精品解析：海南琼海市嘉积中学2026-2027学年高一上学期随堂练习(一)数学试题

琼海市嘉积中学2026-2027学年度第一学期高一年级随堂练习(一) 数学科试题 （时间：120分钟　　满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则下列结论正确的是（　　） A. ，，是真命题 B. ，，是假命题 C. ，，是假命题 D. ，，是真命题 3. 已知集合是小于的正整数，，，则（　　） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，，若，则实数的值为（　　） A. B. 3 C. 或3 D. 2 6. 已知，都是正数且，则的最小值为（　　） A. 16 B. 18 C. D. 12 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 8. 已知实数，满足，则的最小值为（　　） A. 5 B. C. 25 D. 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为实数，下列结论中一定成立的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知集合，则（　　） A. 若，则 B. 若，则有个子集 C. 若，则有个真子集 D. 若，则 11. 设正实数，满足，则（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合可用列举法表示为________． 13. 已知“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是____． 14. 已知非空集合A，B满足以下四个条件： ①； ②； ③A中的元素个数不是A中的元素； ④B中的元素个数不是B中的元素． （ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么集合A的元素是__________； （ⅱ）有序集合对的个数是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）求，； （2）求． 16. （1）已知正数a，b满足，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 17. 已知命题，，且是假命题，设实数的所有取值构成的集合为． （1）求集合； （2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）设集合，集合，，求实数的取值构成的集合． 18. 已知关于的不等式． （1）若这个不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求这个关于的不等式的解集； （3）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，且，均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数b，二次函数恒有不动点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学2026-2027学年度第一学期高一年级随堂练习(一) 数学科试题 （时间：120分钟　　满分：150分） 欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用元素与集合关系判断A，B，应用集合间关系判断C，D. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，故，B错误； C选项，空集是任意非空集合的真子集，A为非空集合，故，C正确； D选项，集合中的元素0不属于A，故不成立，D错误， 2. 已知命题，，则下列结论正确的是（　　） A. ，，是真命题 B. ，，是假命题 C. ，，是假命题 D. ，，是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】先根据特称命题的否定规则写出，再通过配方判断二次式的取值范围，进而判断的真假即可得到答案. 【详解】 原命题是存在量词命题：，， 因此其否定为：，， 又因为，由于对任意实数，， 因此恒成立，故是真命题，故D正确. 3. 已知集合是小于的正整数，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知全集，， 故. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由可以推出，故充分性成立， 反之或，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知集合，，若，则实数的值为（　　） A. B. 3 C. 或3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集关系，对的取值分类讨论，即可求解. 【详解】由题可知：， 当时，解得. 此时不符合元素的互异性，舍去； 当时，解得或.当时，，，符合题意. 综上:. 6. 已知，都是正数且，则的最小值为（　　） A. 16 B. 18 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】，且， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为18. 7. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 关于的不等式的解集为 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应二次方程根的关系，结合韦达定理求出的关系，逐一判断各选项即可. 【详解】已知关于的不等式的解集为，可得二次函数开口向下， 且方程的两根为、， 因此有， 解得，对各选项逐一判断： A选项：由推导可知，故A错误； B选项：代入，得，因，故，故B错误； C选项：将代入不等式，得，由于，得， 整理为，即，解得，所以解集为，故C正确； D选项：代入，得，故D错误 8. 已知实数，满足，则的最小值为（　　） A. 5 B. C. 25 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】设，将代入已知等式，消元后转化为关于的一元二次方程，利用判别式非负求解的最小值. 【详解】设，显然，则， 将等式展开得， 把代入得   整理得， 两边平方得  ， 令（），代入得  ， 展开整理为关于的一元二次方程  ， 由于为实数，故判别式， 即   化简得，即   ，因，故，因此， 当时，取代入已知等式成立，故的最小值为10. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为实数，下列结论中一定成立的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据不等式的可加性，不等式两边同时加同一个实数，不等号方向不变，因此若，则一定成立，A正确. 当时，，此时，不满足，因此B不一定成立，B错误. 由，再结合，根据同向不等式的可加性，两式相加得，整理得，C正确； 用作差法验证：， 因为，所以，，故，即，D正确. 10. 已知集合，则（　　） A. 若，则 B. 若，则有个子集 C. 若，则有个真子集 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】结合集合的概念，考查一元一次/二次方程解的判定、集合子集与真子集个数的计算，需分情况讨论参数的取值，结合判别式分析集合元素个数判断选项. 【详解】已知集合， 对于A，若，将代入方程，得，解得，故A正确； 对于B，若，方程变为一元一次方程，解得，即，故共有个子集，故B正确； 对于C，若，方程为，判别式，方程有个不同实根，即含个元素，真子集个数为个，故C错误； 对于D，若，方程为，整理得，判别式，无实根，即，故D错误. 11. 设正实数，满足，则（　　） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合已知条件，依次通过变形、代换，利用基本不等式求最值，并验证等号成立的条件即可判断. 【详解】对于A，由得，且， 由基本不等式，可得 ， 当且仅当，即时取等号，符合条件， 所以的最小值是，故A错误； 对于B，原式， 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，符合条件，故B正确； 对于C，由，根据基本不等式，得， 当且仅当，即时取等号，符合条件，故C正确； 对于D，由， 又，故， 当且仅当时取等号，符合条件，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合可用列举法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解方程的根，结合的限制条件筛选符合要求的元素，再用列举法表示集合即可. 【详解】，令或，解得或. 已知，因此仅有满足条件，故该集合用列举法表示为. 13. 已知“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先解分式不等式得到集合，利用必要条件转化为集合是的子集，通过区间端点建立不等式组求解参数的取值范围． 【详解】由，得， 设，， 由题意得，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 14. 已知非空集合A，B满足以下四个条件： ①； ②； ③A中的元素个数不是A中的元素； ④B中的元素个数不是B中的元素． （ⅰ）如果集合A中只有1个元素，那么集合A的元素是__________； （ⅱ）有序集合对的个数是__________． 【答案】 ①. 5 ②. 10 【解析】 【分析】由集合A中只有1个元素，且集合满足①②③，集合满足①②④可得第一空；分别讨论集合中元素个数结合题意可得第二空； 【详解】若集合A中只有1个元素，则集合中有5个元素，则，所以； 当集合中有一个元素时，由以上可得，只能为5，此时，有序集合对为1个； 当集合中有两个元素时集合中有4个元素，，所以，此时四种情况，对应的，有序集合对为4个； 当集合中有三个元素时，此时集合中也有三个元素，，不符合题意； 当集合中有四个元素时，集合中有两个元素，，故，此时四种情况，对应的，有序集合对为4个； 当集合五个元素时，集合中有一个元素，此时，故；有序集合对为1个； 当集合中有六个元素时，，与A中的元素个数不是A中的元素矛盾，不符合题意； 综上，共有个， 故答案为：5；10. 【点睛】关键点点睛：本题第二空关键在于分集合中元素个数讨论. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）求，； （2）求． 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集、并集运算求解； （2）解一元二次不等式化简集合C，根据补集、交集运算得解. 【小问1详解】 因为集合，， 所以，. 【小问2详解】 因为， ， 所以. 16. （1）已知正数a，b满足，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】 (1) 最大值为； (2) 最小值为 【解析】 【详解】 (1) 由基本不等式，对正数有 ， 代入条件，得 ， 即 ，得， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. (2) 因为，所以， ， 由基本不等式得， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 故原式的最小值为. 17. 已知命题，，且是假命题，设实数的所有取值构成的集合为． （1）求集合； （2）设集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）设集合，集合，，求实数的取值构成的集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据存在量词命题的真假列出不等式求得的取值范围，从而求得集合. （2）根据充分不必要条件、对进行分类讨论来求得的取值范围. （3）由转化为，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 依题意，命题p：“”为假命题， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由于是的充分不必要条件，所以， 当，即时，，满足. 当，即时，要使， 则需且两个等号不能同时成立， 解得， 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 ，由可得， 又，  ① 当时，方程无解，即，满足；  ② 当时，，由得或，解得或. 综上，实数的取值构成的集合. 18. 已知关于的不等式． （1）若这个不等式的解集为，求实数的值； （2）若，求这个关于的不等式的解集； （3）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为或 （3） 【解析】 【分析】（1）由解集为闭区间知二次项系数为负，端点为对应方程两根；用韦达定理列方程求，再检验两根之积； （2）先因式分解得两根与；按、、、、分类，比较根大小并结合开口方向求出解集； （3）整理后分离参数，转化为求右边最大值；令，用基本不等式求分母最小值，得范围. 【小问1详解】 不等式的解集为， 因为解集是闭区间，所以二次函数开口向下，即， 且和是方程的两个根， 由韦达定理，两根之和为，故， 检验两根之积：，成立，因此. 【小问2详解】 原式因式分解得：， 令第二个因式为，得， 若，则， 所以两根为， 分情况讨论：①当时函数图象开口向下，解集在两根之间， 又，故，解集为； ②当时，不等式化为，故解集为； ③当时，函数图象开口向上，解集在两根之外， 即，故，解集为或；； ④当时，两根相等，均为，不等式化为，解集为； ⑤当时，函数图象开口向上，解集在两根之外， 即，故，解集为或. 【小问3详解】 不等式， 展开左边得：， 移项整理得：，即， 分离参数得：，因为， 所以，要使该式恒成立，只需， 令，则，所以， 于是， 由基本不等式：，当且仅当时取等号， 此时，即， 故，当时，，等号可以取到， 因此，故实数的取值范围为. 19. 对于二次函数，若存在使得成立，则称为二次函数的不动点． （1）求二次函数的不动点； （2）若函数有两个不相等的不动点，，且，均为正数，求的最小值； （3）若对任意实数b，二次函数恒有不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）和3 （2）5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，令，解一元二次方程即可. （2）根据已知条件列出不等式组，然后根据韦达定理化简表达式，最后利用基本不等式的性质计算即可. （3）根据已知条件列出方程与不等式，进而计算出结果. 【小问1详解】 令，则，即. 解得或，所以二次函数的不动点为和3. 【小问2详解】 解：令，整理得. 由题意得：，解得. . 令，则代入得. 当且仅当，即时，也即是时等号成立，此时的最小值为5. 【小问3详解】 解：令，整理得. 由题意得，对任意，恒成立， 即对任意恒成立，那么. 化简得，即，解得. 又，故，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $