《第三章 勾股定理第一节 勾股定理的探索》提优特训A·B卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第三章勾股定理第一节勾股定理的探索》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.结合方格图面积探究，抽象出直角三角形三边数量关系，熟记勾股定理文字与公式形式，建立数形结合的数学观念。 2.掌握勾股定理面积割补证明思路，能严谨推导定理由来，可根据直角三角形边长进行简单推理与计算。 3.熟练运用勾股定理及其变形式，已知直角三角形任意两边，准确求解第三边边长，规范书写运算步骤。 4.感受勾股定理的数学文化价值，能将简单直角三角形情境问题转化为勾股定理模型，培养严谨的解题习惯。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.勾股定理的内容、公式及适用条件，熟记直角三角形三边核心等量关系。 2.方格图割补法探究勾股定理的过程，掌握面积相等的核心推导思想。 3.勾股定理基础计算，已知直角三角形两边求第三边。 （二）难点 1.理解勾股定理的证明逻辑，掌握割补法 “ 等面积转化 ” 的数形结合思想。 2.区分直角边与斜边，在无图示情境中准确判定最长边（斜边）。 3.灵活运用勾股定理变形式解题，规避边长计算中的逻辑错误。 )三．知识梳理 （一）勾股定理的探究过程（课本核心） 1.探究情境 （1）观察图1正方形A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积。 正方形B的面积是9个单位面积。正方形C的面积是18个单位面积。 （2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ 图1正方形A中含有4个小方格，即A的面积是4个单位面积。正方形B的面积是4个单位面积。正方形C的面积是8个单位面积。 2.面积计算方法 分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积，填表完成 图形1 图形2 图形3 图形1中S1=_____, S2=____, S3=_______. 图形2中S1=_____, S2=____, S3=_______. 图形3中S1=_____, S2=____, S3=_______. 3.探究结论 直角三角形两条直角边上正方形的面积和，等于斜边上正方形的面积，由此转化为边长关系，得出勾股定理。 （二）勾股定理完整内容 1.文字表述： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 2.符号定义： 若直角三角形三边长为a,b,c（其中c为斜边），则三边a,b,c之间的关系是a2+b2=c2 3.核心公式： a2+b2=c2 4.重要变形式（提优必考） 已知斜边求直角边：a2=c2-b2、b2=c2-a2 5.概念理解： （1）适用范围：仅适用于直角三角形，非直角三角形不满足此关系。 （2）公式中c必须是斜边（最长边），a、b为两条直角边，边长对应关系不可混淆。 （三）勾股定理数学文化 我国古代对直角三角形三边有专属命名：勾（短直角边）、股（长直角边）、弦（斜边），因此该定理被称为勾股定理，经典特例“勾三、股四、弦五”，是最早发现的勾股数组合。 勾股定理的证明分两种：第一种类型等面积 两算法：以赵爽的“弦图”为代表，用几何图形的截、割、拼、补，一图两算来证明代数式之间的恒等关系；第二种类型无字证明：以刘徽的“青朱出入图”为代表，“无字证明”。 1.赵爽弦图法 （1）历史背景：赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在三国时期为证明勾股定理而构造的几何图形。赵爽弦图是对勾股定理最早、最简洁的证明之一，展示了中国古代数学家的卓越智慧和深厚的数学功底，在中国古代数学发展史上具有重要地位，对后世数学研究产生了深远影响。 （2）探究赵爽弦图的思路与方法 （3）原理：运用图形割补后面积不变的原理，即大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和。 （4）图形构成：由4个全等的直角三角形（直角边a、b，斜边c）围成一个边长为c的大正方形，中间内嵌一个边长为(b-a)的小正方形。 （5）证明：设直角三角形的两条直角边分别为a、b（a>b），斜边为c。每个直角三角形的面积为ab，四个直角三角形面积之和为2ab，中间小正方形的边长为a - b，面积为(a - b)2，大正方形面积为c2，可得2ab+(a - b)2=c2，化简后得到2a+b2=c2，从而证明了勾股定理。 c2＝ab×4＋(b－a)2＝2ab＋a2－2ab＋b2＝a2＋b2. 2.青朱出入图（无字的证明） （1）历史背景：“青朱出入法”是我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出的证明勾股定理的方法，其核心思想是通过图形的“出入相补”（即分割、移补后面积不变）来验证直角三角形三边关系。 （2）图形构成：以勾为边长作“朱方”，以股为边长作“青方”，将两正方形按特定方式排列后分割，分割出的“青出”“朱出”部分可拼接成以弦为边长的“弦方”。 （3）证明：依据“出入相补、以盈补虚”原理，朱方面积（a²）+ 青方面积（b²）= 弦方面积（c²），通过全等图形的平移、旋转实现面积转化，直观验证勾股定理，无需文字推导。 3.毕达哥拉斯的证明 （1）毕达哥拉斯证明勾股定理的核心是利用面积相等原理，通过拼接4个全等直角三角形构造大正方形，从“整体”和“部分”两个角度表示大正方形面积，建立等式推导得出结论。 （2）构造图形：取4个全等的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c），将它们的直角顶点向外，拼成一个边长为(a+b)的大正方形，大正方形内部会形成一个边长为c的小正方形（由4个直角三角形的斜边围成）。 （3）证明：由于图形面积不变，因此得出a² + b² = c²，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 c2＝(a＋b)2－ab×4＝a2＋2ab＋b2－2ab＝a2＋b2. 这一证明是西方数学史上对勾股定理的经典论证，奠定了毕达哥拉斯学派在几何学中的重要地位，也使勾股定理在西方常被称为“毕达哥拉斯定理”。 4.总统法（加菲尔德证法） （1）美国第20任总统伽菲尔德（James A. Garfield）提出，利用梯形面积公式简洁地证明了勾股定理。 （2）构造图形：取两个全等的直角三角形，设直角边分别为a、b（a < b），斜边为c。再取一个直角边为c的等腰直角三角形，将三个三角形拼成一个直角梯形（上底为a，下底为b，高为a + b）。 （3）证明：计算梯形面积：梯形面积公式为：S梯形= (a + b)(a + b)。 计算三个三角形的总面积：2 ×ab+c2 = ab+c2。 梯形面积等于三个三角形面积之和，(a + b)(a + b)=ab+c2 a² + b² = c² （四）基础应用规则 1.已知直角三角形任意两条边长，可利用勾股定理求出第三条边长。 2.边长计算结果为正数，三角形边长不为负，计算后无需保留负数解。 3.核心思想：数形结合、等面积转化，是初中几何重要解题模型。 （五）易错分析 1.忽略定理适用条件，乱套公式 【错误】：任意三角形三边都满足a2+b2=c2 【正解】：勾股定理只适用于直角三角形，非直角三角形三边无此关系，解题必先判定三角形为直角三角形。 2.混淆直角边与斜边，公式代入错误 【错误】：盲目将任意两边平方和等于第三边平方 【正解】：必须保证两条直角边平方和=斜边平方，斜边是三角形最长边，解题先找最长边，再代入公式。 3.不会用割补法求斜边正方形面积 【错误】：直接凭感觉估算斜边正方形面积 【正解】：方格图中斜边正方形无整数边长，必须用补全减空白或分割求和的割补法，依托等面积思想计算。 4.变形式使用混乱，计算出错 【错误】：求直角边时误用c2-a2=b，漏开平方 【正解】：勾股定理计算最终必须开平方求边长，平方和、平方差只是中间计算步骤，不能直接作为边长结果。 5.忽略边长的实际意义 【错误】：计算出边长负数结果直接保留 【正解】：三角形边长为正数，开平方后只取正根，舍去负数解。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·盐城盐都月考）在Rt△ ABC中，∠C=90o，直角边AC=3，BC=4，则斜边AB长为 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 25 2.（2025·苏州吴中期末）在直角三角形中，两条直角边上正方形面积分别为9和16，则斜边上正方形面积是（ ） A. 7 B. 25 C. 12 D. 5 3.（2025·宿迁沭阳期末）在方格纸探究勾股定理活动中，计算斜边正方形面积常用方法是（ ） A. 直接开方 B. 割补法 C. 估算法 D. 测量法 4.（2025·连云港海州期末）一个直角三角形两边长3和4，下列说法正确的是（ ） A. 第三边一定是5 B. 斜边一定是4 C. 若3、4都是直角边，则斜边为5 D. 面积一定是6 5.（2026·南通通州期中）我国记载勾股定理“勾三股四弦五”的古籍是（ ） A.《九章算术》 B.《周髀算经》 C.《海岛算经》 D.《墨经》 6．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点（即网格线的交点），则线段AB的长度为（　　） A．3 B．5 C．6 D．4 7．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（　　） A．8 B．9 C．27 D．45 8．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A． B． C． D． 9.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 10.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF2的值是（　　） A．169 B．196 C．392 D．588 二．填空题（共30分） 11.（2026·淮安清江浦月考）Rt△ ABC中，∠C=90o，，a=6,b=8，则斜边c=_______。 12.（2025·镇江京口期末）以直角三角形两条直角边向外作正方形，面积是25、144，则斜边正方形面积为______。 13.（2025·南京建邺期末）网格探究勾股定理，割补法的核心思想是利用______相等。 14．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为_______. 15．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为_____. 16.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若DE＝15cm，BE＝8cm，则BC的长为_______. 17．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，若S3＝9π，则S1+S2等于 ． 18．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 19.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 20.如图直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和1 ，则的面积为______ 三．解答题（共60分） 21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4． （1）求AB的长； （2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连结CP．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△ACP为等腰三角形． 22.已知：如图，中，，，， （1）求斜边的长； （2）计算的面积． 23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=20,BC=15,CD⊥AB于点D.求: (1)CD的长; (2)BD的长. 24.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,点D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为点E. (1)求△ABC的面积; (2)求DE的值. 25.(2025·无锡期中)我们已经知道,通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式,如图①所示,四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,四个直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c. (1)请利用图①完成勾股定理的证明. (2)通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.图②是棱长为a+b的正方体,被如图所示的分割线分成8块.试一试,你能从中得到什么等式. 26.【项目主题】监控器如何布设才最优. 【项目背景】监控器有效监测距离500 m,最大旋转角度90°;村落、河流如图1所示,河流南岸长5 000 m;监控布设线l距离河流300 m,l上任意两个监控(M1,M2,…)之间的距离相等. 【项目方案】 (1)方案1:如图1所示,从河流南岸边缘A点处起,使AM1=500 m,BM1⊥AB,即AB为监控器M1监测范围;以此类推继续设置监控器,至少需要布设多少个监控器? (2)方案2:如图2所示,AB为监控器M1监测范围,BC为监控器M2监测范围,AM1⊥BM1,BM2⊥CM2,此时BM1=CM2=375 m,至少需要布设多少个监控器? 【项目总结】 (3)我认为方案　　　　　是最优方案.  27．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2026·南京玄武一模）已知在△ABC中，∠C＝90°，a+b=14，c=10，则三角形面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 60 D. 80 2.（2026·常州武进二模）赵爽弦图，大正方形面积25，小正方形面积1，直角三角形短直角边为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 1 3.（2026·扬州广陵期中）若直角三角形三边长为连续整数，则周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 24 D. 30 4．已知，中，，，，的平分线交于点，则的长度为（  ） A． B． C． D． 5．如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（    ） A．2 B．3 C． D． 6．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 7．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．64 B．36 C．12 D．6 8．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（　　） A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理 9．如图在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝18，则S2的值是（ ） A． B．6 C．5 D． 二．填空题（共30分） 11.（2026·苏州相城一模）赵爽弦图中大正方形面积25，小正方形面积1，则一个直角三角形面积=______。 12.（2026·镇江丹徒期中）已知在△ABC中，∠C＝90°，a=7,b=24，斜边c=_______。 13.（2025·南通海门期末）直角三角形，斜边与一条直角边之差为2，另一直角边为6，则斜边=______。 14．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 15．如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，这个纸箱能容纳的木棒最长为______． 16．如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是______． 17．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是______． 18.勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中,古代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.图②由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3=　　　　.( )  图① 图② 19.如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 20．如图，中，，，，平分．M、N分别是上的点，则的最小值是______． 三．解答题（共60分） 21.如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 22.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米. (1)求出旗杆在离底部多少米的位置断裂; (2)求点B到AC的距离. 23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8． （1）用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD． （2）计算（1）中线段CD的长． 24.在△ABC中，AB，BC，AC边的长分别为，，，求这个三角形的面积．晓辉同学在解这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长都为1)，再在网格中画出格点三角形ABC(即△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示，这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)△ABC的面积为________； (2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC的三边长分别为a，2 a，a(a>0)，请利用图②中的正方形网格(每个小正方形的边长都为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积； (3)若△ABC的三边长分别为，，2 (m>0，n>0，且m≠n)，试运用构图法(自己重新设计一个符合结构特征的网格)求出这个三角形的面积． 25．数形结合是数学学习的一种重要思想方法，我们学习平方差公式、完全平方公式等公式时，课本上用图形面积法验证了公式的正确性。观察下列4个全等的Rt△。 （1）用4个全等的Rt△拼成如图1所示的大正方形，大正方形的面积可以表示为（a+b）2 ，还可以表示为　 　，所以 （a+b）2 =　 　，将（a+b）2 展开整理后，可进一步的得到等式：　 　. （2）用4个全等的Rt△还可以拼成如图2所示的大正方形，请利用图2证明（1）中等式成立. （3）若已知Rt△中，a=8，b=6 ，利用你得到的等式求c的值. 26.在中，，，．如图1，若时，根据勾股定理有． （1）如图2，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （2）如图3，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明； （3）如图4，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积． 27．【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒． 【尝试运用】 （1）求的长； （2）求斜边上的高； 【拓展运用】 （3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $