第27章《反比例函数》综合复习卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

保密★启用前 人教版九年级上册第27章《反比例函数》综合复习卷 （满分：150分 时间：120分钟） 姓名： 班级： 得分： 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2．如图是同一直角坐标系中函数和的图象，观察图象，可得不等式的解集为（　　） A． B．或 C．或 D．或 3．“十四五”时期，广西将完成300公里的智慧公路建设．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（     ） A．反比例函数关系 B．正比例函数关系 C．一次函数关系 D．无法确定 4．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．近视眼镜的度数（度）与镜片焦距之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中y是x的反比例函数的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．如图，古代工匠在制作杆秤时，需校准刻度以确保称量准确．他们在秤纽（支点O）左侧固定位置B处悬挂物体A，右侧通过调整秤砣的重量y（单位：斤）及其悬挂位置与秤纽的距离x（单位：寸），使秤杆平衡（秤杆平衡时，秤砣重秤砣距秤纽距离物体重物体距秤纽距离）．工匠发现，若固定物体A的重量和位置B，改变秤砣与秤纽的距离x，观察所需的秤砣重量y的变化情况，记录数据如下： x（寸） … 5 6 10 12 15 … y（斤） … 12 10 6 5 4 … 观察表中的数据，当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是（     ） A．2 B．3 C．20 D．30 8．如图，关于x的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 10．如图是反比例函数的一部分图象，已知该图象过点，点P是图象上任意一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积是（     ） A．6 B．2.5 C．3 D．2 11．如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（   ） A．18 B．15 C．12 D．10 12．长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知反比例函数． （1）在每一个象限内，y随x的增大而_______； （2）当时，y的取值范围是_______． 14．小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长____________． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 15．如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 16．如图，点A，B是第一象限内双曲线上的点（点B在点A的左侧），若B点的纵坐标为1，为等边三角形，则k的值是_____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 18．（12分）已知反比例函数的图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 19．（10分）已知反比例函数的图象经过两点． (1)求m和k的值； (2)求出时，y的取值范围． 20．（10分）“波波糖”是贵州的著名特色小吃，以其酥脆香甜的口感广受欢迎．在其制作的过程需要将熬制好的糖体反复拉伸，直至形成细长的糖丝．在将一定质量的糖体做成糖丝时，糖丝的总长度是糖丝横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点（如图所示）． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值，并解释它的实际意义． 21．（10分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交，其中一个交点的横坐标是2. (1)求反比例函数的表达式； (2)在第一象限内，请根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围. 22．（10分）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且与轴交于点．试求上述反比例函数和一次函数的解析式； 23．（12分）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系．    (1)______； (2)分别求出当和时，y与x之间的函数关系式； (3)如果每毫升血液中含药量不低于12微克时是有效的，求一次服药后的有效时间是多少分钟？ 24．（12分）某天水温和室温均为，智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系，a分钟时水温下降到室温，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)当时，求出y与x之间的函数关系式； (2)求自动停止加热到水温降到室温的时间． 25．（12分）如图，反比例函数与一次函数的图像相交于和两点，直线与反比例函数交于另一点． (1)直接写出：点坐标______；直线的函数解析式______． (2)请结合图像回答，时，的取值范围______． (3)如图若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C B B B D C 题号 11 12 答案 D D 1．B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，若点在反比例函数的图象上，则，验证各选项中点的横纵坐标乘积是否等于2即可． 【详解】解：对于反比例函数，其图象上的点满足． A：，计算，不符合条件； B：，计算，符合条件； C：，计算，不符合条件； D：，计算，不符合条件； 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，则不等式的解集为或， 故选：D． 3．A 【分析】根据运送总量固定，V与t的乘积为非零常数的特点判断函数类型． 【详解】解：由题意得，，整理得，符合反比例函数关系． 4．D 【分析】本题考查了反比例函数的性质， 根据反比例函数定义，计算各点纵坐标值，结合比较大小． 【详解】∵ 点在上， ∴，，， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 又， ∴ ． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得，配制一副度数小于250度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如（为常数且）的函数是反比例函数，逐一判断各函数即可． 【详解】解：① ，不是反比例函数； ② ，是反比例函数； ③ ，是反比例函数； ④ ，分母不是，不是反比例函数； ⑤ ，即，是反比例函数； ⑥ ，不是反比例函数； ⑦ ，即，是正比例函数，不是反比例函数． ∴ 是反比例函数的有②、③、⑤，共3个． 故选：B． 7．B 【分析】计算表格的数据可得，无论和取何值，它们的乘积始终等于，由此计算即可得出结果． 【详解】解：由表格的数据可得， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 由此可得，无论和取何值，它们的乘积始终等于， 当时，， ∴， ∴当秤砣与秤纽的距离x为20寸时，秤砣重量y（斤）的值是． 8．B 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限， 故选项B正确，选项C错误； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，故选项A，D错误； 故选：B． 9．D 【分析】A、根据电压电流电阻，即可求解；B、根据电压电流电阻，即可求解；C、由图进行判断即可；D、若该电路的最小电阻值为，代入计算即可； 【详解】解：A、根据电压电流电阻， ∴蓄电池的电流，说法正确，不符合题意； B、根据电压电流电阻， ∴这个蓄电池的电压值大约是，说法正确，不符合题意； C、由图可知，图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，说法正确，不符合题意； D、若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，选项说法错误，符合题意． 10．C 【分析】先根据图象上点的坐标求出反比例函数的比例系数，再利用反比例函数系数k的几何意义求解． 【详解】解：的图象过点， ， 点P是图象上任意一点，轴， ． 11．D 【分析】设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为，根据反比例函数的图像的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出k的值，再把代入函数关系式求解即可． 【详解】解：设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为， ∴，， ∴，解得， ∴， ， 当时，，即当时，P的值为． 12．D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 13． 减小 【分析】（1）根据反比例函数的性质求解即可； （2）先分别求出和对应的函数值，再根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴在每一个象限内，y随x的增大而减小； （2）在中，当时，，当时，， ∵当时， y随x的增大而减小， ∴当时，y的取值范围是． 14．5 【分析】本题是反比例函数的应用问题，设解析式为 ，用待定系数法求解得到把值代入所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设波长关于频率的函数解析式为 ， 把点代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 故答案为：5． 15．6 【分析】设点的坐标为，利用垂直确定的坐标，根据矩形的面积推出即可求出 的值，根据求出的唯一值． 【详解】解：设点的坐标为， 在上， ，即． 由题意，轴于，轴于，点的坐标为， 点的坐标为点的坐标为， 矩形的面积为 ，， ， 矩形面积为， ， 或． 由图可知，点在第一象限（，）， ， ∴． 16．/ 【分析】作，交的延长线于N，作轴于H，轴于Q，设，通过证得三角形相似求得N的坐标，进一步得到A的坐标，代入双曲线，得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而求得k的值． 【详解】解：作，交的延长线于N，作轴于H，轴于Q， 设， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴A是的中点， ∴， ∵点A、B是第一象限内双曲线上的点（点B在点A的左侧）， ∴ 解得或， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A的坐标是解题的关键． 17．(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1） 解：设， 当时，，则， 解得， ∴； （2） 解：当时，代入，得， 解得， ∴当时，x的值为3． 18．(1) (2)函数图像如下；第四象限内，y随x的增大而增大 (3)解：点不在这个函数的图像上，理由： 将代入中，可得， ∴点不在这个函数的图像上． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数的图象，以及判断反比例函数的增减性，熟知用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）直接把点代入，求出k的值即可； （2）用描点法画出函数图象，根据图象判断增减性即可； （3）把代入解析式，求出函数值即可判断． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：列表， x … 1 2 4 … y … … （3）略 19．(1)，； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象经过得、，即，计算得，即可得； （2）由（1）得，，即反比例函数解析式为，把， 分别代入反比例函数解析式即可得，，即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过 ∴、， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得，， 即反比例函数解析式为， 当时，， 当时，， 即当时，随着的增大而减小， y的取值范围为：． 20．(1)； (2)；当糖丝横截面面积为时，糖丝的总长度为． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． （1）设与之间的函数表达式为：，代入得出即可； （2）将代入到函数表达式得出，并根据题意解释实际意义即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为：， 将代入可得：， 解得：， 与之间的函数表达式为：． （2）将代入得：， 解得：， 实际意义：当糖丝横截面面积为时，糖丝的总长度为． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像确定不等式的解集、运用待定解析式求函数解析式等知识点，掌握反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数的解析式是解题的关键． （1）先根据题意确定图像的一个交点坐标，然后确定k的值即可确定反比例函数解析式； （2）观察函数图像，发现一次函数的图像在反比例函数图像上方对应x的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交，其中一个交点的横坐标是2. ∴该点的纵坐标为，即该点的坐标为， ∴，即反比例函数的解析式为：． （2）解：由函数图像可得： 一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围为：． 22．； 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，再求解点的坐标是，再进一步利用待定系数法求解一次函数的解析式即可. 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵经过点， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ∵点在上， ∴， ∴点的坐标是． 设一次函数的解析式为， 则，解得， ∴一次函数的解析式为． 23．(1)27 (2)当时，解析式为；当时，函数的解析式为 (3)175分钟 【分析】（1）根据“从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克”即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）分别令，即可求解． 【详解】（1）解：∵从第10分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.3微克 ∴ （2）解：当时，设y与x之间的函数关系式为 ∵经过点 ∴ 解得：， ∴解析式为；         当时，y与x之间的函数关系式为 ∵经过点 ∴ 解得：， ∴函数的解析式为； （3）解：令解得：， 令，解得： ∴分钟， ∴服药后能持续175分钟. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、利用函数图象解决实际问题等．将实际问题与函数建立正确联系是解题关键． 24．(1) (2)自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出反比例函数解析式，再令代入解析式求出x值，最后即可． 【详解】（1）设加热过程中函数解析式为，点，在函数图象上， ，解得， 当时，y与x之间的函数关系式为：； （2）∵点在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为， ， 反比例函数解析式为：， 当时，， 自动停止加热到水温降到室温的时间为：（分钟）， 答：自动停止加热到水温降到室温的时间为32分钟． 25．(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据反比例函数的图象与性质及一次函数的性质进行计算即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）根据三角形的面积公式，求出的长，据此可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ∵点和点关于坐标原点对称， ∴点的坐标为． 将点代入反比例函数得，， ∴反比例函数的解析式为． 将点代入得，， ∴点坐标为． 将点和代入一次函数得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由函数图象可知， 当或时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即， ∴时，的取值范围是或． （3）解：∵的面积为， ∴， 解得， ∴点坐标为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $