精品解析：湖北省省直辖县级行政单位2025-2026学年九年级上学期12月联考数学试题

2025－2026学年度上学期九年级十二月联考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（每题3分，共计30分）． 1. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 2021年全年有402天 B. 打开电视，正在播放广告 C. 刚出生的婴儿体重 D. 明天太阳从东边升起 3. 用配方法将方程转化为的形式，则 的值为（ ） A. 2027 B. C. 2023 D. 4. 将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ） A. 向上平移4个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移4个单位长度 5. 关于 的一元二次方程有实数根，则 的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ，，半径为2，则 的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 7. 点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A的坐标为，将 绕原点O顺时针旋转 得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 用一个圆心角是 ，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与 轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于 ．下列结论： ； ； ； 若 ， （ ）是方程的两个根，则， ．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则 取值范围是_____． 12. 如图，在矩形 中，若，则 的长为_______． 13. 如图， 是 的直径，点C，D，E在 上，若，则 的度数为 ________ ． 14. 掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 （米）与飞行的水平距离 （米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为______． 15. 如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 、，连结 、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：① ；②；③；④．以上结论中，正确的有________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题： 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 18. 据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据所给信息解答下列问题： （1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据； （2）若2020年某地常住人口约有20万，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 19. 如图，在 中， ，四边形是正方形，， 交 于点G． （1）求正方形的边长； （2）求 的长． 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：无论 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求 的值． 21. 如图， 是 的直径，点 是 上异于 、 的点，连接 、 ，点 在 的延长线上，且，点 在 的延长线上，且． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求 的长． 22. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为 元()． （1）求平均每天销售量 （箱）与销售单价 （元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售单价 （元/箱）之间的函数关系式？ （3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 在矩形 中， ， ，点E为 边上一动点（不与点B，C重合），过点E作 交 于点F，连接 ． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，连接 交 于点M，若点E为 的中点，求 的长度； （3）如图3，延长 至点G，使得，连接 交 于点H，若 ，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线 交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． （3）如图②，点P为直线 下方抛物线上的一动点，过点P作 交 于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期九年级十二月联考 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（每题3分，共计30分）． 1. 下列交通标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是掌握两种图形的定义（轴对称图形：沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合；中心对称图形：绕某一点旋转 后能与自身重合）． 依次分析每个选项的图形，判断是否同时满足轴对称和中心对称的条件． 【详解】A、图形沿中间竖直线折叠后两边能重合，是轴对称图形；绕中心旋转 后与自身重合，是中心对称图形，同时满足两个特征； B、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转 后与自身不重合，不是中心对称图形； C、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转 后与自身不重合，不是中心对称图形； D、图形沿某条直线折叠后不能完全重合，不是轴对称图形；绕中心旋转 后与自身不重合，不是中心对称图形． 故选：A． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 2021年全年有402天 B. 打开电视，正在播放广告 C. 刚出生的婴儿体重 D. 明天太阳从东边升起 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了随机事件的定义， 根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，逐一分析各选项． 【详解】选项A：2021年是平年，全年有365天，不可能有402天，属于不可能事件． 选项B：打开电视时，可能播放广告，也可能播放其他内容，结果不确定，属于随机事件． 选项C：刚出生婴儿体重正常范围约为， 远超合理范围，属于不可能事件． 选项D：太阳东升是自然规律，必然发生，属于必然事件． 故选：B． 3. 用配方法将方程转化为的形式，则 的值为（ ） A. 2027 B. C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出 、 的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 与 比较，得，， ∴ ． 故选：B． 4. 将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ） A. 向上平移4个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，原抛物线的顶点为，平移后顶点需在坐标轴（x轴或y轴）上，通过计算各选项平移后的顶点坐标，判断是否满足条件即可． 【详解】解：∵ 抛物线 的顶点为． 选项A：向上平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项B：向下平移3个单位，新顶点坐标为，在x轴上； 选项C：向左平移3个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项D：向右平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上． ∴ 只有选项B使顶点在坐标轴上，故这个平移的过程可能是向下平移3个单位． 故选：B． 5. 关于 的一元二次方程有实数根，则 的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于 的一元二次方程，可知 ，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出 的取值范围即可． 【详解】解：是关于 的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且 ． 6. 如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ，，半径为2，则 的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，根据垂径定理得到 ，，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质得到，最后由垂径定理得出结论． 【详解】解： 的直径 垂直于弦 ， ，， ， ， 在中， ，， ，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半） ， 故选：A． 7. 点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，通过直接计算各点的纵坐标值，再比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点，，均在抛物线上， ∴，，， ∵， ∴， 即， 故选：A． 8. 如图，点A的坐标为，将 绕原点O顺时针旋转 得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的旋转变换，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作轴，轴，利用旋转的性质得到线段与角的关系，可证明，通过对应边相等将原来点的坐标转化为旋转后点的坐标． 【详解】解：过点 作轴于 ，过点作轴于 ，则， 由题意，， 在 中，， 又∵， ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， 已知， 则，， ∴，， ∵在第四象限， ∴其坐标为． 故选：B． 9. 用一个圆心角是 ，半径是3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，求圆锥的底面半径， 先求出扇形的弧长，可得圆锥的底面周长，再根据周长公式求出半径． 【详解】解：扇形的弧长， 即圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为． 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象经过点，且与 轴交点的横坐标分别为，，其中，，顶点纵坐标大于 ．下列结论： ； ； ； 若 ， （ ）是方程的两个根，则， ．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 轴交点情况可以判断 ，根据抛物线顶点纵坐标大于 ，可以判断 ，二次函数的图象经过点，再根据图象当 时 可以判断 ，由得，即函数与的交点，可以判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴ ， ∵抛物线交 轴于正半轴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵顶点纵坐标大于 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴，故 正确； ∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴，故 正确； 由得：， 即函数与的交点， 如图， ∴， ，故 正确， 综上可知：正确，共 个， 故选：． 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 已知点关于原点的对称点在第四象限，则 取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标关系，求不等式组的解集．根据关于原点对称的点的坐标关系，得出点 的对称点坐标，再根据第四象限点的坐标符号特征列出不等式组求解． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为在第四象限， ∴ 解得： 故答案为：． 12. 如图，在矩形 中，若，则 的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形 中， ， ， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 13. 如图， 是 的直径，点C，D，E在 上，若，则 的度数为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角为直角”是解题的关键.由 为 的直径，根据圆周角定理的推论得到 ，再根据角的和差及圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， 为 的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 掷实心球是中考体育必考项目，体育老师给出标准示范，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度 （米）与飞行的水平距离 （米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为______． 【答案】 ## 米 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际运用、解一元二次方程，解题关键是理解题意及熟练掌握一元二次方程的解法． 根据题意可知，求小明这次实心球训练的成绩即求 时，二次函数中 的取值，将 代入后求解即可． 【详解】解：依题得：在二次函数中， 时，即实心球的飞行高度为 时， 有， ， ， 解得 或 （舍去）， 即实心球飞行的水平距离为 ． 小明这次实心球训练的成绩为 ． 故答案为： ． 15. 如图，在正方形 中， 是等边三角形， 、 的延长线分别交 于点 、 ，连结 、 ， 与 相交于点 ，给出下列结论：① ；②；③；④．以上结论中，正确的有________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答本题的关键要明确：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 根据正方形和等边三角形中角度关系可得 ，再由解 的直角三角形判断结论①；根据叫两个角对应相等判断结论②即可；证明，即可判断结论③；构造辅助线，通过面积求解即可． 【详解】解：在等边中，， 正方形中 ， ∴ ， 在 中，则 ，结论①正确； 由 得， ∴， ∵ 是等边三角形，四边形 为正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， 即， 在与中， ， ∴，结论②正确； ∵，， 即， 又， ∴， ∴，即，结论③正确； 过点P作，，如图， 设正方形 的边长为4，则正方形 的面积为16， ∵ 是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，则， 在中，，则， ∵ ， ∴，结论④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题： 16. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． （1）通过提取公因式将方程进行因式分解，然后求解． （2）先将方程化为一般形式，然后通过因式分解求解． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90∘后的对应点的位置，然后顺次连接即可． （2）在旋转过程中，C所经过的路程为下图中扇形的弧长，即利用扇形弧长公式计算即可． 【详解】（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形． （2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长； 所以 【点睛】 本题考查了旋转作图以及扇形的弧长公式的计算，作出正确的图形是解本题的关键． 18. 据某知名网站调查，2020年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据所给信息解答下列问题： （1）求调查的总人数，并补全条形统计图，并在图中标明相应数据； （2）若2020年某地常住人口约有20万，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】（1）1400人，统计图见详解；（2）2万人；（3） 【解析】 【分析】（1）根据消费类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以教育类对应百分比求出其人数即可补全图形； （2）总人数乘以五峰最关注环保问题的人数所占百分比即可得出答案； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人）， 关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）． 如图所示： （2）最关注环保问题的人数为：20×10%＝2（万人）； （3）画树形图得： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的有2种结果， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率=2÷12=． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，在 中， ，四边形是正方形，， 交 于点G． （1）求正方形的边长； （2）求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关判定定理的内容即可求解； （1）证推出，设，则，根据即可求解 ； （2）证，推出，求得，即可求解 ； 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴， 即正方形的边长为 ； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴； ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：无论 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若是原方程的两根，且，求 的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）根据得到，根据根与系数的关系得到，进而代入求解即可． 【小问1详解】 证明：， 无论 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：， ， 又， ， 解得：． 21. 如图， 是 的直径，点 是 上异于 、 的点，连接 、 ，点 在 的延长线上，且，点 在 的延长线上，且． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）连接 ，先根据等腰三角形的性质可得 ，再根据圆周角定理可得，从而可得 ，然后根据圆的切线的判定定理即可得证； （2）设，则，，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质求出 的值，由此即可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接 ， ， ， 是 的直径， ， ， ， ，即 ， ， 又 是 的半径， 是 的切线． 【小问2详解】 解：∵， 设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得 ， ∴． 22. 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元． 市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．设该水果批发商每箱苹果的销售单价为 元()． （1）求平均每天销售量 （箱）与销售单价 （元/箱）之间的函数关系式； （2）求该批发商平均每天的销售利润 （元）与销售单价 （元/箱）之间的函数关系式？ （3）当每箱苹果的销售单价定为多少元时，平均每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据价格每提高1元，平均每天少销售3箱，列出一次函数解析式即可； （2）根据总利润等于单箱利润乘以销量，列出二次函数关系式即可； （3）根据二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，即； 【小问2详解】 解：由题意得：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时， 随着 的增大而增大， ∵ ∴当 =55元时，w的最大值为1125元． ∴当每箱苹果的销售单价为55元时，可以获得最大利润，最大利润为1125元． 23. 在矩形 中， ， ，点E为 边上一动点（不与点B，C重合），过点E作 交 于点F，连接 ． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，连接 交 于点M，若点E为 的中点，求 的长度； （3）如图3，延长 至点G，使得，连接 交 于点H，若 ，求的值． 【答案】（1） 证明：∵在矩形 中， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）根据矩形的性质得到 ，即 ，进而得到 ，即可证明 ； （2）过点E作 交 于点N．根据 求出，根据平行线的性质得到 ，进而根据三角函数求出 ，根据勾股定理求出 ，证明 ，得到 ，可知 ，即可求出 的长度； （3）设 ，证明 ，可得 ，即，求出 ，进而求出，即可证明 ，得到 ，根据 求出，进而求出，即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点E作 交 于点N． ∵点E为BC的中点， ， ∴ ． ∵ ， ∴，即， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 解：在 中，，设 ，则 ， ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵ ∴， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线 交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． （3）如图②，点P为直线 下方抛物线上的一动点，过点P作 交 于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最大值为， 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令 即可求得点G； 结合题意可得 是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线 的解析式为，设与 交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得 和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P． 【小问1详解】 解：根据题得，，解得， 则抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图： 则， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设的直线解析式为 ，则，解得 则的解析式为， 当 时，，解得， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， 设直线 的解析式为 ， ，解得， 则直线 的解析式为， 设与 交于点C，如图， ∵轴于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∵ ， ∴当时，的最大值为，此时． 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $