精品解析：辽宁大石桥市第二初级中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

八年级上学期第一次月考数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. 纳米AI 2. 下列每组数分别是三根木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，4cm B. 2cm，2cm，4cm C. 2cm，3cm，5cm D. 5cm，6cm，7cm 3. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 都可以 5. 一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 6. 在中，为边上的高，，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中结论正确的是（ ） A. ①②④⑤ B. ②③⑤ C. ①②⑤ D. ①②③④ 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 如图，生活中会把花架做成三角形的支架，这是利用了三角形的_____． 12. 如图，，添加一个条件使，这个条件可以是_________．（不添加辅助线和点，只填一个即可） 13. 如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为_____． 14. 如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°． 15. 如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 如图，数轴上三个点A、B、C对应的数为a、b、c，分别以a、b、c为边长作． （1）若，，求c的取值范围． （2）化简：． 17. 如图，在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． 18. 如图，在中，是上一点． （1）尺规作图：在的延长线上作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：． 19. 如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 20. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 21. 跨学科物理 小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图②中的A，B，O，C在同一平面上），过点作于点，测得． （1）小聪认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； （2）求的长． 22. 定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，则________． （2）已知是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②是边上一点，是“准互余三角形”，且，求的度数． 23. 【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是　　　　； A. B. C. D. （2）根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 （3）如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 （4）如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期第一次月考数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字左侧图案是轴对称图形的是（ ） A. 文心一言 B. ChatGPT C. DeepSeek D. 纳米AI 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义可知，A是轴对称图形，符合题意； B，C，D不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列每组数分别是三根木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，4cm B. 2cm，2cm，4cm C. 2cm，3cm，5cm D. 5cm，6cm，7cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系， 根据“三角形的两边之和大于第三边”逐项判断即可. 【详解】解：因为，不能摆成三角形，所以A不符合题意； 因为，不能摆成三角形，所以B不符合题意； 因为，不能摆成三角形，所以C不符合题意； 因为，能摆成三角形，所以D符合题意. 故选：D. 3. 用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，根据三角形的高的定义一一判断即可． 【详解】解：A、可以作的边上的高，此选项符合题意； B、不是的边上的高，此选项不符合题意； C、不是的边上的高，此选项不符合题意； D、是的边上的高，不是边上的高，此选项不符合题意； 故选：A． 4. 小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（ ） A. ① B. ② C. ③ D. 都可以 【答案】C 【解析】 【分析】带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃． 【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键． 5. 一个三角形的三个内角度数各不相等，其中最小的角是，那么这个三角形是一个（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】结合最小内角度数与三角形内角和，推导最大内角的取值范围，判断三角形类型； 【详解】解：∵最小的角是，且三个内角度数各不相等， ∴另外两个内角均大于， ∴最大内角， ∵， ∴该三角形三个内角均为锐角，是锐角三角形． 6. 在中，为边上的高，，则的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，AD为BC边上的高时，垂足D的位置有两种：D在线段BC上，或D在线段BC的延长线上，结合直角三角形两锐角互余的性质计算即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：垂足D在线段BC上， ∵ 是边上的高 ∴ 在中， ∴ 情况2：垂足D在线段BC的延长线上，此时点C在B、D之间， ∵ 是边上的高， ∴ ． 在中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 综上，的度数为或． 7. 如图，在中，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过点M，N作直线，直线与，分别相交于点E，D，连接．若，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为，，求出，即可由求解． 【详解】解：由作图可得：垂直平分， ∴， ∵的周长为， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 9. 如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点B落在点处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用折叠的性质得出，结合平行线的性质得出和，进而求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； 【详解】解：由折叠的性质可得， , , ， ， 在 中，， , ， ， ， ． 10. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，其中结论正确的是（ ） A. ①②④⑤ B. ②③⑤ C. ①②⑤ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得∠ABC+∠ACB=120°，∠ABE=∠CBE，∠ACD=∠BCD，进而可判断①，由三角形的角平分线交于一点，故可判断②，对于④先在BC上截取BF=BD，连接PF，然后根据三角形全等可求证，由④及根据等面积法可求证． 【详解】解：， ∠ABC+∠ACB=120°， 分别作的两条角平分线和，和相交于点， ∠ABE=∠CBE，∠ACD=∠BCD， ，故①正确； 过点P分别作PM⊥AC，PN⊥AB，PH⊥BC，分别交AC、AB、BC与点M、N、H，在BC上截取BF=BD，连接PF，如图所示： PM=PH=PN， AP平分∠BAC，故②正确； BP=BP， △BDP≌△BFP（SAS）， ∠DPB=∠EPC=∠PBC+∠PCB=60°， ∠DPB=∠BPF=∠FPC=∠EPC =60°， PC=PC， △FPC≌△EPC（ASA）， EC=FC， ，， 故④⑤正确，③错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 如图，生活中会把花架做成三角形的支架，这是利用了三角形的_____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形的稳定性． 【详解】解：由题意可得： 生活中会把花架做成三角形的支架，这是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性． 12. 如图，，添加一个条件使，这个条件可以是_________．（不添加辅助线和点，只填一个即可） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】由图可知和有公共边，再由，结合、和判定即可得到答案． 【详解】解：∵和有公共边，， 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证； 当时，由两个三角形全等的判定定理即可得证． 13. 如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为_____． 【答案】30° 【解析】 【分析】过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图，利用角平分线的性质得到EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°，EH＝EP，则EF＝EH，再根据角平分线的性质定理的逆定理可判断AE平分∠FAC，则可计算出∠FAE＝50°，然后根据三角形外角性质可计算出∠AEB的度数． 【详解】解：过E点作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H，EP⊥BD于P，如图， ∵BE平分∠ABC， ∴EF＝EP，∠ABE＝∠ABC＝×40°＝40°， ∵CE平分外角∠ACD， ∴EH＝EP， ∴EF＝EH， ∴AE平分∠FAC， ∵∠BAC＝80°， ∴∠FAC＝180°﹣80°＝100°， ∴∠FAE＝∠FAC＝50°， ∵∠FAE＝∠ABE+∠AEB， ∴∠AEB＝50°﹣20°＝30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握定理是解题的关键． 14. 如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°． 【答案】135 【解析】 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． 15. 如图，现有一张三角形纸片，点D，E分别是边上的一点，将该纸片沿折叠，使得点A落在四边形的外部点的位置，且点与点C在直线的异侧．若，，且，则的度数为______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】连接，根据三角形内角和定理可得的度数，再由折叠的性质可得，从而得到，，然后根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴ 由折叠的性质得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 如图，数轴上三个点A、B、C对应的数为a、b、c，分别以a、b、c为边长作． （1）若，，求c的取值范围． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系即可判断； （2）根据三角形三边关系判断出，，再去绝对值进行化简合并即可． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系得，， 即． 【小问2详解】 解：∵，a、b、c为的三边， ∴，， ∴ ． 17. 如图，在等腰三角形中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长及底边长． 【答案】腰长为8，底边长为2 【解析】 【分析】这道题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．解题关键是要注意三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边．通过题目中的条件，分两种情况讨论，可以列出方程并解出腰长和底边长． 【详解】解：设，则． ①当，时，有， 所以，， 所以，； ②当，时，有， 所以，， 所以，． 因为， 所以此时不能构成三角形． 故这个等腰三角形的腰长为8，底边长为2． 18. 如图，在中，是上一点． （1）尺规作图：在的延长线上作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法解答即可； （2）证明即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在中，为的中点，，连接并延长，交于点． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，进而可使用角角边的判定定理证明全等； （2）由全等三角形的性质可得，作差即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 20. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 【答案】 （1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC=∠DAE， ∵DE⊥BA， ∴∠DEA=∠DEB=90°， ∵∠C=90°， ∴∠C=∠DEA=90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC=AE； （2）3 【解析】 【分析】（1）证明△ACD≌△AED（AAS），即可得出结论； （2）在AB上截取AM=AF，连接MD，证△FAD≌△MAD（SAS），得FD=MD，∠ADF=∠ADM，再证Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），得ME=BE，求出MB=AB-AM=6，即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）在AB上截取AM=AF，连接MD， 在△FAD和△MAD中， ， ∴△FAD≌△MAD（SAS）， ∴FD=MD，∠ADF=∠ADM， ∵BD=DF， ∴BD=MD， 在Rt△MDE和Rt△BDE中， ， ∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL）， ∴ME=BE， ∵AF=AM，且AF=1.4， ∴AM=1.4， ∵AB=7.4， ∴MB=AB-AM=7.4-1.4=6， ∴BE＝BM＝3， 即BE的长为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△FAD≌△MAD和Rt△MDE≌Rt△BDE是解题的关键． 21. 跨学科物理 小聪同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置．当小聪用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图②中的A，B，O，C在同一平面上），过点作于点，测得． （1）小聪认为与一定相等，你同意他的看法吗？请说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）同意， 理由：由题意可知，，， ∴， ∴，， ∴； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）由垂线的定义得出，再根据同角的余角相等即可得解； （2）证明，得出，，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 22. 定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，则________． （2）已知是直角三角形，． ①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由； ②是边上一点，是“准互余三角形”，且，求的度数． 【答案】（1） （2）①是“准互余三角形”， 理由：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②的度数为或． 【解析】 【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是； （2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答； ②由题意可得，所以分两种情况讨论或． 【小问1详解】 解：∵是“准互余三角形”，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①略 ②∵，， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为或． 23. 【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 （1）如图①，的理由是　　　　； A. B. C. D. （2）根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 （3）如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 （4）如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】（1）B （2）2（或3，4，5，6之一） （3）证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． （4）4 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【小问1详解】 解：在和中， ， ， 故选：B； 【小问2详解】 解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $