第二章实数的初步认识小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 ·2026-2027学年苏科版八年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第二章实数的初步认识小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1 .理解平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的概念，能区分有理数与无理数。 2.掌握平方根、立方根的性质，能判断根式有意义的条件，推理实数的分类与大小关系。 3.熟练求平方根、算术平方根、立方根，会进行简单实数大小比较、实数简单运算。 4.能利用实数在数轴上的对应关系，解决估算、实际几何问题。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.算术平方根、平方根、立方根的概念、符号表示与性质。 2.无理数、实数的定义，实数的分类，实数与数轴上的点一一对应。 3.二次根式有意义的条件（被开方数 ≥ 0）。 4.实数大小估算、实数比较大小。 5.利用平方根、立方根的性质求值。 （二）难点 1.区分平方根与算术平方根，理解 、 ± 、- 的含义。 2.理解负数没有平方根，但负数有立方根，性质对比容易混淆。 3.识别无理数（注意：带根号的数不一定是无理数）。 4.实数与数轴一一对应，利用数轴化简含根号、绝对值的式子。 5.利用算术平方根的双重非负性（ ≥ 0，a ≥ 0）解决求值题型（提优高频考点）。 )三．知识梳理 （一）平方根与算术平方根 1.平方根的概念 （1）定义： 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 ＝a ，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根． （2）表示： 正数 a 的正的平方根记为“ ”，读作“根号 a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根可以用“－”表示，故正数 a 的平方根可以用“± ”表示，读作“正负根号a”. 例如，±表示 9 的平方根，±＝±3．特别地，0 的平方根记为． （3）符号表示： （4）被开方数a的非负性： 被开方数a是非负数,即a≥0;负数没有平方根，不能被开平方。 2.开平方 （1）定义： 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 　　　　 总结：平方与开平方互为逆运算．根据这种逆运算关系，可以求一个数的平方根． （2）注意： ①求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把负的平方根遗漏． ②如果被开方数为带分数，要先把它化成假分数． ③一个正数 a 的平方根可表示为±的形式，比如，9的平方根可以表示为±＝±3， 3的平方根可以表示为± ． 3.平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根（被开方数必须大于等于0）。 【注意】：只有非负数才有平方根。 4.算术平方 （1）定义： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示： a的算术平方根记为．读作“根号a”也叫“二次根号a”即（2省略不写），a叫做被开方数。 （4）双重非负性: 只有非负数才有平方根，所以若x²=a，则a≥0；又因为算术平方根是“正数x”，规定0的算术平方根是0，所以≥0。被开方数a是非负数,即a≥0; 5.两个核心公式 （1）一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值,即 =|a|. （2）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身,即 ()2= a(a≥0). 6.平方根的变化规律 （1）基本规律：单调性 当被开方数a逐渐增大时，算术平方根也随之增大；当被开方数a逐渐减小时，算术平方根也随之减小。 【注意】：是算术平方根单调递增，不是平方根±。平方根有正负，不能直接说“平方根随a变大而变大”。 （2）小数点移动规律（最重要考点） 【口诀】： 被开方数小数点向右（左）移动2位，算术平方根小数点向右（左）移动1位。 被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍；被开方数缩小为原来的，算术平方根缩小为原来的。 （3）大小比较规律 ①若0≤a<b，则<。 ②比较两个带根号数大小：可以平方后比较（两边都是非负数，平方大的原数大）。 （二）立方根 1.定义： 如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（三次方根）。 2.开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方；立方与开立方互为逆运算，可互相验证结果。 3.表示： 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. （1）根号左上角的根指数3绝对不能省略（平方根根指数2可省略，立方根不可省略）； （2） a为被开方数，全体实数均可作为被开方数（正数、0、负数都可以开立方）。 4.立方根核心性质（必考，区别平方根） （1）正数的立方根是正数； （2）负数的立方根是负数； （3）0的立方根是0； （4）任意实数有且只有1个立方根（核心区别：正数有两个平方根、负数无平方根）。 （5）特殊的：立方根等于本身的数有0，1和-1。 【口诀】：正根正，负根负，0根0，个个只有一个根。 5.三大万能恒等公式（计算直接套用） 1.（先开立方，再立方，结果等于原数） 2.（先立方，再开立方，结果等于原数） 3.（立方根负号可内外移动，提分关键公式） 6.常见整数立方根熟记（提速必备） =±1， =±2， =±3， =±4， =±5。 （三）无理数 1.定义： 无限不循环小数叫做无理数。 2.特征： 无限、不循环，不能写成分数形式。 3.必考三类无理数： （1）开方开不尽的数：、、、、等； （2）含π的数：π、2π、等； （3）无限不循环特殊小数：0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1） 4.“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别 （1）联系：无限不循环小数和无限循环小数都属于无限小数，即它们的小数部分的位数都是无限的 。 （2）区别 ① 定义不同 ：限循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如，小数部分3无限重复；，小数部分23无限重复 。 无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。例如圆周率π= 3.1415926535…，它的小数位没有重复的数字出现 。 ②能否化成分数不同 无限循环小数可以化成分数。例如对于纯循环小数，设x = ，则 9x=3. x=.=。 对于混循环小数，设x = ，则， ； （四）实数 1.定义： 有理数和无理数统称为实数。也就是说，在实数范围内，一个数要么是有理数，要么是无理数。 2.分类： （1）按定义分 实数 （2）按性质分 实数 3.实数与数轴 （1）实数与数轴上的点一一对应： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？ 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ OO'的长是这个圆的周长π，所以点O'的表示的数为π.无理数π可以用数轴上的点来表示出。 （2）数轴规律：数轴上右边的数总比左边的数大。 （3）意义：数系扩充后，数轴被实数填满，没有空隙。 4.实数的性质 在实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同。 概念 求法 性质 符号语言 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 在原数前面加“－”后进行符号化简 互为相反数的两数之和为0 ∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置 互为倒数的两数之积为1 ∵a，b互为倒数，∴ab＝1 绝对值 在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值 非负数的绝对值是它本身；非正数的绝对值是它的相反数 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两数的绝对值相等 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根 开平方 非负数都有平方根，负数没有平方根 若a为非负数，则a的平方根为± 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根 开立方 任何实数都有立方根 若a为实数，则a的立方根为 5.实数大小比较常用方法（提优必考） （1）无理数的大小比较 ①平方法： 通过平方将无理数转化为有理数比较，适用于正数。若a > 0，b > 0，a > b ，则 > 。 例：比较和2，平方后分别为5和8，因5 < 8，故< 2。 ②夹逼法（估算法）：估算无理数的大致范围，再比较。先确定无理数介于哪两个整数之间，再细化范围。 例：比较和3.2，因32=9 < 10 < 3.22=10.24，故< 3.2 （2）实数大小比较的方法与有理数一致，核心法则如下： ①数轴法：右大左小 ②正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小 ③平方比较法（正无理数）：如比较\sqrt7和\sqrt5，7>5，则\sqrt7>\sqrt5 ④作差法、作商法（复杂实数比较） 6.实数运算基本规则 （1）运算法则：与有理数的运算法则相同。 （2） 运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 （3）运算律： ①加法交换律：a＋b＝b＋a； ②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； ③乘法交换律：ab＝ba； ④乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； ⑤乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋bc。 （4） 实数混合运算的注意点： ①要注意运算顺序； ②应用乘法分配律去括号时，注意不要漏乘及运算的符号问题； ③在进行开方与乘方运算时，要注意符号问题。 （5）常见结果规律： ①有理数±有理数=有理数 ②有理数±无理数=无理数 ③非0有理数×无理数=无理数 （五）双重非负性综合（单元提优核心） 若式子同时出现、|B|、C2，三者结果都≥0；如果+|B|+C2=0，则A=0，B=0，C=0（0+0模型，高频大题） （六）近似值 1.准确数与近似值 （1）准确数：真实、完全精确、没有误差的数，由计数得到。 典型：班级人数、书本本数、桌椅数量、整数统计个数。 （2）近似值：通过测量、估算、四舍五入、仪器读数得到的与真实值接近的数。 典型：身高、体重、长度、面积、光速、人口统计、π的取值、实验测量数据。 （3）近似值产生的常见情况 ①测量产生：用尺子量长度、用天平称质量等得到的数据，如“课桌高0.75m”。 ②估算产生：难以精确统计的数据，如“某城市常住人口约500万”。 ③计算产生：含π、等无理数的计算结果，如“圆的周长计算结果”。 ④时间表述：如“某人年龄13岁”（实际可能为13岁零几个月）。 2.精确度的两种表述方式 （1）概念：近似值的精确度指近似值与准确值的接近程度 。 （2）两种表述方式 ①按数位精确：精确到个位、十分位、百分位、千分位…… ②按小数单位精确：精确到1、0.1、0.01、0.001…… （3）核心规则：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 例：3.14：四舍五入到百分位，精确到0.01；3.142：四舍五入到千分位，精确到0.001。 3.三种取近似值方法（实际应用区分） （1）四舍五入法：数学计算、常规取值（最常用） 这是最常用的取近似值方法。关键是看准精确度，只考虑精确度后面的第一个数字，若小于5则舍去，大于或等于5则向前进一位 。 例如，将3.14159精确到百分位，因为千分位数字1小于5，所以结果是3.14；将3.567精确到十分位，百分位数字6大于5，结果是3.6 。 【注意】近似值小数点后末位数字是0时不能省略不写，如1.50精确到百分位，不能写成1.5 。 （2）进一法：装物品、容器、载人，有余数必须进1 把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不全是0，都要在保留的最后一位数上加1 。 例如某校七年级共有112名学生，想租用45座的客车外出秋游，112÷45≈2.49（辆） ，这里就不能用四舍五入法，而要用“进一法”来得出应该租用客车的辆数，即应租3辆客车。 （3）去尾法：裁布料、截材料，多余部分直接舍去 把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去 。比如要把一根8米长的圆柱体钢管截成每段0.5米长做零件，8÷0.5 = 16（段），但如果实际计算结果是16.2段 ，虽然十分位上的数字大于4，但不足一段，所以只能取近似值16段，这里就用了去尾法。 4.三类高频近似值精确度判断（提优核心） （1）普通小数： 直接看最后一位所在数位，例：5.28 最后一位在百分位→精确到0.01 （2）带“万、亿”单位的近似。 必须还原原数，看末位对应数位，例：3.6万 =36000，末位6在千位→精确到千位 （3）科学记数法近似值 a×10n 还原原数，看a最后一位对应数位，例：2.35×103=2350，末位5在十位→精确到十位 5.近似值反向求原数范围（压轴必考） （1）通用口诀：最小值原数-末位半单位，最大值原数+末位半单位；左闭右开 （2）模板：若近似值x精确到0.1，则原数范围：x-0.05≤原数< x+0.05 例：近似值2.4（精确到0.1），原数范围：2.35≤原数<2.45 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·盐城期中）下列各数中，属于无理数的是（ ） A.　 B.3.14159　 C.　 D.- 2.（2026·苏州吴中月考）的算术平方根是（ ） A.9　 B.±9　 C.3　 D.±3 3.（2025·无锡期末）下列说法正确的是（ ） A.负数一定有平方根 B.=- C.=-4 D.无限小数都是无理数 4.（2026·南京玄武期中）若有意义，则x的取值范围是（ ） A.x>3　 B.x≥3　 C.x<3　 D.x≤3 5.（2025·盐城期末）航天测距中，估算的取值范围是（ ） A.3<<4　 B.4<<5　 C.5<<6　 D.6<<7 6. 已知=7.35，则0.005403的算术平方根是（ ） A. 0.735 B. 0.0735 C. 0.00735 D. 0.000735 7.下列运算中错误的有（ ） ①＝；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －2 B. －( +1)2 C.－ D.－(+1) 9.下列说法中，正确的是（    ） A.近似值1.50和近似值1.5的精确度一样 B.近似值1.02和近似值10.2的精确度一样 C.近似值1.2千万和1200万的精确度一样 D.近似值12.0和1.2的精确度一样 10.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ） A. －2 B. 2－ C. －3 D.3－ 二．填空题（共30分） 11.（2025·盐城月考）16的平方根是________ 12.（2026·无锡期中）-1的相反数是________ 13.（2025·苏州期末）比较大小：____4（填>、<、=） 14.已知，则的平方根是________. 15.如图,9个正方形的是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9边长是无理数的正方形有　　　　个.  16. 如图折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的算术平方根与y的算术平方根之积为___． 17.已知正数a的两个不同的平方根是2x+1和x-7,则2-5x的立方根是　　　　.  18.已知，则。 19.（2025·连云港期末）已知近似数4.3，则原数x的取值范围是______. 20．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 三．解答题（共60分） 21．把下列各数分别填入相应的集合内： ﹣2.5，0，8，﹣2，，， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                 …}； （2）负数集合：{                 …}； （3）整数集合：{                 …}； （4）无理数集合：{                …}． 22.计算： （1）（﹣2）3×＋×（）2﹣； （2） 23. （1）已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值． （2）已知和︱8b－3︱互为相反数，求()2－27 的平方根. 24.先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 25.对非负有理数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜18.75＞=＜19.499＞=19，…．解决下列问题： （1）＜π＞=________（π为圆周率）； （2）如果＜2x﹣1＞=3，则有理数x有最________（填大或小）值，这个值为________． 26.若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜(n＋1)2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为(n，n＋1)；同理规定无理数－的“青一区间”为(－n－1，－n)，例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为(1，2)，－的“青一区间”为(－2，－1)，请回答下列问题： (1) 的“青一区间”为　　　　；－的“青一区间”为　　　　； (2) 若实数x，y满足关系式：＋|2 025＋(y－4)2|＝2 025，求的“青一区间”． 27．【阅读与思考】 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是_______； (2)求的整数部分； (3)已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列说法正确的是（    ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③是精确到千位．④一定比a大．⑤是有理数，是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（   ） A． B．或 C．或8 D．8或 3．下列各数的比较中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4.（2025秋·泰州姜堰期中）若+=0，则a与b关系是（ ） A.a=b B.a+b=0 C.a•b=0 D.不能确定 5.（2025秋·连云港连云期末）的立方根是（ ） A.2 B.±2 C.4 D.±4 6.（2025秋·扬州邗江月考）已知≈2.868，则近似值（ ） A.28.68 B.2.868 C.0.2868 D.286.8 7.如图，数轴上表示的数对应的点为A点，若点B为在数轴上到点A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是（　　） A.﹣1 B．+1 C．1﹣或1+ D．﹣1或+1 8．公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数 学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展. 下面关于无理数的说法错误的是( ) A．面积为 2 的正方形的边长是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数可以用数轴上的点来表示 D．半径为 1 的圆的周长是无理数 9．已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似值是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 10．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（ ） A. B． C． D． 二．填空题（共30分） 11. 绝对值小于的整数有______个． 12．若是整数，则正整数n的最小值为　　． 13. 如图：那么 的结果是__________. 14．若x=3-，则代数式的值是__________. 15、若与互为相反数，则a3+5a2﹣4的值为 _____． 16.地球与太阳之间的距离约为149 600 000 km,用科学记数法表示(精确到千万位)约为________km. 17.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为___________. 18．根据以下程序，当输入时，输出结果为_______. 19．观察：=1+﹣=1 ; =1+﹣=1 ; =1+﹣=﹣ 试猜想： =　 　 20．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 三．解答题（共60分） 21.把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨． 22．计算： (1)(－2)2＋－. (2)2－2×(4＋)． (3)(－2)2×5＋|π－1|－. (4)＋|1－|－＋(－)2. (5)＋－－|－3|. 23．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 24.依照平方根(二次方根)和立方根(三次方根)的定义可给出四次方根、五次方根的定义:①如果x4=a(a≥0),那么x叫做a的四次方根;②如果x5=a,那么x叫做a的五次方根.请依据以上两个定义,解决下列问题: (1)求81的四次方根. (2)求-32的五次方根. (3)求下列各式中x的值: (i)x4=16. (ii)100 000x5=243. 25.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是________． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 26.对非负数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即当n为非负整数时，若n－0.5≤x＜n＋0.5，则〈x〉＝n.反之，当n为非负整数时，若〈x〉＝n，则n－0.5≤x＜n＋0.5.如〈1.34〉＝1，〈4.86〉＝5. (1) 〈π〉＝　　　　； (2) 若〈0.5x－1〉＝7，则实数x的取值范围是　　　　； (3) 若关于x的不等式组的整数解恰有4个，求a的取值范围； (4) 满足〈x〉＝x的所有非负数x的值为　　　　． 27．根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________． (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版八年级数学上提优宝典 《第二章实数的初步认识小结与思考（单元小结）》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1 .理解平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的概念，能区分有理数与无理数。 2.掌握平方根、立方根的性质，能判断根式有意义的条件，推理实数的分类与大小关系。 3.熟练求平方根、算术平方根、立方根，会进行简单实数大小比较、实数简单运算。 4.能利用实数在数轴上的对应关系，解决估算、实际几何问题。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.算术平方根、平方根、立方根的概念、符号表示与性质。 2.无理数、实数的定义，实数的分类，实数与数轴上的点一一对应。 3.二次根式有意义的条件（被开方数 ≥ 0）。 4.实数大小估算、实数比较大小。 5.利用平方根、立方根的性质求值。 （二）难点 1.区分平方根与算术平方根，理解 、 ± 、- 的含义。 2.理解负数没有平方根，但负数有立方根，性质对比容易混淆。 3.识别无理数（注意：带根号的数不一定是无理数）。 4.实数与数轴一一对应，利用数轴化简含根号、绝对值的式子。 5.利用算术平方根的双重非负性（ ≥ 0，a ≥ 0）解决求值题型（提优高频考点）。 )三．知识梳理 （一）平方根与算术平方根 1.平方根的概念 （1）定义： 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 ＝a ，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根． （2）表示： 正数 a 的正的平方根记为“ ”，读作“根号 a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根可以用“－”表示，故正数 a 的平方根可以用“± ”表示，读作“正负根号a”. 例如，±表示 9 的平方根，±＝±3．特别地，0 的平方根记为． （3）符号表示： （4）被开方数a的非负性： 被开方数a是非负数,即a≥0;负数没有平方根，不能被开平方。 2.开平方 （1）定义： 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 　　　　 总结：平方与开平方互为逆运算．根据这种逆运算关系，可以求一个数的平方根． （2）注意： ①求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把负的平方根遗漏． ②如果被开方数为带分数，要先把它化成假分数． ③一个正数 a 的平方根可表示为±的形式，比如，9的平方根可以表示为±＝±3， 3的平方根可以表示为± ． 3.平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0的平方根是0； （3）负数没有平方根（被开方数必须大于等于0）。 【注意】：只有非负数才有平方根。 4.算术平方 （1）定义： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． （2）表示： a的算术平方根记为．读作“根号a”也叫“二次根号a”即（2省略不写），a叫做被开方数。 （4）双重非负性: 只有非负数才有平方根，所以若x²=a，则a≥0；又因为算术平方根是“正数x”，规定0的算术平方根是0，所以≥0。被开方数a是非负数,即a≥0; 5.两个核心公式 （1）一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值,即 =|a|. （2）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身,即 ()2= a(a≥0). 6.平方根的变化规律 （1）基本规律：单调性 当被开方数a逐渐增大时，算术平方根也随之增大；当被开方数a逐渐减小时，算术平方根也随之减小。 【注意】：是算术平方根单调递增，不是平方根±。平方根有正负，不能直接说“平方根随a变大而变大”。 （2）小数点移动规律（最重要考点） 【口诀】： 被开方数小数点向右（左）移动2位，算术平方根小数点向右（左）移动1位。 被开方数扩大为原来的100倍，算术平方根扩大为原来的10倍；被开方数缩小为原来的，算术平方根缩小为原来的。 （3）大小比较规律 ①若0≤a<b，则<。 ②比较两个带根号数大小：可以平方后比较（两边都是非负数，平方大的原数大）。 （二）立方根 1.定义： 如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（三次方根）。 2.开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方；立方与开立方互为逆运算，可互相验证结果。 3.表示： 一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. （1）根号左上角的根指数3绝对不能省略（平方根根指数2可省略，立方根不可省略）； （2） a为被开方数，全体实数均可作为被开方数（正数、0、负数都可以开立方）。 4.立方根核心性质（必考，区别平方根） （1）正数的立方根是正数； （2）负数的立方根是负数； （3）0的立方根是0； （4）任意实数有且只有1个立方根（核心区别：正数有两个平方根、负数无平方根）。 （5）特殊的：立方根等于本身的数有0，1和-1。 【口诀】：正根正，负根负，0根0，个个只有一个根。 5.三大万能恒等公式（计算直接套用） 1.（先开立方，再立方，结果等于原数） 2.（先立方，再开立方，结果等于原数） 3.（立方根负号可内外移动，提分关键公式） 6.常见整数立方根熟记（提速必备） =±1， =±2， =±3， =±4， =±5。 （三）无理数 1.定义： 无限不循环小数叫做无理数。 2.特征： 无限、不循环，不能写成分数形式。 3.必考三类无理数： （1）开方开不尽的数：、、、、等； （2）含π的数：π、2π、等； （3）无限不循环特殊小数：0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次加1） 4.“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别 （1）联系：无限不循环小数和无限循环小数都属于无限小数，即它们的小数部分的位数都是无限的 。 （2）区别 ① 定义不同 ：限循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。例如，小数部分3无限重复；，小数部分23无限重复 。 无限不循环小数是指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。例如圆周率π= 3.1415926535…，它的小数位没有重复的数字出现 。 ②能否化成分数不同 无限循环小数可以化成分数。例如对于纯循环小数，设x = ，则 9x=3. x=.=。 对于混循环小数，设x = ，则， ； （四）实数 1.定义： 有理数和无理数统称为实数。也就是说，在实数范围内，一个数要么是有理数，要么是无理数。 2.分类： （1）按定义分 实数 （2）按性质分 实数 3.实数与数轴 （1）实数与数轴上的点一一对应： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上每一个点都对应唯一的一个实数。 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？你能在数轴上找到表示这样的无理数的点吗？ 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O'，点O'对应的数是多少？ OO'的长是这个圆的周长π，所以点O'的表示的数为π.无理数π可以用数轴上的点来表示出。 （2）数轴规律：数轴上右边的数总比左边的数大。 （3）意义：数系扩充后，数轴被实数填满，没有空隙。 4.实数的性质 在实数范围内，相反数，绝对值，倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同。 概念 求法 性质 符号语言 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数 在原数前面加“－”后进行符号化简 互为相反数的两数之和为0 ∵a，b互为相反数，∴a＋b＝0 倒数 乘积为1的两个数互为倒数 将数值转化为分数形式后交换分子与分母的位置 互为倒数的两数之积为1 ∵a，b互为倒数，∴ab＝1 绝对值 在数轴上表示一个数的点到原点的距离是这个数的绝对值 非负数的绝对值是它本身；非正数的绝对值是它的相反数 任何实数的绝对值都是非负数；互为相反数的两数的绝对值相等 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根 开平方 非负数都有平方根，负数没有平方根 若a为非负数，则a的平方根为± 立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根 开立方 任何实数都有立方根 若a为实数，则a的立方根为 5.实数大小比较常用方法（提优必考） （1）无理数的大小比较 ①平方法： 通过平方将无理数转化为有理数比较，适用于正数。若a > 0，b > 0，a > b ，则 > 。 例：比较和2，平方后分别为5和8，因5 < 8，故< 2。 ②夹逼法（估算法）：估算无理数的大致范围，再比较。先确定无理数介于哪两个整数之间，再细化范围。 例：比较和3.2，因32=9 < 10 < 3.22=10.24，故< 3.2 （2）实数大小比较的方法与有理数一致，核心法则如下： ①数轴法：右大左小 ②正数＞0＞负数；两个负数，绝对值大的反而小 ③平方比较法（正无理数）：如比较\sqrt7和\sqrt5，7>5，则\sqrt7>\sqrt5 ④作差法、作商法（复杂实数比较） 6.实数运算基本规则 （1）运算法则：与有理数的运算法则相同。 （2） 运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 （3）运算律： ①加法交换律：a＋b＝b＋a； ②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； ③乘法交换律：ab＝ba； ④乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； ⑤乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋bc。 （4） 实数混合运算的注意点： ①要注意运算顺序； ②应用乘法分配律去括号时，注意不要漏乘及运算的符号问题； ③在进行开方与乘方运算时，要注意符号问题。 （5）常见结果规律： ①有理数±有理数=有理数 ②有理数±无理数=无理数 ③非0有理数×无理数=无理数 （五）双重非负性综合（单元提优核心） 若式子同时出现、|B|、C2，三者结果都≥0；如果+|B|+C2=0，则A=0，B=0，C=0（0+0模型，高频大题） （六）近似值 1.准确数与近似值 （1）准确数：真实、完全精确、没有误差的数，由计数得到。 典型：班级人数、书本本数、桌椅数量、整数统计个数。 （2）近似值：通过测量、估算、四舍五入、仪器读数得到的与真实值接近的数。 典型：身高、体重、长度、面积、光速、人口统计、π的取值、实验测量数据。 （3）近似值产生的常见情况 ①测量产生：用尺子量长度、用天平称质量等得到的数据，如“课桌高0.75m”。 ②估算产生：难以精确统计的数据，如“某城市常住人口约500万”。 ③计算产生：含π、等无理数的计算结果，如“圆的周长计算结果”。 ④时间表述：如“某人年龄13岁”（实际可能为13岁零几个月）。 2.精确度的两种表述方式 （1）概念：近似值的精确度指近似值与准确值的接近程度 。 （2）两种表述方式 ①按数位精确：精确到个位、十分位、百分位、千分位…… ②按小数单位精确：精确到1、0.1、0.01、0.001…… （3）核心规则：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 例：3.14：四舍五入到百分位，精确到0.01；3.142：四舍五入到千分位，精确到0.001。 3.三种取近似值方法（实际应用区分） （1）四舍五入法：数学计算、常规取值（最常用） 这是最常用的取近似值方法。关键是看准精确度，只考虑精确度后面的第一个数字，若小于5则舍去，大于或等于5则向前进一位 。 例如，将3.14159精确到百分位，因为千分位数字1小于5，所以结果是3.14；将3.567精确到十分位，百分位数字6大于5，结果是3.6 。 【注意】近似值小数点后末位数字是0时不能省略不写，如1.50精确到百分位，不能写成1.5 。 （2）进一法：装物品、容器、载人，有余数必须进1 把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不全是0，都要在保留的最后一位数上加1 。 例如某校七年级共有112名学生，想租用45座的客车外出秋游，112÷45≈2.49（辆） ，这里就不能用四舍五入法，而要用“进一法”来得出应该租用客车的辆数，即应租3辆客车。 （3）去尾法：裁布料、截材料，多余部分直接舍去 把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去 。比如要把一根8米长的圆柱体钢管截成每段0.5米长做零件，8÷0.5 = 16（段），但如果实际计算结果是16.2段 ，虽然十分位上的数字大于4，但不足一段，所以只能取近似值16段，这里就用了去尾法。 4.三类高频近似值精确度判断（提优核心） （1）普通小数： 直接看最后一位所在数位，例：5.28 最后一位在百分位→精确到0.01 （2）带“万、亿”单位的近似。 必须还原原数，看末位对应数位，例：3.6万 =36000，末位6在千位→精确到千位 （3）科学记数法近似值 a×10n 还原原数，看a最后一位对应数位，例：2.35×103=2350，末位5在十位→精确到十位 5.近似值反向求原数范围（压轴必考） （1）通用口诀：最小值原数-末位半单位，最大值原数+末位半单位；左闭右开 （2）模板：若近似值x精确到0.1，则原数范围：x-0.05≤原数< x+0.05 例：近似值2.4（精确到0.1），原数范围：2.35≤原数<2.45 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.（2025·盐城期中）下列各数中，属于无理数的是（ ） A.　 B.3.14159　 C.　 D.- 【答案】C 【解析】=3是有理数；有限小数、分数都是有理数；开方开不尽，是无限不循环小数，为无理数。 2.（2026·苏州吴中月考）的算术平方根是（ ） A.9　 B.±9　 C.3　 D.±3 【答案】A 【解析】算术平方根结果为非负数，=9；9的算术平方根是3。 3.（2025·无锡期末）下列说法正确的是（ ） A.负数一定有平方根 B.=- C.=-4 D.无限小数都是无理数 【答案】B 【解析】负数没有平方根；=|-4|=4；无限循环小数是有理数；立方根性质：=-。 4.（2026·南京玄武期中）若有意义，则x的取值范围是（ ） A.x>3　 B.x≥3　 C.x<3　 D.x≤3 【答案】B 【解析】算术平方根被开方数非负，x-3≥0，即x≥3。 5.（2025·盐城期末）航天测距中，估算的取值范围是（ ） A.3<<4　 B.4<<5　 C.5<<6　 D.6<<7 【答案】B 【解析】42=16，52=25，16<21<25，所以4<<5。 6. 已知=7.35，则0.005403的算术平方根是（ ） A. 0.735 B. 0.0735 C. 0.00735 D. 0.000735 【答案】B 【解析】∵=7．35∴0．005403的算术平方根是0．0735．故选B． 7.下列运算中错误的有（ ） ①＝；②；③；④；⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①＝4，①符合题意，②，②不符合题意，③没有意义，③符合题意，④，④不符合题意，⑤，⑤符合题意， 8.若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －2 B. －( +1)2 C.－ D.－(+1) 【答案】D 【解析】由于为实数, 2、( +1)2、均为非负数，∴－2≤0，－( +1)2≤0，－≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A、B、C不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(+1)﹤0．故选D 9.下列说法中，正确的是（    ） A.近似值1.50和近似值1.5的精确度一样 B.近似值1.02和近似值10.2的精确度一样 C.近似值1.2千万和1200万的精确度一样 D.近似值12.0和1.2的精确度一样 【答案】D 【解析】A、近似值1.50的精确度是精确到0.01，近似值1.5的精确度是精确到0.1，两者不一样，故此选项不符合题意；B、近似值1.02的精确度是精确到0.01，近似值10.2的精确度是精确到0.1，两者不一样，故此选项不符合题意；C、近似值1.2千万的精确度是精确到百万位，近似值1200万的精确度是精确到万位，两者不一样，故此选项不符合题意；D、近似值12.0的精确度是精确到0.1，近似值1.2的精确度是精确到0.1，两者一样，故此选项符合题意．故选：D． 10.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为（ ） A. －2 B. 2－ C. －3 D.3－ 【答案】A 【解析】B、C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的距离是－1，所以点C到点A的距离也是－1，设点C到点O的距离为，所以+1=－1，即=－2．又因为点C所表示的实数为负数，所以点C所表示的实数为2－． 二．填空题（共30分） 11.（2025·盐城月考）16的平方根是________ 【答案】±4 【解析】(±4)2=16，平方根有两个，互为相反数。 12.（2026·无锡期中）-1的相反数是________ 【答案】1- 【解析】a的相反数是-a，-(-1)=1- 13.（2025·苏州期末）比较大小：____4（填>、<、=） 【答案】< 【解析】4=,< 14.已知，则的平方根是________. 【答案】 【解析】根据题意得，b-4=0，a-1=0，解得a=1，b=4，所以，=，∴的平方根是， 15.如图,9个正方形的是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9边长是无理数的正方形有　　　　个.  【答案】6 【解析】面积为1,4,9的正方形的边长为有理数,面积为2,3,5,6,7,8的正方形的边长为无理数. 16. 如图折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的算术平方根与y的算术平方根之积为___． 【答案】 【解析】依题意得x-y的相对面是1，x+y的相对面是3，∴x=2，y=1，∴x的算术平方根与y的算术平方根之积为. 17.已知正数a的两个不同的平方根是2x+1和x-7,则2-5x的立方根是　　　　.  【答案】-2 【解析】　由题意得,2x+1+x-7=0,解得x=2,∴2-5x=-8,∵-8的立方根是-2,∴2-5x的立方根是-2. 18.已知，则。 【答案】498 【解析】因为 所以 19.（2025·连云港期末）已知近似数4.3，则原数x的取值范围是______. 【答案】4.25≤x<4.35 【解析】精确到0.1，下限减0.05可取等，上限加0.05不可取等。 20．如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输出y的值是______． 【答案】 【解析】由程序计算图可得：当输入x的值是64时，则第一次输出结果为，，是有理数，∴第二次输出结果为 三．解答题（共60分） 21．把下列各数分别填入相应的集合内： ﹣2.5，0，8，﹣2，，， ﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{                 …}； （2）负数集合：{                 …}； （3）整数集合：{                 …}； （4）无理数集合：{                …}． 【答案】（1）正数集合：｛8，，，，…｝； （2）负数集合：｛－2．5，－2 ，－0．525225222…，…｝； （3）整数集合：｛0，8，－2 …｝； （4）无理数集合：{ ，－0．5252252225…，…}． 【解析】正数包括正有理数和正无理数，负数包括负有理数和负无理数，整数包括正整数、负整数和0，无理数是无限不循环小数.由此即可解决问题. 22.计算： （1）（﹣2）3×＋×（）2﹣； （2） 解：（1）原式＝﹣8×4＋（﹣4）×﹣3＝﹣32﹣1﹣3＝﹣36； （2）原式＝﹣3﹣0﹣＋＋＝﹣2。 23. （1）已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值． （2）已知和︱8b－3︱互为相反数，求()2－27 的平方根. 解：（1）∵2a−1的平方根是±3，∴2a−1=9，∴a=5，∵3a+b−1的算术平方根是4，∴3a+b−1=16， ∴3×5+b−1=16，∴b=2，∴a+2b=5+2×2=9. （2）由题意有：+|8b−3|=0. ∴1−3a=0，8b−3=0, ∴,的平方根是 24.先阅读材料，再解答问题． __________，__________， ____________________． __________． (1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ； (2)计算的值． 解：（1），，．．故互为相反数的两个数的立方根的关系为互为相反数；故答案为：；；； ；互为相反数． （2） ． 25.对非负有理数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜18.75＞=＜19.499＞=19，…．解决下列问题： （1）＜π＞=________（π为圆周率）； （2）如果＜2x﹣1＞=3，则有理数x有最________（填大或小）值，这个值为________． 【答案】（1）3，（2）小，． 【解析】（1）根据新运算的意义可得＜π＞=3； （2）由新运算的意义可知2x﹣1不小于25，且小于35，所以2x﹣125，解得x≥，即有理数x有最小值，这个值为。 26.若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜(n＋1)2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为(n，n＋1)；同理规定无理数－的“青一区间”为(－n－1，－n)，例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为(1，2)，－的“青一区间”为(－2，－1)，请回答下列问题： (1) 的“青一区间”为　　　　；－的“青一区间”为　　　　； (2) 若实数x，y满足关系式：＋|2 025＋(y－4)2|＝2 025，求的“青一区间”． 解：(1) (4，5)　(－5，－4) (2) 因为＋|2 025＋(y－4)2|＝2 025，所以＋2 025＋(y－4)2＝2 025， 即＋(y－4)2＝0，所以x＝3，y＝4，所以＝.因为32＜12＜42，所以的“青一区间”为(3，4). 27．【阅读与思考】 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题： (1)的小数部分是_______； (2)求的整数部分； (3)已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根． 解：（1）∵，∴，即，∴的小数部分是． （2）∵，∴，即，∴，∴， ∴的整数部分为1． （3）∵，∴，即，∴， ∴的整数部分为24，小数部分为， ∵，其中是整数，且，∴，， ∴，∴的平方根为． B卷·强化提优 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1．下列说法正确的是（    ） ①正整数和负整数统称整数．②平方等于9的数是3．③是精确到千位．④一定比a大．⑤是有理数，是无理数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】①正整数，负整数和0统称整数，原说法错误；②平方等于9的数是，原说法错误；③是精确到千位，正确；④一定比a大，正确；⑤与都是有理数，原说法错误；正确的有：③④，故选：A． 2．若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（   ） A． B．或 C．或8 D．8或 【答案】B 【解析】∵的平方是9，的平方是25，∴，，又∵，即， ∴或，∴或，故选：B． 3．下列各数的比较中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】故本选项错误； 故本选项错误；故本选项正确；故本选项错误。故选： C。 4.（2025秋·泰州姜堰期中）若+=0，则a与b关系是（ ） A.a=b B.a+b=0 C.a•b=0 D.不能确定 【答案】：B 【解析】：=-=，所以a=-b，a+b=0。 5.（2025秋·连云港连云期末）的立方根是（ ） A.2 B.±2 C.4 D.±4 【答案】：A 【解析】：先算=8；再求8的立方根=2；两步运算，易错直接对64开立方。 6.（2025秋·扬州邗江月考）已知≈2.868，则近似值（ ） A.28.68 B.2.868 C.0.2868 D.286.8 【答案】：A 【解析】：被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；23600=23.6×1000，结果2.868×10=28.68。 7.如图，数轴上表示的数对应的点为A点，若点B为在数轴上到点A的距离为1个单位长度的点，则点B所表示的数是（　　） A.﹣1 B．+1 C．1﹣或1+ D．﹣1或+1 【答案】D 【解析】根据题意得：点B表示的数为﹣1或+1，故选：D． 8．公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的一名成员希伯索斯发现了无理数.这个发现引发了数 学史上的第一次数学危机，打破了“万物皆数”的局限认识，迎来了数学的一次飞跃发展. 下面关于无理数的说法错误的是( ) A．面积为 2 的正方形的边长是无理数 B．无限小数是无理数 C．无理数可以用数轴上的点来表示 D．半径为 1 的圆的周长是无理数 【答案】B 【解析】A. 面积为 2 的正方形的边长为，是无理数 ，正确; B. 无限不循环小数是无理数,错误;C. 无理数可以用数轴上的点来表示,正确; D. 半径为 1 的圆的周长是2π，是无理数，正确.故选B. 9．已知2.■是一个两位小数，保留一位小数后的近似值是2.5，这个两位小数的取值范围在数轴上表示出来应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：这个数在和之间，则符合题意的只有B选项． 10．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（ ） A. B． C． D． 【答案】D 【解析】由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为，∵纸张长与宽的比为，∴纸的长为，∵纸面积为，∴，∴． 二．填空题（共30分） 11. 绝对值小于的整数有______个． 【答案】7 【解析】设这个数为x,则<∴-<x<.∴绝对值小于的所有整数有0，±1，±2，±3. 12．若是整数，则正整数n的最小值为　　． 【答案】5 【解析】∵20n=22×5n．∴整数n的最小值为5．故答案是：5． 13. 如图：那么 的结果是__________. 【答案】－2b 【解析】∵由图可知，b＜a＜0，∴a-b＞0，a+b＜0，∴原式=|a-b|+|a+b|=a-b-a-b=-2b 14．若x=3-，则代数式的值是__________. 【答案】2008 【解析】∵x=3-；x-3=-；x2-6x-9=（x-3）2-18=（-）2-18=2008 15、若与互为相反数，则a3+5a2﹣4的值为 _____． 【答案】12 【解析】由题意得： ∴∴a+1＝﹣（a2﹣5）．∴a2+a＝4．∴a3+a2＝4a．∴a3＝﹣a2+4a．∴a3+5a2﹣4＝﹣a2+4a+5a2﹣4＝4a2+4a﹣4＝4（a2+a）﹣4＝4×4﹣4＝12．故答案为：12. 16.地球与太阳之间的距离约为149 600 000 km,用科学记数法表示(精确到千万位)约为________km. 【答案】1.5×108 【解析】精确到千万位，看百万位，149 600 000 1.5×108 17.如图所示,数轴上A、B两点分别表示实数1，，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的实数为___________. 【答案】－2 【解析】B、C两点关于点A对称，因而B、C两点到点A的距离是相同的，点B到点A的距离是－1，所以点C到点A的距离也是－1，设点C到点O的距离为，所以+1=－1，即=－2．又因为点C所表示的实数为负数，所以点C所表示的实数为2－． 18．根据以下程序，当输入时，输出结果为_______. 【答案】 【解析】，∵，∴，，∵，∴，，，∵，∴，∴输出的结果为． 19．观察：=1+﹣=1 ; =1+﹣=1 ; =1+﹣=﹣ 试猜想： =　 　 【答案】1 【解析】根据题目中的规律可得： 20．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【解析】由题意得：装裱后长方形的长为，∴长方形的面积为；故答案为． 三．解答题（共60分） 21.把下列各数的序号填入它们属于的集合内： ①；②；③7；④0；⑤；⑥； ⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；⑧；⑨． 解：由题意知，，， （1）⑤，⑦0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨属于无理数； （2）①，②属于负有理数； （3）③7，⑤，⑥，⑧，⑨属于正实数． 故答案为： 22．计算： (1)(－2)2＋－. (2)2－2×(4＋)． (3)(－2)2×5＋|π－1|－. (4)＋|1－|－＋(－)2. (5)＋－－|－3|. 解：(1)原式＝4＋＋2＝6. (2)原式＝2－8－2＝－8. (3)原式＝4×5＋π－1－3＝20＋π－1－3＝16＋π. (4)原式＝6＋－1＋2＋5＝12＋. (5)原式＝1＋5＋3－3＋＝6＋. 23．已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． (1)求、、的值； (2)求的算术平方根与的小数部分的差． 解：（1）∵的平方根是，的立方根为2，∴，，∴，， ∵，∴，即，∵的整数部分为，∴； （2）由（1）可知，，， ∴， ∵，∴，即，∴的小数部分为， ∴． 24.依照平方根(二次方根)和立方根(三次方根)的定义可给出四次方根、五次方根的定义:①如果x4=a(a≥0),那么x叫做a的四次方根;②如果x5=a,那么x叫做a的五次方根.请依据以上两个定义,解决下列问题: (1)求81的四次方根. (2)求-32的五次方根. (3)求下列各式中x的值: (i)x4=16. (ii)100 000x5=243. 解：(1)∵(±3)4=81,∴81的四次方根是±3. (2)∵(-2)5=-32,∴-32的五次方根是-2. (3)(i)∵(±2)4=16,∴x=±2. (ii)原式可变形为x5=0.002 43,∵0.35=0.002 43,∴x=0.3. 25.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是________． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 解：(1)∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示∴点表示∴． (2)∵∴， ∴． (3)∵与互为相反数∴∴，∴， ∴∴，即的平方根是． 26.对非负数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即当n为非负整数时，若n－0.5≤x＜n＋0.5，则〈x〉＝n.反之，当n为非负整数时，若〈x〉＝n，则n－0.5≤x＜n＋0.5.如〈1.34〉＝1，〈4.86〉＝5. (1) 〈π〉＝　　　　； (2) 若〈0.5x－1〉＝7，则实数x的取值范围是　　　　； (3) 若关于x的不等式组的整数解恰有4个，求a的取值范围； (4) 满足〈x〉＝x的所有非负数x的值为　　　　． 解：(1) 3　(2) 15≤x＜17 (3) 解不等式组，得－1≤x＜〈a〉，由不等式组整数解恰有4个，得2＜〈a〉≤3， 所以2.5≤a＜3.5. （4）0或或或　提示：因为x－≤x＜x＋，所以－＜x≤.因为x是非负数，所以0≤x≤，即0≤x≤3.因为x为整数，所以x＝0或x＝1或x＝2或x＝3，所以满足〈x〉＝x的所有非负数x的值为0或或或. 27．根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备给妈妈过生日．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为___________． (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 解:（1）设这块圆柱形蛋糕的半径为，这块蛋糕的底面积为，， 解得：（负值舍去），即这块圆柱形蛋糕的半径为； （2）设这个正方体礼品盒的棱长为，正方体礼品盒的体积为，， 解得：，即这个正方体礼品盒的棱长为； （3）这个礼品盒不能装下这块蛋糕．理由：由（1）可知，这块圆柱形蛋糕的半径为， 这块圆柱形蛋糕的直径为，，，， 正方体礼品盒的棱长为，这个礼品盒不能装下这块蛋糕． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $