹣c2＝c•4c，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c 【答案】A 【解答】解：因为a＞0，且1+a﹣a2＝a•2a，所以1﹣a2＝a（2a﹣1）， 所以， 同理，由1+2b﹣b2＝b•3b，可得1﹣b2＝b（3b﹣2）， 所以， 由1+3c﹣c2＝c•4c，可得1﹣c2＝c（4c﹣3）， 所以． 令，得， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递减， 满足a＝2a﹣1的a，即为函数y＝f（x）与y＝2x﹣1交点的横坐标； 满足的b，即为函数y＝f（x）与y＝3x﹣2交点的横坐标； 满足的c，即为函数y＝f（x）与y＝4x﹣3交点的横坐标． 在同一平面直角坐标系中画出y＝f（x），y＝2x﹣1，y＝3x﹣2，y＝4x﹣3的图象，如图所示：从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为a＜b＜c． 故选：A． 22．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比．已知某公园的面积为am2，绿化面积为bm2（0＜b＜a），现对该公园再扩建面积2xm2，其中绿化面积为xm2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（　　） A．变大 B．变小 C．当a＞2b时，变大 D．当a＜2b时，变大 【答案】C 【解答】解：根据题意，原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为， 可得， 所以与的大小关系不确定，可知A、B两项均不正确； 当a＞2b时，a﹣2b＞0，a、x、a+2x均为正数，可得， 此时扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变大，故C项正确； 当a＜2b时，类似于C项的分析，可知扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比变小，故D项错误． 故选：C． 23．设p＝0.50.7，q0.3，则有（　　） A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq 【答案】B 【解答】解：依题意，p＝0.50.7＞0.5， qlog31＝0， 又因为， 所以q， 即q＜0， 所以p﹣q＞p+q＞0，pq＜0， 所以p﹣q＞p+q＞pq， 故选：B． 24．已知实数a，b满足，则（　　） A．a＞b B． C．（a﹣b）（a+b﹣2）＜0 D．2a﹣2b＞3﹣a﹣3﹣b 【答案】ABD 【解答】解：由题知，a﹣1＞b﹣1≥0，则a＞b≥1，故A正确； 01，故B正确； a﹣b＞0，a+b﹣2＞0，所以（a﹣b）（a+b﹣2）＞0，故C错误； 设f（x）＝2x﹣3﹣x，f（x）为增函数， 因为a＞b，所以f（a）＞f（b），即2a﹣3﹣a＞2b﹣3﹣b，即2a﹣2b＞3﹣a﹣3﹣b，故D正确． 故选：ABD． 25．已知实数a，b，c满足a＜b＜c，ac＜0，则（　　） A．ab2＜b2c B． C． D． 【答案】BC 【解答】解：因为a＜b＜c，ac＜0， 所以a＜0，c＞0，b的正负无法确定， 当b＝0时，A显然错误； ，B正确； 因为0， 所以[（）+（）]≤﹣22，当且仅当，即c＝﹣a时取等号，C正确； 因为c﹣a＝c﹣b+b﹣a，当且仅当c﹣b＝b﹣a，即a+c＝2b时取等号，D错误． 故选：BC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式与不等式的性质 内 容 导 航 知识点1 等式的基本性质 知识点2 不等式的基本性质 知识点3 比较大小的常用方法 知识点4 不等式的常用结论 知识点5 不等式性质的正误判断 知识点6 比较大小 知识点7 求代数式的取值范围 知识点8 不等式的基础证明 题型1 等式与不等式的性质 题型2 不等关系与不等式 题型3 不等式比较大小 知 识 点 通 关 知识点1 等式的基本性质 1. 对称性：若a=b，则b=a ； 2. 传递性：若a=b且b=c，则a=c； 3. 可加性：若a=b，则a+c=b+c ； 可乘性：若a=b，则ac=bc；若a=b且c≠0，则 。 知识点2 不等式的基本性质 性质名称 具体内容 注意事项 对称性 a>b⇔b<a 双向等价 传递性 a>b,b>c⇒a>c 单向推导 可加性 a>b⇔a+c>b+c 双向等价，移项的依据 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 单向，可推广到 n个同向不等式 可乘性 a>b,c>0⇒ ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc 乘负数不等号方向 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 必须同时满足 "同向"和"正数" 乘方性 a>b>0⇒> (n∈N,n≥2) 仅对 成立 开方性 a>b>0⇒ ​(n∈N,n≥2) 仅对 成立 知识点3 比较大小的常用方法 1. 作差法（通用）： 2. 作商法（适用于同号两数）：若a,b>0，则;;。 3. 中间量法：找 0、1 等中间量，通过传递性比较大小。 知识点4 不等式的常用结论 1. 倒数法则：a＞b,ab＞0⇒ ； 2. 分数性质：若a>b>0,m>0，则 （真分数性质） ； 3. 绝对值不等式： ||a|-|b||≤|a±b| ≤ |a|+|b|。 知识点5 不等式性质的正误判断 方法技巧 不等式性质的快速判断 1、特殊值法：代入 0、1、-1 等特殊值排除错误选项； 2、性质法：严格依据 8 条基本性质判断变形的等价性； 3、函数法：将不等式转化为函数单调性问题。 易错分析 忽略前提条件 1、忽略可乘性中 "c 的符号" 对不等号方向的影响； 2、忽略乘方、开方性质中 "a,b>0" 的前提； 3、混淆同向可加性与同向可乘性的条件。 知识点6 比较大小 方法技巧 比较大小的解题策略 1. 指数对数式：优先找中间量 0 或 1，再结合函数单调性 ； 2. 同结构代数式：作差法变形为因式乘积形式判号 ； 3. 同号幂形式：作商法与 1 比较大小 ； 4. 复杂形式：构造函数，利用导数判断单调性。 易错分析 方法选择不当 1. 作商法比较大小时忽略分母符号 ； 2. 构造函数时定义域判断错误 ； 3. 指数函数与对数函数单调性混淆。 知识点7 求代数式的取值范围 方法技巧 求代数式范围的规范步骤 设所求代数式为已知代数式的线性组合，用待定系数法求系数 ； 利用同向不等式的可加性，分别求出各部分的范围 ； 合并得到最终范围，注意边界值的验证。 易错分析 范围扩大问题 多次使用同向不等式相加，导致边界扩大 ； 忽略变量之间的相互制约关系 ； 端点值无法同时取到，错误包含端点。 知识点8 不等式的基础证明 方法技巧 不等式证明的基础方法 综合法：从已知条件出发，利用不等式性质逐步推导结论 ； 分析法：从结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件 ； 作差法：通过作差变形，证明差大于等于 0。 易错分析 逻辑不严谨 证明过程中使用未证明的结论 ； 忽略不等式性质的前提条件 ； 循环论证 。 考 点 演 练 题型1 等式与不等式的性质 【典例1】下列不等式中成立的是（　　） A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则 【变式1】已知a＜b＜0＜c＜d，则下列不等式一定成立的是（　　） A．ac＜bd B．ac＞bd C．ad＜bc D．ad＞bc 题型2 不等关系与不等式 【典例1】设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 【变式1】设﹣2＜a＜7，1＜b＜2，求a+b，a﹣b，的范围． 题型3 不等式比较大小 【典例1】若P，Q（a≥0），则P，Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定 【变式1】设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C．ac2＞bc2 D． 过 关 验 收 1．已知实数c＜0＜a＜b，则下列不等式不成立的是（　　） A． B． C． D． 2．已知实数a、b、c满足a＞b＞1＞c，则下列结论一定正确的是（　　） A．ac＞bc B．bc＜1 C．logab+logba＞2 D．a+c＞b 3．已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C．对任意c∈R，ac2＞bc2 D．ea＞eb 4．为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加．已知该校高一学生人数多于高二学生人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则（　　） A．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B．选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D．选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 5．下列命题是真命题的为（　　） A．若a＞b，则 B．若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d 6．已知a、b是非零实数，若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C． D． 7．已知a＞b＞0且ab＝10，则下列结论中不一定正确的是（　　） A．lga+lgb＞0 B．lg（a﹣b）＞0 C． D． 8．“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价m%，第二次提价n%；方案乙：第一次提价n%，第二次提价m%； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价（2m+2n）%，第二次降价（m+n）%； 其中0＜n＜m＜50，则四个方案中提价最多的方案为（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．关于实数x，有下列甲、乙、丙三个陈述，分别为甲：x＞2；乙：x＜4；丙：x＞3．如果甲、乙、丙三个陈述中有且仅有一个正确，则x的取值范围可以为（　　） A．（3，+∞） B．（﹣∞，2] C．（2，3） D．[4，+∞） 10．已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．已知a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（　　） A．a2＜b2 B．a2b＜ab2 C． D． 12．若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　） A．a2＞b2 B． C．2 D． 13．下列命题中正确的是（　　） A．若ac2＞bc2，则|a|＞|b| B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d C．若a＞b，则 D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则 14．已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则的取值范围是（　　） A．（，） B．（，） C．（，1） D．（，2） 15．已知a，b为正实数，c为实数，则“a＞b”的充要条件可以是（　　） A．ac＞bc B．ac＞bc C． D．a+lna＞b+lnb 16．如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定正确的是（　　） A．|a|＞|b| B． C．a2＜b2 D． 17．已知实数a＜b，则“m＞0”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列说法正确的是（　　） A． B．ac2＞bc2 C．a2＞b2 D．ea＞eb 19．已知实数x，y满足x2+2log4x＝2y+log2y，则x，y的大小关系不可能是（　　） A．x＜y＜1 B．y＜x＜1 C．1＜x＜y D．1＜y＜x 20．已知a＞2，5a+12a＝13b，则（　　） A．a＞2＞b B．a＞b＞2 C．b＞a＞2 D．b＞2，但a和b的大小关系无法确定 21．已知a＞0，b＞0，c＞0，且1+a﹣a2＝a•2a，1+2b﹣b2＝b•3b，1+3c﹣c2＝c•4c，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c 22．公园的绿化率是指绿化面积与公园的面积之比．已知某公园的面积为am2，绿化面积为bm2（0＜b＜a），现对该公园再扩建面积2xm2，其中绿化面积为xm2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比（　　） A．变大 B．变小 C．当a＞2b时，变大 D．当a＜2b时，变大 23．设p＝0.50.7，q0.3，则有（　　） A．p﹣q＞pq＞p+q B．p﹣q＞p+q＞pq C．pq＞p﹣q＞p+q D．p+q＞p﹣q＞pq 24．已知实数a，b满足，则（　　） A．a＞b B． C．（a﹣b）（a+b﹣2）＜0 D．2a﹣2b＞3﹣a﹣3﹣b 25．已知实数a，b，c满足a＜b＜c，ac＜0，则（　　） A．ab2＜b2c B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $