精品解析：湖北省省直辖县级行政单位潜江市九年级联考协作体 12校联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026——2027学年度上学期九年级10月联考 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列等式中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据一元二次方程的三个判定条件（只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程）逐一验证选项即可得出答案． 【详解】解：A选项：方程含有2个未知数，不符合要求； B选项：方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； C选项：方程只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合要求； D选项：当时，方程变为，是一元一次方程，不一定是一元二次方程． 2. 将一元二次方程 化为一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对移项，得， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先确定一元二次方程里a，b，c的值，代入根的判别式计算，根据判断该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：一元二次方程为， ，，， ， 方程有两个相等的实数根． 4. 若是一元二次方程的两根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：一元二次方程中，，，． 由根与系数的关系得：．． 5. 电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式．已知导线的电阻为，1s的时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（ ） A. 2 A B. 4 A C. 8 A D. 16 A 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确建立方程是解题关键．根据题意，将已知数值代入关系式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以通过导线的电流为， 故选：B． 6. 对于二次函数，下面说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标 C. 对称轴是直线 D. 当时，函数取得最大值 5 【答案】C 【解析】 【分析】该函数为二次函数顶点式，可直接提取参数判断开口方向、顶点坐标、对称轴及最值． 【详解】解：二次函数为顶点式，对应，，． ∵， ∴抛物线开口向上，当时函数取得最小值5，故A、D错误． 顶点坐标为，故B错误． 对称轴为直线，故C正确． 7. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，得 ． 再向上平移个单位，得 ． 8. 已知点，，都在抛物线上，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵ ， ∴ ． 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意； D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④ ． A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，得出，整理可得判断①正确；根据当时，，判断②错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断③正确；根据当时，，判断④错误． 【详解】解：①∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②根据图象可得：当时，， ∴，故②错误； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴，故③正确； ④根据图象可知，当时，， ∴，故④错误； 综上，正确的有①③． 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， 解得：， ∴， 故答案为：． 12. 若，为方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系（若，为方程的两个根，则，与系数的关系式为：，），熟练掌握这种关系是解题的关键． 由题意，为方程的两个实数根，可知，，利用整体代入的思想即可求解． 【详解】解：，为方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：． 13. 抛物线图像经过、两点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】两点纵坐标相等，说明两点关于抛物线的对称轴对称，先确定抛物线对称轴，再根据对称轴与两点横坐标的关系求解. 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 点和的纵坐标相等， 两点关于抛物线的对称轴对称，两点横坐标的中点落在对称轴上， 可得方程， 化简得， 解得． 14. 二次函数，自变量取值，该区间内函数最大值与最小值之差为___________． 【答案】 16 【解析】 【分析】先将二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，再比较顶点与区间端点的函数值，得到区间内的最大值和最小值，计算二者的差即可． 【详解】解：对二次函数配方得， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵在自变量区间内， ∴函数在处取得最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 比较得函数在区间内的最大值为， ∴最大值与最小值之差为． 15. 点在二次函数图像上，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在二次函数图像上得到与的关系式，将整理为关于的二次函数，通过配方法求最小值． 【详解】解：∵点在的图像上， ∴， ∴， 整理得：， ∵对任意实数成立， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（共 9 小题，共 75 分） 16. 解一元二次方程 （1）（配方法） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）按配方法步骤对原方程配方，开方后求解； （2）移项后提取公因式因式分解，进而得到方程的解． 【小问1详解】 解： ，   ， ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解：，  ， ， ， 即  或  ， 解得或． 17. 已知关于的一元二次方程： （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程有一根，求的值以及方程另外一个根． 【答案】（1）证明：方程是关于的一元二次方程， ， ， ， ， ， 对于任意不为的实数，， ， 此方程总有两个实数根； （2）的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）一元二次方程先确定二次项系数，写出根的判别式并化简配方得到，根据平方的非负性得到，由此证明方程总有两个实数根； （2）已知根代入原方程，解出t的值，再将t代回得到完整一元二次方程，因式分解解方程，求出方程的另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程有一根， ， 整理得， 解得， 该一元二次方程为， 因式分解得， 解得或， 另外一个根为． 18. 已知关于的方程 有两个不相等实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得方程两根的倒数之和等于？若存在，求出；不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2）解：不存在，理由如下： 设方程的两根为，， 由根与系数的关系得，， 由题意得，代入得，解得， 由（1）知方程有两个不相等实根需满足且，不符合条件，故不存在这样的实数． 【解析】 【分析】（1）当时，原方程为一元一次方程，只有一个实数根，不符合题意；当时，原方程为一元二次方程，利用判别式求解即可； （2）设方程的两根为，，由根与系数的关系得，，根据建立关于n的方程，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：当时，原方程为，解得，即原方程只有一个实数根，不符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵原方程有两个不相等实数根， ∴， ∴， ∴， ∴且； 综上所述，且； 【小问2详解】 略 19. 如图，若篱笆虚线部分的长度为，当所围成矩形的面积是时墙足够长 （1）求矩形的长是多少？ （2）当矩形的长是多少矩形的面积w有最大值？最大值是多少？ 【答案】（1）矩形的长是 （2）当矩形的长是时，矩形的面积w有最大值，最大值是 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，以及一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设矩形的一条边长为，则另一条边长为，由矩形的面积公式结合矩形的面积是，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． （2）矩形的面积等于长乘以宽，列式得关于x的二次函数，用配方法写成顶点式，从而得解． 【小问1详解】 解：设矩形的一条边长为，则另一条边长为， 由题意得：， 解得：，， 或， ， 矩形的长为， 答：矩形的长是． 【小问2详解】 解：根据题意，得：， ， 有最大值， 当时，w取得最大值64， 答：当矩形的长是时，矩形的面积w有最大值，最大值是 ． 20. 已知点与点都在二次函数的图像上． （1）求和的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）求该抛物线上纵坐标为的点的坐标； （3）当时， 求函数的最大值和最小值． 【答案】（1），对称轴为，顶点坐标为，二次函数图象开口向上 （2） （3）函数的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式， （1）把点代入，运用待定系数法可求出解析式，再把点代入即可求解； （2）根据题意，把代入二次函数解析式，即可求解； （3）根据二次函数图象的性质，当时，；当时，；当时，；由此即可求解． 【小问1详解】 解：已知点在二次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为； 【小问2详解】 解：抛物线上纵坐标为，即， ∴， 解得，， ∴纵坐标为的点的坐标为，； 【小问3详解】 解：∵二次函数的对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，时，，时，，时，， ∴当时，函数的最大值为，最小值为． 21. 定义：如果一元二次方程有两个实数根，较大根与较小根的差等于3，则称该方程为 “三距方程”． （1）下列方程属于 “三距方程” 的是 （填序号）． ①；②；③ ；④ ． （2）已知方程 是 “三距方程”，是方程两根． ①求的值； ②求方程的两个实数根． 【答案】（1）① （2）①；② 【解析】 【分析】（1）对每个方程分别求解，算出两根，计算两根的差值，差值等于3的方程符合“三距方程”定义． （2）①利用韦达定理，结合，利用平方变形建立关于参数的方程，求出；②把代回原一元二次方程，解方程得到两个实数根． 【小问1详解】 解：① 因式分解得， 解得． 两根之差：，满足定义，是“三距方程”． ② 因式分解得， 解得． 两根之差：，不等于，不是“三距方程”． ③ 移项得， 解得． 两根之差：，不等于，不是“三距方程”． ④ 因式分解得， 解得． 两根之差：，不等于，不是“三距方程”． 综上，属于“三距方程”的是①． 【小问2详解】 解：①对于一元二次方程， 由根与系数的关系可得： ，． 方程是“三距方程”，则两根之差的绝对值． 两边平方得：． 由恒等式，代入得： ． 检验判别式： ， ，方程有两个不相等实数根，符合题意． ②将代入原方程， ， 整理得， 两边同乘：， 因式分解：， 或， 解得． 22. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 （3）存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 【答案】任务1：平均增长率为；任务2：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 任务1：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据每个月可以获得利润12250元列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设平均增长率为a，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：平均增长率为； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据题意得， 解得， ∴当时，每个月可以获得利润12250元， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元． 24. 抛物线与轴交于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设为抛物线顶点，求的面积； （3）连接，点是抛物线上动点，满足，直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为． （2）的面积为． （3）符合条件的点坐标为， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）分别求出点和点的坐标，过点作轴于点，则，根据代入计算即可． （3）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点作交直线于点，设点，则点，求得，则，化简求得的值，结合抛物线的解析式和求得即可． 【小问1详解】 解：把，代入中， ， 解得：， 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：， ∴， 当时，则， ∴， 过点作轴于点，则， ∴ ； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线过点和 ∴，解得， 则直线的解析式为， ∵抛物线的解析式为． ∴设点， 过点作交直线于点，如图， 则点， ∴， ∵，点和， ∴， ， 整理得， 当时，解得，， 当时，方程无实数解， ∵抛物线的解析式为，且， ∴可解得，， 则符合条件的点坐标为和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年度上学期九年级10月联考 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列等式中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 将一元二次方程 化为一般形式，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 4. 若是一元二次方程的两根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）之间满足关系式．已知导线的电阻为，1s的时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（ ） A. 2 A B. 4 A C. 8 A D. 16 A 6. 对于二次函数，下面说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标 C. 对称轴是直线 D. 当时，函数取得最大值 5 7. 将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，都在抛物线上，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④ ． A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④ 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 12. 若，为方程的两个实数根，则的值为_______． 13. 抛物线图像经过、两点，则___________． 14. 二次函数，自变量取值，该区间内函数最大值与最小值之差为___________． 15. 点在二次函数图像上，则的最小值为___________． 三、解答题（共 9 小题，共 75 分） 16. 解一元二次方程 （1）（配方法） （2） 17. 已知关于的一元二次方程： （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若方程有一根，求的值以及方程另外一个根． 18. 已知关于的方程 有两个不相等实数根． （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得方程两根的倒数之和等于？若存在，求出；不存在，请说明理由． 19. 如图，若篱笆虚线部分的长度为，当所围成矩形的面积是时墙足够长 （1）求矩形的长是多少？ （2）当矩形的长是多少矩形的面积w有最大值？最大值是多少？ 20. 已知点与点都在二次函数的图像上． （1）求和的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； （2）求该抛物线上纵坐标为的点的坐标； （3）当时， 求函数的最大值和最小值． 21. 定义：如果一元二次方程有两个实数根，较大根与较小根的差等于3，则称该方程为 “三距方程”． （1）下列方程属于 “三距方程” 的是 （填序号）． ①；②；③ ；④ ． （2）已知方程 是 “三距方程”，是方程两根． ①求的值； ②求方程的两个实数根． 22. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 24. 抛物线与轴交于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设为抛物线顶点，求的面积； （3）连接，点是抛物线上动点，满足，直接写出所有符合条件的点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $