精品解析：云南曲靖市麒麟区第四中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

麒麟区四中教育集团2026-2027学年秋季学期九年级 第一次月考数学试卷 一、单选题．（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选C． 2. 电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：将1200000000的小数点向左移动，直到得到的数满足，可得，1200000000的小数点向左移动了9位，所以．因此1200000000用科学记数法表示为． 3. 如图，将一块含角的直角三角尺和一把直尺摆放在一起（角的顶点在直尺边上），，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由“两直线平行，同位角相等”求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵直尺的两边互相平行，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 下列的取值，使代数式有意义的是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵ 代数式有意义，需同时满足两个条件， 二次根式的被开方数为非负数，得 ，分式的分母不为0，得， 解不等式得， 由得， ∴x的取值范围是且． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 6. 若是一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故选：． 7. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5和5 B. 3和5 C. 3和7 D. 3和10 【答案】A 【解析】 【详解】解：在数据7，5，3，5，10中，出现次，出现次数最多， ∴众数为； 将数据从小到大排列为3，5，5，7，10， ∵共有个数据，中位数为排序后第个数， ∴中位数为． 8. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数是二次函数，即可判断． 【详解】解：A、中的最高次数为1，不是二次函数，故选项不符合题意； B、未明确，不一定是二次函数，故选项不符合题意； C、是分式形式，不是二次函数，故选项不符合题意； D、将整理得，符合二次函数的定义，是二次函数，故选项符合题意． 9. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求代数式通分变形代入计算即可求解． 【详解】∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴． 10. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为30亿元，从2023年到2025年共经过2年． ∴2024年研发投入为亿元，2025年研发投入为亿元． 又∵2025年研发投入为50亿元． ∴列方程得． 11. 点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 12. 反比例函数的图像经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将点代入，得，解得． 13. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故符合题意； B、抛物线的图象开口向上，则，直线从左向右下降，则，故不符合题意； C、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右上升，则，且与轴交于负半轴，故不符合题意； D、抛物线的图象开口向下，则，直线从左向右下降，则，但与轴交于正半轴，故不符合题意． 14. 把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”，据此求解即可． 【详解】解：向左平移3个单位得，再向下平移1个单位得． 15. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论： ①，；②；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可依此进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：开口向下，即，与y轴的交点在正半轴，即，对称轴为直线，即，当时，y随x的增大而减小；故④正确； ∴，故①错误； 由图象可知当时，即，故②正确；二次函数的图象与x轴有两个交点，即，所以；故⑤正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点在和0之间， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数的图象与x轴的另一个交点在和3之间， ∴当时，即，故③错误； 综上所述：正确的结论有②④⑤三个； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二、填空题．（每小题2分，共8分） 16. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式符合平方差公式的形式，利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：， 根据平方差公式，这里，， ． 17. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标进行作答即可． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴. 19. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设有名选手参加比赛，每名选手与其他名选手各赛一场，每场比赛涉及两名选手，总比赛场数需除以避免重复计算，结合总场数为即可列出方程． 【详解】解：∵设有名选手参加比赛，初赛共进行了55场 ∴． 三、解答题． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得：， ∴， 开平方得：， ∴，． 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴或， ∴， 21. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【答案】证明：， ． ． ， ． 在和中 ． 【解析】 【分析】首先证明，再根据定理判定即可． 【详解】略 22. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 23. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．求A型、B型两种机器人的单价． 【答案】A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元 【解析】 【分析】设A型机器人的单价为万元，根据采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人列出方程并解方程即可． 【详解】解：设A型机器人的单价为万元， 根据题意得， 解得， 经检验，是所列方程的解 （万元）． 答：A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元． 24. 已知关于x的方程（为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 【答案】（1） 证明：， 不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键． （1）根据，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解； （2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程有一个根是， 把代入方程， 得， 整理得 ． 25. 怀远石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户从怀远购进一批石榴进行销售（只按整箱销售不零售），进价为80元/箱，当销售价为120元/箱时，每天可售出20箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价1元，平均每天可多售出2箱． （1）每箱石榴降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （2）当每箱石榴降价多少元时，商家平均每天盈利最多？ 【答案】（1）10或20 （2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设每箱石榴降价x元，再表示出单件利润和销售量，然后根据单件利润乘以销售量等于1200列出方程，求出解即可； （2）设利润为w，即可得出关于x的二次函数，再讨论极值即可． 【小问1详解】 解：设每箱石榴降价x元，根据题意，得 ， 解得， ∴每箱石榴降价10元或20元，商家平均每天能盈利1200元； 【小问2详解】 解：设总利润为w，根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，元． ∴当每箱石榴降价15元时，商家平均每天盈利最多． 26. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，， 求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形 ， ， 的平分线交于点， ， ， 同理可得， ， 四边形是平行四边形， ． 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可证明． （2）作于，根据，先求出即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于， 四边形是菱形， ，， ，， ，， 在中，， ， ， 菱形的面积为， ， 解得， 平行四边形的面积为． 27. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ； 【小问2详解】 解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为； ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 麒麟区四中教育集团2026-2027学年秋季学期九年级 第一次月考数学试卷 一、单选题．（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一块含角的直角三角尺和一把直尺摆放在一起（角的顶点在直尺边上），，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列的取值，使代数式有意义的是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若是一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 5和5 B. 3和5 C. 3和7 D. 3和10 8. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 10. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到50亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 12. 反比例函数的图像经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 抛物线与直线在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 14. 把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为（） A. B. C. D. 15. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则下列结论： ①，；②；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤． 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题．（每小题2分，共8分） 16. 因式分解：______． 17. 抛物线的顶点坐标是__________． 18. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 19. 某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了55场．若设有x名选手参加比赛，可列方程为_______． 三、解答题． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 22. 计算：． 23. 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元．求A型、B型两种机器人的单价． 24. 已知关于x的方程（为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 25. 怀远石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户从怀远购进一批石榴进行销售（只按整箱销售不零售），进价为80元/箱，当销售价为120元/箱时，每天可售出20箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价1元，平均每天可多售出2箱． （1）每箱石榴降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （2）当每箱石榴降价多少元时，商家平均每天盈利最多？ 26. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，与相交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，， 求平行四边形的面积． 27. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． （1）求线段的长； （2）若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $