25.2 第2课时公式法&专题特训1 根的判别式的四种考法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十五章一元二次方程 第2课时公式法 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基。 ☐士√5-4×3×(-7) 1.用公式法解方程3x2-7=一5.x时，得x= ,则□”处应填 () 2X3 A.-5 B.5 C.-7 D.7 2.利用公式法解一元二次方程2x2一4x一1=0得到两个根，其中较小的根为 ( A. 2+√6 Bx=26 -2+√6 C.x=- 2 2 2 D.x=26 2 3.若关于x的一元二次方程(m一2)x2+x+1=0有实数根，则m的取值范围是 A.m<4 9 B.m<4且m≠2 C.n D.m≤9且m≠2 4 4.有一个正数m,m与1的和乘m与1的差仍为m,则m的值为 5.如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x一1，点B对应的数是 x2+x,已知AB=5,则x的值为 0 B (第5题) 6.教材变式题用公式法解下列方程： r2-4-}0 (2)x2-2√5x-4=0. (3)x2+5.x+6=3(x+1). (4)(3x-2)(x-1)=3.x-1. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 7者=3是关于x的-元二次方程r-3ax-a2=0a>0)的-个根，则下列有关a的估慎，正 确的是 () B.Ka< ca<2 D2a<号 5 拔尖特训：数学（人教版）九年级上 8.如图，在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,先以顶点B为圆心，边AB的长为半A 径作弧交对角线BD于点E,再以顶点D为圆心，边AD的长为半径作弧交对角 线BD于点F,则方程x2+2ax=b2的正根是 A.线段BD的长 B.线段BF的长 (第8题) C.线段DE的长 D.线段EF的长 9.分类讨论思想如果恰好只有一个实数α是方程(k2一9)x2一2(k+1)x十1=0的根，那么k的值 为 10.若关于x的一元二次方程(k一1)x2-2kx十k十3=0有两个不相等的实数根，则的最大整数 值为 1LE圈已知602+分+2。 =0,则2 12.已知关于x的方程x2一(k十2)x十2k=0. (1)求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根. (2)求证：无论k取何值，方程总有一定根， (3)若等腰三角形ABC的边长α=3，另两边长b,c恰好是这个方程的根，求△ABC的周长. 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 13.回新定义题如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c分别是 Rt△ABC和Rt△BED三边的长，易知AE=√2c,这时我们把关于x的形如a.x2+√2cx十b= 0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解答下列问题： (1)有下列方程：①2x2+√5x十1=0：②3x2+5√2x十4=0.其中，是“勾系一元二次方程”的 为 (填序号) (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx十b=0必有实数根 (3)若x=一1是“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是 12,求△ABC的面积 2c a B bD (第13题)》 6 >“答案与解析”见P2 第二十五章一元二次方程 专题特训一 根的判别式的四种考法 类型一不解方程，判断方程根的情况 1.关于x的一元二次方程x2十kx十k一1=0的根的情况，下列说法中正确的是 A.有两个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无实数根 类型二利用根的判别式求代数式的值或字母的取值范围 2.已知关于x的方程x2-(2k一2)x+k2一1=0有两个实数根，则√(k一1)2一(2-k)2的化简结 果是 () A.-1 B.1 C.-1-2k D.2k-3 3,若实数a,b满足7a一ab十b2+2=0.则Q的取值范围是 () A.a≤-2 B.a≥4 C.a≤-2或a≥4 D.-2≤a≤4 4.已知关于x的一元二次方程(m2一4)x2+2(m一2)x十1=0有实数根，当m取最大整数值时，代 数式3x2十2x+3的值为 5.若关于x的方程x2+2(1十a)x十3a2+4ab+4b2+2=0有实数根，则2= 类型三利用根的判别式证明方程根的必然情况 6.已知关于x的方程x2-(m+1)x+(m-)=0, (1)求证：方程必有两个不相等的实数根， (2)当0<m<5且m为整数时，该方程存在两个有理数根，求m的值和这两个有理数根. 类型四根的判别式与几何图形的综合应用 7.已知关于x的一元二次方程(a十c)x2+2bx+(c-a)=0,其中2a,2b分别为□ABCD的对角 线AC,BD的长，c为边AB的长 (1)如果方程有两个相等的实数根，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由. (2)如果四边形ABCD为正方形，试求这个一元二次方程的根 >“答案与解析”见P4y2=-1(不合题意，舍去)或x2+y2=7.(2)(a2+ b2+1)(a2+b2-1)=63,.(a2+b2)2=64..a2+b2= 一8（不合题意，舍去）或a2十b2=8. 5.(1)4x2+4x+1=17,.(2x+1)2=17..2x+1= 土7解得，1+亚，=1- 2 ，2)x2 -号=0r-x=2-x+(）°=号 (号)“()=x-±四解得 +四日四 3)42-10r-1=04r2-10r=1.2-号r=1 -号+（停）广=+(》(-)》=器 4 4 4 易错警示 配方时易出现的错误 1.移项时忘记变号； 2.系数化为1时漏项； 3.方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方」 (4)x(x-5)=2x-3,.x2-7x=-3..x2-7x十 (侵)=-3+()八…(-)-翠- 6.D将原方程的二次项系数化为1，得x2一4十号=0： 3 移项，得2-女=-号：配方，得-十4=-号+4， 即(x-2)2=号a=-2.6=号a+6=-2+ 10_4 33 7.Bx2-5.x十q=0,∴.x2-5x=-q..x2-5x+ 华-孕-叫-》-9-“=号车-g=9 g=具把g=代人x十5x十g=-1,得x2+ 5x-=-1.2+5x=子x2+5x+() 子+()°，即(e+)=8=号，c+p)=8 8.526-x2+10x+1=-(x-5)2+26≤26，∴.当 x=5时，一x2+10x+1有最大值，最大值为26. 9.(1):'x2+2xy+5y2+4y+1=0,.x2+2xy+y2+ 4y2+4y+1=0.∴.(x+y)2+(2y+1)2=0.∴.x+y=0, 2+1=0x-号y=-令w2×() (2)a2+5b2-4ab-2b+1=0,.a2-4ab+ 462+b2-2b+1=0..(a-2b)2+(b-1)2=0.∴.a-2b= 0,b-1=0.∴.a=2,b=1.△ABC是等腰三角形，∴.c= 2或c=1(不符合三角形三边关系，舍去)..△ABC的周 长=2+2+1=5. 一微专题·配方法的应用 1.≥m-n=a2+b2-1-(2a-4b-6)=a2+b2 1-2a+4b+6=a2-2a+1+b2+4b+4=(a-1)2+ (b+2)2..(a-1)2≥0，(b+2)2≥0，∴.m-n≥0，即 m≥n. 2.等边三角形：'a2十b2十c2一ab一bc一ac=0, .2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0.∴.a2+b2- 2ab+b2+c2-2bx+a2+c2-2ac=0.∴.(a-b)2+ (b-c)2+(c-a)2=0.∴.a-b=0,b-c=0,c-a=0. .a=b=c..△ABC为等边三角形. 312令w=-3x2+3w+6x-y2=-(0-号)‘ x-0+12.-(-2)°≤，-x-0< 0,∴W≤12..W的最大值为12. 4.设AC,BD的交点为O,则Sm边无AD=S△ACn十 Sac=7AC·0D+2AC·0B=AC·BD.设 1 AC=,则BD=12-x,.S范无ACn=2x(12-x)= 2r2+6m=-号-6+18.-26-6≤0. 1 ∴Sm边无AD≤18..当x=6时，S四边无An最大，为 18,此时AC=6,BD=6..当AC=BD=6时，四边形 ABCD的面积最大. 第2课时公式法 1.A根据题意，得a=3,b=5,c=一7，∴.x= -b±V6-4c=-5±√3二4X3X(=D.:…☐处 2a 2×3 应填-5. 2.B由题意，得a=2,b=一4，c=-1,∴.△=b2一4ac= （-4)2-4×2X(-1D)-24>0.x=4生2_2±6 2×2 2 :2+625,“其中较小的根为-2,6， 2 2 2 3.D·'关于x的一元二次方程(m一2)x2十x+1=0有 实数根，.△≥0且m-2≠0，即1一4(m-2)≥0且m≠ 2,解得m≤号且加≠2 4.1+5 2 由题意，得(m+1)(m-1)=m,整理，得m2- m-1=0,解得0中或m1(不合意，合去. 2 5117 2 根据题意，得x2十x-(2x-1)=5,整理，得 x2-x-4=0.:a=1,b=-1,c=-4,∴.△=b2-4ac= (-1)2-4X1X(-4)=17>0.x=-6±0=4a 2a ±亚，即，1十亚-1一厘.：点A在数轴 2 2 2 的负半轴2-10.即<分-1- 2 6.(1)原方程整理，得x2-3z-1=0.a=1,b=一3， c=-子4=6-4ac=(-302-4X1X(-）=10 0.:x=-b±6-ac-3社D,即x,-3+① 2a 2 ,-3=.(2):a=1,6=-25c=-44= 2 b2-4ac=(-25)2-4×1×(-4)=36>0.∴.x= -b±B=4ac=5士3，即x,=5+3,x2=5-3. 2a (3)原方程整理，得x2+2x十3=0.a=1,b=2,c=3, .△=b2一4ac=22一4×1×3=-8<0..原方程无实数 根.(4)原方程整理，得3x2-8x十3=0.a=3,b= -8,c=3,∴.△=b2一4ac=(-8)2-4×3×3=28>0. -什公亚-，即- 2a 3 40 3 7.B由题意，得9-50-a2=0,解得a=二5±√6 2 a>0,∴.a= -5十6.76i<8,.2<√- 2 5a1同5<号即1a<号 2 8.C四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=90°.∴.BD= √AB2+AD=√a+b.由题意，知BE=AB=a, ∴.DE=BD-BE=√a十b-a.解方程x2十2a.x= b2,得x=-2a±√4a2+46 2 =-a±√a2+b,.该方 程的正根为√a2+b2一a.∴.线段DE的长是方程x2+ 2a.x=b2的正根. 9.士3或一5①当原方程是一元一次方程时，方程只有 一个实数根，则k2一9=0，解得k=土3；②当方程是一元 二次方程时，则方程有两个相等的实数根，即△=b2一 4ac=4(k+1)2-4(k2-9)=0,解得k=-5.综上所述，k 的值为±3或-5. 10.0根据题意，得△=(-2k)2-4(k-1)(k+3)= -8十12>0，且k-1≠0，解得k<号，且≠1.k的最 大整数值为0. 11.-1+3 2 解法-将2+十3 a bb-a =0整理，得2b+ 2ah一a-0.两边同时除以a2得到关于么的方程：2（么）°+ -1=0,解得么-二15.：a>6>0.么- a 2 -1+3 2 解法二：将名+古十6二。0整理，得0 2ab-2b2=0,将其看作是关于a的一元二次方程，由公式 法可得a=26±+8近=b士56.：a>b>0,a= 2 8a合-9 2 12.(1).△=[-(k+2)]2-4×1×2k=(k-2)2≥0， ∴.原方程一定有两个实数根.(2)由(1)，知△≥0，∴.x= 十2生k-2,即x,=kx=2.方程总有一定根为2 2 (3)由(2)，知x1=k,x2=2,不妨设b=2,则c=k. △ABC是等腰三角形，∴.分两种情况：①当k=2时， b=c=2,a=3,则△ABC的周长为3+2+2=7；②当k= 3时，a=c=3,b=2,则△ABC的周长为3十2+3=8.综上 所述，△ABC的周长为7或8. 13.(1)②.(2)ax2+√2cx十b=0是“勾系一元二次 方程”，∴.a,b,c为同一直角三角形的三边的长，且c为斜 边的长.∴.c2=a2+b2.:△=(W2c)2-4ab=2c2-4ab= 2(a2+b2)-4ab=2(a-b)2≥0，∴.关于x的“勾系一元二 次方程”ax2十√2cx十b=0必有实数根.(3)：x=一1 是“勾系一元二次方程”ax2十√2cx十b=0的一个根， .a-√2c十b=0..a十b=√2c.:四边形ACDE的周 长是12，∴.2(a+b)+√2c=12..2√2c+√2c=12. ∴.c=22..a+b=√2×22=4..(a+b)2=16. .a2+2ab+b=16.a2+b2=c2=(2√2)2=8， 2ab+8=16.小ab=4.S△x=2ab=2X4=2. 专题特训一根的判别式的四种考法 1.A.△=k2-4(k-1)=2-4k+4=(k-2)2≥0， ∴.方程有两个实数根 2.A,关于x的方程x2-(2k一2)x+k2-1=0有两 个实数根，∴.△=[-(2k-2]2-4×1×(k2-1)≥0，解得 k≤1..k-1≤0,2-k>0..√(k-1)-(√2-k)2= -(k-1)一(2一k)=-1. 3.C将原方程看作是关于b的方程并整理，得b一ab十 2a+2=0.4=(-a)2-4(2a+2）≥0.∴u2-2a 8≥0..∴.(a-1)2≥9.∴.a-1≥3或a一1-3，解得a -2或a≥4. 4.4关于x的一元二次方程(m2一4)x2+2(m-2)x+ 1=0有实数根，∴.△=[2(m-2)]2一4(m2一4)≥0，且 m2一4≠0，解得m<2且m≠一2.∴.m取最大整数为1， 此时原方程为一3x2一2x+1=0,即3x2+2x一1=0. ∴.3x2+2x=1...3x2+2x+3=1+3=4. 5.-号：方程2+21+a)z+3a2+4a6+462+2=0 有实数根，.△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)= 4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab- 16b+8a-4≥0.∴.-2a2-4ab-4b2+2a-1≥0. .a2-2a+1+a2+4ab+4b20..∴.(a-1)2+(a+ 2b)20.(a-1)2+(a+2b)2≥0，..(a-1)2+(a+ 26=0.u+2%=0.名=-7 1 6.(1①D由题意，得4=[-(m+1)]2-4X1×(m-) m2+2m+1-4m+1=m2-2m+2=(m-1)2+1..(m 1)≥0，.(m-1)2+1>0,即4>0.∴.方程必有两个不 相等的实数根.(2)，'当0m<5且m为整数时，该方 程存在两个有理数根，且△=(m一1)2+1，∴.m=1.∴.原 方程为2-2x十号=0，且4=1.：此时原方程的解为 一出即-=m的值为1，这两 2 个有理数根为2和2 7.(1)四边形ABCD是菱形.理由：：一元二次方程(a十 c)x2+2bx十(c一a)=0有两个相等的实数根，∴.△= (2b)2-4(a十c)(c-a)=0,化简，得a2+b2=c2.:2a,2b 分别为□ABCD的对角线AC,BD的长，c为边AB的长， .□ABCD的对角线AC,BD互相垂直.∴.四边形 ABCD是菱形.(2)：'四边形ABCD为正方形，2a,2b 分别为□ABCD的对角线AC,BD的长，c为边AB的长， a=b-号心+6=.c=6.-元二次方程 (a十c)x2+2bx+(c-a)=0,∴.△=(2b)2-4(a+c)(c- a)=4(b2+a2-c2)=0.x=2(a+c6+2 一2b 一b =1 2,即这个一元二次方程的根是x,=x2=1一√2. 第3课时因式分解法 1.Dx(x-5)=5-x,∴.x(x-5)-(5-x)=0. ∴.x(x-5)+(x-5)=0.∴.(x-5)(x十1)=0，解得 x1=5,x2=一1. 2.C,x2-10x+24=0,.(x-4)(x-6)=0,解得 x1=4,x2=6.Rt△ABC的两边长是方程x2一10.x+ 24=0的两个根，.有以下情况：①两直角边长是4,6，由 勾股定理得，斜边长=√4十6=2√3；②一直角边长 是4，斜边长是6. 3.C解方程x2+5x=0,得x,=0,x2=-5.·m是方 程x2+5x=0的较大的一个根，∴.m=0.解方程x2一x 6=0,得x1=3,x2=一2.·n是方程x2一x一6=0的较 小的一个根，∴.n=-2..m十n=0十（一2）=-2. 4.30x2-16=2(x-4)2,∴.(x+4)(x-4)=2(x- 4)2..(x-4)[(x+4)-2(x-4)]=0..(x-4)(-x+ 12)=0,解得x1=4,x2=12.当x=4时，4十7=11，不满足 三角形的三边关系，不合题意，舍去；当x=12时，三角形 的周长为7+11+12=30. 5.6O是AB的中点，∴.OA=OB.:O是原点，点B 表示的数是x,∴.点A表示的数是一x.:B是AC的中 点，.AB=BC.∴.x-(-x)=(x2-3x)-x,解得x1= 0,x2=6.点B异于原点，∴.x≠0.∴.x=6. 6.(1)(x-2)(x-5)=-2,.x2-7x十10=-2. .x2-7x+12=0..(x-3)(x-4)=0,解得x1=3, x2=4.(2)(2x-1)2=3(1-2x),.(2x-1)(2x 1+3》=0.(2x-1)(2x+2)=0,解得x=2, 1 -1.(3)“2(-2)》=2-寻…2(x-2）》°