专题3.1 勾股定理的探究（专题训练）-2026-2027学年苏科版八年级数学上册《知识解读·题型专练》

专题3.1 勾股定理的探究（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1…利用勾股定理求边长 1 题型·2·以直角三角形三边为边长的图形面积 4 题型·3·利用勾股定理证平方关系 8 题型·4·勾股定理常见模型之赵爽线图 13 题型·5·勾股定理与无理数 22 题型·6·勾股定理常见模型之斜边上的高 26 题型·1…利用勾股定理求边长 1．如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（     ） A．13米 B．12米 C．11米 D．10米 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，在中，米，米，， ∴（米）， ∴这根钢缆长为13米． 2．如图，在中，，D是边的中点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， 是边的中点， 是斜边上的中线， ． 3．如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即这块草地的面积是． 4．如图，在中，，，，，则的长度为_________． 【答案】 【分析】先在中利用勾股定理求出的长，再根据线段的和差关系求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， 由图可知点在线段上， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 5．如图，中，，，，的垂直平分线交于点，交于，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，在中，根据勾股定理可得出答案． 【详解】解： 的垂直平分线交于，交于， 设，则， 在中，， ， 解得． ∴． 题型·2·以直角三角形三边为边长的图形面积 6．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为_______． 【答案】25 【分析】以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积之和． 【详解】解：字母A所代表的正方形的面积． 7．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据正方形面积求出的平方，利用勾股定理求出的长；作辅助线构造全等三角形，得出和的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形的面积为， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 延长，过点作的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：． 8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，， ∴，， ∴． 9．如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 【答案】 【分析】证明，得到，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，得到，同理得到，， ，再计算即可． 【详解】解：如图， 图中的四边形为正方形， ，， ， ， ， 又∵， ， ， ， ， ，，， ， 同理可得，，...，， ． 10．如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 11．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】15 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由图可设半圆、半圆、半圆的面积分别为，由勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：由图可设半圆、半圆、半圆的面积分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为15． 题型·3·利用勾股定理证平方关系 12．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 13．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 14．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．如图，在中，，为的中点，点分别在边上，且．请说明线段之间的数量关系并给出证明． 【答案】． 证明：如图，过点作交的延长线于点，连接， ，， ， ， ，， ， 是线段的垂直平分线， ， ，， ， 在中，， ． 【分析】过点作交的延长线于点，连接，通过证明，得到对应边相等，继而证明是线段的垂直平分线，得到，根据勾股定理得到，从而得证结论． 【详解】略. 16．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是____________． 【答案】(1) (2) 如图所示，过点A作，交的延长线于点D，设， 根据勾股定理得， 则， 即． ∵， ∴； (3)24 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 对于（1），根据题意猜想即可； 对于（2），先过点A作，交的延长线于点D，设，再根据勾股定理得，整理可得答案； 对于（3），先说明三角形的形状，再根据勾股定理求出x，进而得出答案． 【详解】（1）是钝角三角形且为钝角时，． 故答案为：； （2）略 （3）∵， ∴， ∴时钝角三角形． 过点A作，交的延长线于点D，设， 由（2），得， ∴， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 故答案为：24． 题型·4·勾股定理常见模型之赵爽线图 17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形求出与的值，利用完全平方公式化简得到，再代入计算求出的值即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a， 较短直角边长为b， 根据题意得，，， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即每个直角三角形的两直角边之和为5． 18．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：正方形的面积为． 19．在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，可得， ，，求解，，如图，连接，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，连接，过作于， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与赵爽弦图的应用，核心是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的边长关系，逐一验证三个推断的正确性． 【详解】解： 由勾股定理可知，①正确； ， ，②正确； ，， ，③正确． 21．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【答案】B 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 22．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 【答案】(1) 证明：根据题意，得， ， 则，即； (2) 【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式， （1）根据，，进行推理验证即可； （2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求． 【详解】（1）略 （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为， ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得， ， ∴该飞镖状图案的面积是． 23．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和圆的面积公式是解题的关键， （1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，则，由题可得，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，由勾股定理得， 再根据题意，代入可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， 故答案为：； （2）解：设，，由题可得：， ∴，， ∴， ∴， 解：， ∴飞镖状图案的面积为， （3）解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，斜边为，则：， 由题意得：，，， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 24．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 【答案】（1）； （2）， ， ； （3）24 【分析】此题考查了勾股定理的证明和完全平方公式的应用，数形结合是关键． （1）根据面积相等即可得到答案； （2）根据题意得到，整理即可得结论； （3）由（2）得到，由旋转得到，求出，由得到，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． ∴由此得到等式：； 故答案为；； （2）略 （3）是直角三角形，，，，， ， 绕点顺时针旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型·5·勾股定理与无理数 25．如图，数轴上点A所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理可得，正方形的对角线为，从而可得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理可得，正方形的对角线为：， ∴点表示的数为：． 26．如图，在数轴上找出表示的点A、表示2的点B，过点B作直线，在上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理计算，从而得到的长，根据数轴上的两点间距离公式计算即可． 【详解】∵表示的点A、表示2的点B在数轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，数轴上两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理，灵活运用数轴上两点间距离公式是解题的关键． 27．如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 _________________ ． 【答案】 / 【分析】根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 28．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图1，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是_____； (2)在图2中作出实数所在的位置；（保留必要的作图痕迹） (3)的相反数是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据勾股定理及作图痕迹得到，即可求出点表示的实数； （2）在处取点，利用勾股定理构造长度为​的线段，以为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，点即为所求； （3）根据相反数的定义作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点D表示的实数是； （2）略； （3）解：的相反数为． 29．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ． ②应用场景2——解决实际问题． 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1) 由图3的左图可知：，即， 由图3的右图可知：，即， ∴， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． (2)①；②绳索的长为． 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； （2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：①在中， ∵， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得， 解得：． ∴绳索的长为． 题型·6·勾股定理常见模型之斜边上的高 30．如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴． 31．如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 【答案】(1) 证明：，， ． ，． ． 在和中， ． ； (2)． 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是熟练掌握垂直的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）由垂直得到，进而得到，证明，即可得到； （2）根据勾股定理得到，根据等面积法计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中， ， ， ． 32．如图，在中，是斜边上的高，，，求高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，根据勾股定理求出，根据等积法求出的值即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理得 ， ， ． 33．如图，在中，，，在中，是边上的高，，． (1)求的长． (2)求斜边边上的高． 【答案】(1) (2)斜边AB边上的高是4.8 【分析】（1）根据在中，是边上的高，，，可以计算出的长，然后根据勾股定理即可得到的长； （2）根据等面积法，可以求得斜边边上的高． 【详解】（1）解：（1）∵在中，是边上的高，，， ∴，即，解得， ∵在中，，， ∴； （2）解：作于点F， ∵，， ∴， 解得，即斜边AB边上的高是4.8． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 勾股定理的探究（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型·1…利用勾股定理求边长 1 题型·2·以直角三角形三边为边长的图形面积 2 题型·3·利用勾股定理证平方关系 4 题型·4·勾股定理常见模型之赵爽线图 5 题型·5·勾股定理与无理数 9 题型·6·勾股定理常见模型之斜边上的高 11 题型·1…利用勾股定理求边长 1．如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（     ） A．13米 B．12米 C．11米 D．10米 2．如图，在中，，D是边的中点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图是一块正方形草地，在边上取定一个点E，经测量知，．则这块草地的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，，则的长度为_________． 5．如图，中，，，，的垂直平分线交于点，交于，连接，则的长为________． 题型·2·以直角三角形三边为边长的图形面积 6．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为_______． 7．如图，在中，，，以斜边为边向外作正方形，连接，若正方形的面积为74，则的长为__________． 8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．正方形A，B，C，D的面积分别是，，，，则正方形G的面积是________． 9．如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 10．如图，在中，，，以三边为直径向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为________． 11．如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积为____． 题型·3·利用勾股定理证平方关系 12．如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 13．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．    14．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 15．如图，在中，，为的中点，点分别在边上，且．请说明线段之间的数量关系并给出证明． 16．在中，， 若如图①，则有 ；若是锐角三角形，小明猜想，理由： 如图②， 过点A作， 垂足为D，设．在中，，在 中， ，，整理得 ， ，，， ，∴当是锐角三角形时， ，∴小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，是钝角三角形且为钝角时， （填“>”“<”或“=”）； (2)根据图③证明你猜想的结论是正确的． (3)若， 则的面积是____________． 题型·4·勾股定理常见模型之赵爽线图 17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形图案（如图），它是2002年北京国际数学家大会会徽的基础图案．若大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边之和为（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 18．第14届数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，，，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 19．在北京召开的第届国际数学家大会会标（图）以“赵爽弦图”为原型设计，图是该会标的几何抽象示意图，其中四个直角三角形全等，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，是的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 20．我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 21．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 22．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大、一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，求该飞镖状图案的面积． 23．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：___________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形MNKT的面积分别为，，．若，则 ___________． 24．出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 题型·5·勾股定理与无理数 25．如图，数轴上点A所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 26．如图，在数轴上找出表示的点A、表示2的点B，过点B作直线，在上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴交点为D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 27．如图，的直角边，且在数轴上，以A为圆心，以为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为 _________________ ． 28．我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置． (1)如图1，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是_____； (2)在图2中作出实数所在的位置；（保留必要的作图痕迹） (3)的相反数是_____． 29．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是 ． ②应用场景2——解决实际问题． 如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 题型·6·勾股定理常见模型之斜边上的高 30．如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．4.8 B．5 C．6 D．10 31．如图，在中，高与高交于点，． (1)求证：； (2)若，，求和的长度． 32．如图，在中，是斜边上的高，，，求高的长． 33．如图，在中，，，在中，是边上的高，，． (1)求的长． (2)求斜边边上的高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $