精品解析：湖南永州市冷水滩区京华中学2026-2027学年八年级上学期第一次检测数学试卷

京华中学八年级上册课后服务练习 数 学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A． 是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意． B． 的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意． C． 属于因式分解，符合题意． D． 的左边是单项式，不是多项式，单项式不能进行因式分解，不符合题意． 2. 下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】能用平方差公式分解的多项式需要满足可写成的形式，即两个平方项符号相反，为差的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解； 选项B：，符合的形式，满足平方差公式分解因式的条件； 选项C：，两个平方项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解； 选项D：，是两个平方项的和，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解． 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项，分子分母有公因式，不是最简分式． 选项，分子与分母无公因式，是最简分式． 选项，分子因式分解为，与分母有公因式，不是最简分式． 选项，分子可变形为，与分母有公因式，不是最简分式． 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， ， 故选：A． 5. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】将扩大3倍后的a、b代入分式，化简后与原分式比较得到倍数关系． 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 6. 已知，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 50 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】先对所求多项式因式分解，再将已知条件整理后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴将代入得原式． 7. 某班准备用42元钱到商场去购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果比价多买了2本，求原价每本多少元？设原价每本元，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以还价后比原价多买2本为等量关系，分别表示两种单价下的购买数量列方程 【详解】解：设原价每本元，则还价后每本元，原价购买数量为本，还价后购买数量为本， ∵还价后比原价多买2本， ∴． 8. 已知，则分式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】将待求分式的分子分母同除以，转化为含已知式的形式，整体代入求值． 【详解】解：由题意得，， 将的分子、分母同时除以，得， ∵， ∴原式． 9. 若分式方程无解，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再从整式方程无解和整式方程有解，但该解让原分式方程的最简公分母为零两种情况讨论即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得， 当，即时，，整式方程无解，原分式方程无解； 当时，， 令，得增根， 将代入，得， 两边同乘，得， 展开得， 移项得， 经检验：是方程的解， 综上，的值为或． 10. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12、17、13为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（ ） A. 113113 B. 111331 C. 113553 D. 115335 【答案】B 【解析】 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入、的值计算各因式得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码． 【详解】解：， 当取，时，，， 那么11、31、13为因式码，按从小到大顺序排列后连接得到密码111331． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 多项式中各项的公因式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据确定公因式的方法，先求多项式各项系数的最大公约数，再找各项含有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式的两项为和， 系数部分：5和10的最大公约数是5， 字母部分：两项都含有字母m和n，m的最低次幂是1，n的最低次幂是1， ∴公因式为． 12. 若分式的值为零，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，列出方程和不等式，求解即可． 【详解】解：分式的值为零， 且， 解得． 13. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式变形即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴将等式两边同时平方，得， 根据完全平方公式展开左边，得， 化简得， ∴． 14. 若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ． 15. 张明和李放剪出如图1所示的4个图，然后又拼成了如图2所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：图1四个图形的总面积为， 图2大长方形的面积为， ， ． 16. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【答案】 且 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得  ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． 三．解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 利用因式分解计算： （1）；； （2）． 【答案】（1）280000； （2）40000 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， 去括号得 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 20. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】对括号内式子通分计算；把除法转化为乘法；对多项式因式分解后约分；最后代入数值计算结果． 【详解】解： ． 当时， 原式． 21. 某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费万元和万元购进，两款充电桩，已知款充电桩的单价比款充电桩的单价高万元，且购进款充电桩的数量是款充电桩的数量的倍． （1）分别求，两款充电桩的单价； （2）该商场调研发现，现有改造的充电停车位已不能满足新能源汽车的充电需求，决定再用不多于万元的资金购进，两款充电桩共个，求此次可购进款充电桩的数量的最大值． 【答案】（1）款充电桩单价为万元，款充电桩单价为万元 （2）此次可购进款充电桩的数量的最大值为 【解析】 【分析】（1）设款充电桩的单价为万元，则款充电桩的单价为万元，根据款充电桩数量是款数量倍的等量关系列出分式方程，解方程求出的值，即可得出答案； （2）设购进款充电桩个，则购进款充电桩个，根据总购进资金不多于万元列出一元一次不等式，结合正整数条件求出A款充电桩数量的最大值即可． 【小问1详解】 解：设款充电桩的单价为万元，则款充电桩的单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴（万元）， 答：款充电桩单价为万元，款充电桩单价为万元． 【小问2详解】 解：设购进款充电桩个，则购进款充电桩个， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为， ∴此次可购进款充电桩的数量的最大值为． 22. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】（1）另一个因式为，的值为 （2）另一个因式为，的值为 【解析】 【分析】（1）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可； （2）设另一个因式为，结合整式的乘法与方程思想求解即可. 【小问1详解】 解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 【小问2详解】 解：设另一个因式为，得 ， 则， ， 解得：， ∴另一个因式为的值为． 23. 请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：________（直接写出结果）； （3）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：设， ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ． 24. （一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 京华中学八年级上册课后服务练习 数 学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式可以用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 6. 已知，则的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 50 D. 32 7. 某班准备用42元钱到商场去购买笔记本，经过还价，每本便宜0.5元，结果比价多买了2本，求原价每本多少元？设原价每本元，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则分式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 9. 若分式方程无解，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12、17、13为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（ ） A. 113113 B. 111331 C. 113553 D. 115335 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 多项式中各项的公因式是_____． 12. 若分式的值为零，则的值为_______． 13. 若，则______． 14. 若，则的值是__________． 15. 张明和李放剪出如图1所示的4个图，然后又拼成了如图2所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：___________． 16. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 三．解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 因式分解： （1） （2） 18. 利用因式分解计算： （1）；； （2）． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值： ，其中． 21. 某商场改造部分停车位为充电停车位，分别花费万元和万元购进，两款充电桩，已知款充电桩的单价比款充电桩的单价高万元，且购进款充电桩的数量是款充电桩的数量的倍． （1）分别求，两款充电桩的单价； （2）该商场调研发现，现有改造的充电停车位已不能满足新能源汽车的充电需求，决定再用不多于万元的资金购进，两款充电桩共个，求此次可购进款充电桩的数量的最大值． 22. 仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知：二次三项式有一个因式是（），求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为（），得， ， 则， ， 解得，， ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 23. 请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）因式分解：； （2）因式分解：________（直接写出结果）； （3）因式分解：． 24. （一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $