精品解析：云南省昆明市第十四中学2026-2027学年上学期10月数学九年级综合练习试卷

昆明市第十四中学初三数学10月综合练习 一、选择题（每题2分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程需满足条件：①一个未知数；②最高次数为2；③是整式方程． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项． 【详解】 解：A：，含一个未知数x，最高次数为2，是等式，满足定义，故此选项符合题意； B：，不是方程，无等号，故此选项不符合题意； C：，a可能为0，不一定是二次方程，故此选项不符合题意； D：，含两个未知数，是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，开口向下的二次函数满足其解析式中二次项系数为负数，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：D． 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数的顶点坐标是，据此求解即可． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是． 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把代入变形即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， ∴． 5. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键． 通过计算判别式的值来判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：∵ 方程 中，, , , ∴ , ∴ 方程没有实数根， 故选 ：C． 6. 将二次函数的图象，向上平移4个单位，然后向左平移3个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象，向上平移4个单位，然后向左平移3个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为，即． 7. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ） A. 或3 B. 或2 C. 或或3 D. 或或2 【答案】D 【解析】 【分析】当时，是一次函数，图象与轴有且只有一个交点，当时，的判别式，解答即可． 本题考查了一次函数与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线与x轴有且只有一个交点的条件是解题的关键． 【详解】解：当时即时，变形为，是一次函数，图象与轴有且只有一个交点，符合题意； 当时，的判别式， 解得或， 综上所述，或或． 故选：D． 8. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式，再用完全平方公式把等号左边的多项式分解因式即可． 【详解】解：， 移项得：， 方程两边同时加得：， 分解因式得：， 故选：B． 9. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故选：A． 10. 若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（ ） A. 6，3 B. 6， C. 3， D. 6， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：C． 11. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先将配方成顶点式，再根据二次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意； 故选：C． 12. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设有个球队参赛，每两队之间赛一场，总比赛场数为所有可能的组合数.每个球队需与其他个球队比赛，但每场比赛被计算了两次，因此总场数为，根据总场数为15，列出方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【详解】解：设共有x个队参赛，根据题意，得， 故选：D． 13. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵， ， ∴． 14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解即可得到答案． 【详解】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意； D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系． 15. 如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，连接AC，交于点E，根据菱形的性质，矩形的性质，勾股定理计算，设矩形的面积为S，构造二次函数，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】设， 因为四边形是菱形，，， 所以， 连接AC，交于点E， 因为四边形是菱形，四边形是矩形，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 设矩形的面积为S， 所以， 所以当x=3时，S的面积最大，最大值为， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，等腰三角形的三线合一，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，二次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共8分） 16. 若是一元二次方程的一个根，则值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确理解方程的解的含义是解答此类题目的关键．根据一元二次方程的解的定义，将代入一元二次方程，即可求得的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴满足一元二次方程， ∴， ∴． 故答案为：2． 17. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 18. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，求即可． 【详解】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 19. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 【答案】③⑤##⑤③ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答此题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出，，，可判断①；根据对称轴为直线可判断②；由抛物线的对称性以及图象可判断③；由对称轴为及时的函数值可判断④；由于抛物线的顶点坐标及时的函数值可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：由抛物线的开口向下，得， 由抛物线的对称轴是直线，得、异号，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴，得， 所以，故①不正确； 由抛物线的对称轴是直线， 所以，即，故②错误； 由抛物线的对称性以及图象可知， 与对应的函数值相同，都等于c，又， 当时，，因此③正确； 由图象可知，当时，， 因为， 所以，即，故④不正确； 由于抛物线的顶点坐标为，即时，的值最大，即最大， 当时，， 即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤， 故答案为：③⑤． 三、解答题（共62分） 20. 用合适方法解下列一元二次方程． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， 这里，， ， ， ， ． 21. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽． 【答案】矩形实验田的长为，宽为. 【解析】 【分析】设矩形实验田垂直于墙的一边为，与墙平行的一边长，根据题意，列出一元二次方程，据此求解即可； 【详解】解：设矩形实验田垂直于墙的一边为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 解得：． ， ， ， ， 此时矩形实验田的长为，宽为. 22. 已知二次函数 （1）将化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）；对称轴是直线，顶点坐标为 （2）与轴的交点为和，与轴的交点为 【解析】 【分析】（1）运用配方法即可化为顶点式，根据顶点式即可求出对称轴和顶点坐标； （2）分别令和，即可求出抛物线与坐标轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：， ∴其对称轴是直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：令，即， ， ∴或， ∴抛物线与轴的交点为和， 令，即， ∴抛物线与轴的交点为． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线顶点坐标为，直线的解析式为． （1）利用图象的特点填空： ①当________时，； ②不等式的解集为________ （2）当时，的取值范围是__________． 【答案】（1）①或；②或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的顶点式，代入顶点坐标和点的坐标求出二次函数解析式，再结合图象性质求解． （2）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 把代入：， 解得， ． ①求时的值： ， ， ， 解得：． ②不等式，即抛物线在轴下方部分对应的取值． 解方程： ， 根为． 抛物线开口向下，图象在轴下方时：或． 【小问2详解】 解：，表示抛物线图象在直线上方（含交点）． 直线与抛物线交于、，由图象得：． 24. 近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． （1）每轮传染中平均一个人感染几人？ （2）若不及时控制，按这样的传播速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【答案】（1）每轮感染中平均一个人感染人 （2）216人 【解析】 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮传染中平均一个人感染人； 【小问2详解】 解：经过三轮传染后患甲流的人数为：（人）， 答：三轮传染后患病的共有216人． 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）只要证明△>0恒成立即可； （2）由题意可得，进行变形后代入即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，方程的两实根为， ， ， 即， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的存在条件的应用，属于基础试题. 26. 鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件降价元，每星期的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件降价多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当每件降价10元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4000元． 【解析】 【分析】（1）根据售量y（件）与降价（元/件）之间的函数关系即可得到结论； （2）每星期的销售利润元，构建二次函数,二次函数开口向下，则x=10时，函数取得最大值，即可解决问题． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得，， ∵, ∴函数有最大值， ∴当时，有最大值4000， 即当每件降价10元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4000元． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的一点，当点在直线上方的抛物线上运动时，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）①根据图像，当时，的取值范围是______ ②当时，二次函数的最大值为，则的值是______． 【答案】（1） （2）； （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，代入二次函数里，求出未知数，就可以求出二次函数解析式． （2）先求出直线的解析式，再表示出点的坐标，用二次函数解析式减去直线的解析式得到一个新的二次函数，求这个新的二次函数最大值即可求出三角形面积，将最大值对应的值代入二次函数里，即可求出点的坐标． （3）第一问看图计算即可得出范围，第二问，分类讨论与对称轴的位置关系，即可求出的值． 【小问1详解】 解：， ∴， ， 将两个坐标代入二次函数中，得到方程组： ， 解得， ∴二次函数解析式为： ． 【小问2详解】 解：如图所示，设直线的解析式为（、为常数， ）， 代入点A，C的坐标，得到方程组： ， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为， 过点P作轴垂线交直线于点Q，得到点Q坐标， 则， ， 当时，三角形面积取得最大值，最大值为， 此时， ∴． 【小问3详解】 解：①二次函数对称轴： ，此时， 端点处： ， ； ， ， ∴的取值范围是， ②当时，二次函数的最大值为，二次函数对称轴： ， 分三类讨论， 情况一：区间在对称轴右边，，即， 函数递减，最大值为，得到方程， 解得（有效）， 情况二：区间在对称轴左边，，即， 函数递增，最大值为，得到方程， 解得（有效）， 情况三：对称轴在区间内， ，即， 最大值处，解得（舍去）， ∴的值是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第十四中学初三数学10月综合练习 一、选择题（每题2分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3 5. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 将二次函数的图象，向上平移4个单位，然后向左平移3个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ） A. 或3 B. 或2 C. 或或3 D. 或或2 8. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四个角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（ ） A. 6，3 B. 6， C. 3， D. 6， 11. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 抛物线的顶点坐标为 12. 学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场。若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共8分） 16. 若是一元二次方程的一个根，则值为____． 17. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 18. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用______ 19. 如图所示，已知二次函数的图象对称轴是直线：，下列结论：①；②；③；④；⑤（）；其中，正确的结论有_________．（写出序号即可） 三、解答题（共62分） 20. 用合适方法解下列一元二次方程． （1）； （2） 21. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．如果围成矩形的面积为，求矩形的长和宽． 22. 已知二次函数 （1）将化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标． 23. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，抛物线顶点坐标为，直线的解析式为． （1）利用图象的特点填空： ①当________时，； ②不等式的解集为________ （2）当时，的取值范围是__________． 24. 近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． （1）每轮传染中平均一个人感染几人？ （2）若不及时控制，按这样的传播速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 25. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，且，求m的值． 26. 鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件降价元，每星期的销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）当每件降价多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上的一点，当点在直线上方的抛物线上运动时，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）①根据图像，当时，的取值范围是______ ②当时，二次函数的最大值为，则的值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $