精品解析：湖南省永州市冷水滩区京华中学2025-2026学年八年级上学期第一次检测数学试题

八年级数学课后服务练习 一、单选题（共10题，每小题3分） 1. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为， 故选：． 2. 下列各式，，，中，是分式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义：形如（，为整式），且中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母．掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的概念依次判断即可． 【详解】解：，，，中，是分式的有，，，共个， 故选：B． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】A：等式右边不是几个整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； B：该变形是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； C：变形结果中含有分式，不符合因式分解的定义，不符合题意； D：等式右边是几个整式积的形式，并且左边等于右边，是因式分解，符合题意； 故选：D． 4. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，先整理新的分式，再与原分式进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意，新的分式， ∵原分式，且， ∴新分式原分式， 故分式的值缩小为原来的， 故选：A 5. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】A. ，该分式不是最简分式，不符合题意； B. ，该分式不是最简分式，不符合题意； C. ，该分式是最简分式，符合题意； D. ，该分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 6. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：A.，故选项A化简错误，不符合题意； B、，故选项B化简错误，不符合题意； C、，故选项C化简错误，不符合题意； D、，原选项化简正确，符合题意． 故选：D． 7. 若式子有意义，则x满足的条件是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的除法，分式有意义的条件，正确理解定义是解题关键． 直接利用分式有意义的条件得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ， 且且， 故选：D． 8. 若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的通分、解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 先根据分式的通分求出，再求解即可． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选：． 9. 节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水：吨， 故选C． 10. 如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（ ） A. 260 B. 290 C. 360 D. 390 【答案】B 【解析】 【分析】本题既考查了对因式分解的应用，先把所给式子提取公因式，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， 则 ． 故选：B． 二、填空题（共8题，每小题3分） 11. 当______时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式值为零的条件和分式有意义的条件，掌握分式值为0则分子为0且分母不为0是解题的关键；根据分式值为零的条件和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ， 解得， ， ， ， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，观察表达式，发现与互为相反数，可统一提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 分式与 的最简公分母是_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式的分母，利用公因式即可求解． 【详解】解：∵的分母为， 的分母为， ∴两个分式的最简公分母为， 故答案为：． 14. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键． 先提公因式将原式化为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】 故答案为：． 15. 已知实数，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式求值，分式运算，由，得，则，然后代入即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若，则代数式___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算法则、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则以及整体思想成为解题的关键． 先运用分式的混合运算法则化简，然后将整体代入计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 17. 已知关于的多项式的一个因式是，则的值是__． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个因式为，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解即可； 【详解】设另一个因式为， 则， 即， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键． 18. 已知，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 三、解答题 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法，完全平方公式进行因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法因式分解求解即可； （2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 化简： （1） （2） 【答案】（1）a+1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用同分母分式的加减法计算，再约分即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【小问1详解】 解： =a+1； 【小问2详解】 解： =． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 21. 按要求解答下列各小题． （1）已知，求的值； （2）已知，求m的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的乘方，根据同底数幂的乘法和除法法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 ， ， ， ， ∴， ∴． 22. 先化简：，再从，2，0，1中选出合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的有意义和相关运算法则．直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义 ． 【详解】解： ， 要使原式有意义，则要满足且， ， 当时，原式． 23. 小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，裁下半径为r的四个小圆，如图所示． （1）求剩余（阴影）部分的面积； （2）小刚测得，，求剩余（阴影）部分的面积（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据剩余（阴影）部分的面积圆形板材的面积四个小圆的面积，即可求解； （2）将，代入（1）中式子进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 剩余（阴影）部分的面积为：． 【小问2详解】 将，，代入（1）中式子得： 剩余部分的面积：． 答：剩余（阴影）部分的面积为： 【点睛】本题考查面积法求剩余部分面积，解题的关键是计算当中应用的平方差公式，属于基础题． 24. 某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： （1）该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底， （3） 解：设， 则原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． （1）利用完全平方公式判断即可得解； （2）检查第四步结果，利用完全平方公式进一步分解即可得解； （3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的完全平方公式， 故选：C； 【小问2详解】 解：该同学因式分解的结果不彻底，若不彻底，则该因式分解的最终结果为； 【小问3详解】 略 25. 阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． （1）分解因式：； （2）填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 【答案】（1） （2）7，，2， 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用， （1）仿照题中十字相乘法将原式分解即可； （2）把分为两个整数相乘，其和即为整数的值，写出即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 若可分解为两个一次因式的积， 则整数p的所有可能值是． 26. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（ ）②，（ ）③，（ ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： （3）若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】（1）①②③ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【小问1详解】 解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ 【小问2详解】 设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； 【小问3详解】 ∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学课后服务练习 一、单选题（共10题，每小题3分） 1. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式，，，中，是分式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不变 5. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若式子有意义，则x满足的条件是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且且 8. 若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（ ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 10. 如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（ ） A. 260 B. 290 C. 360 D. 390 二、填空题（共8题，每小题3分） 11. 当______时，分式的值为0． 12. 因式分解：______． 13. 分式与 的最简公分母是_________ 14. 计算：______． 15. 已知实数，满足，则______． 16. 若，则代数式___________． 17. 已知关于的多项式的一个因式是，则的值是__． 18. 已知，则的值为______． 三、解答题 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. 化简： （1） （2） 21. 按要求解答下列各小题． （1）已知，求的值； （2）已知，求m的值． 22. 先化简：，再从，2，0，1中选出合适的数代入求值． 23. 小刚家门口的商店在装修，他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上，裁下半径为r的四个小圆，如图所示． （1）求剩余（阴影）部分的面积； （2）小刚测得，，求剩余（阴影）部分的面积（结果保留）． 24. 某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： （1）该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 25. 阅读与思考：将式子分解因式．这个式子的常数项，一次项系数，这个过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图所示： 这种分解二次三项式的方法叫“十宇相乘法”．请认真观察，分析理解后，解答下列问题． （1）分解因式：； （2）填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______． 26. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（ ）②，（ ）③，（ ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： （3）若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $