甘肃省兰州西北中学2026-2027学年高一上学期数学第一单元小测(第2周)试题

兰州西北中学2026-2027高一年级第一学期第一单元小测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题p：，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 5．已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知集合，且是中的一个元素，则（    ） A． B．或3 C． D．或 7．设，，若，则实数的取值范围是（    ） A．， B．， C．， D． 二、填空题 8．已知集合，，则________． 9．满足的集合A共有______个. 10．运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，每人至多报两个项目．15人参加游泳，8人参加田径，14人参加球类．同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人，则只参加一个项目的有______人． 三、解答题 11．已知全集，集合 求： (1) (2) (3) 12．已知命题α：1≤x≤2，命题β：1≤x≤a． (1)若α是β必要非充分条件，求实数a的取值范围； (2)求证：a≥2是α⟹β成立的充要条件． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《集合与逻辑单元小测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B D D A A C 1．B 【分析】利用集合的补集和交集运算求解. 【详解】解：因为， 所以， 又， 所以， 故选：B. 2．B 【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】命题“p：，”的否定是“，”. 故选：B． 3．D 【分析】由集合间的子集关系求解． 【详解】因为，且， 所以. 故选：D. 4．D 【分析】先解不等式，由集合间的基本关系结合充分、必要条件判定选项即可. 【详解】不等式化为：，于是得“”所对集合为， 不等式化为：，于是得“”所对集合为， 显然是A的真子集， ∴“”是“”的必要不充分条件.   故选：D 5．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6．A 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】集合，且. ①当时，，此时，，集合中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去； ②当时，（舍）或. 若，则，此时集合，符合题意， 综上所述，. 故选：A. 7．C 【解析】根据，分与讨论求解. 【详解】，，且； 当时，，解得； 当时，， 解得； 的取值范围是或； 故选：C. 【点睛】本题主要考查集合之间的基本关系的应用，属于基础题. 8． 【分析】集合、均为平面点集，求交集等价于联立两个对应的方程，求解公共解构成的集合. 【详解】集合是直线上所有点构成的集合，集合是反比例函数上所有点构成的集合， 因此为两个图象公共点构成的集合， 联立方程如下：，整理得， 解得，， 将代入，得；将代入，得， 经检验，两组解均满足原方程组， 因此直线和反比例函数图象的公共点为和， 故. 9．64 【详解】依题意，集合是集合与集合的子集的并集， 而集合有个子集， 所以集合的个数为64. 10．19 【分析】根据15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数． 【详解】解：有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，这三项累加时，比全班人数多算了三部分， 即同时参加游泳比赛和田径比赛的，同时参加游泳比赛和球类比赛的和同时参加田径比赛和球类比赛的重复算了两次， 所以就是同时参加田径比赛和球类比赛的人数， 所以同时参加田径比赛和球类比赛的有3人． ∵同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类的有3人， ∴只参加一个项目的有人， 故答案为19 【点睛】本题主要考查集合关系的应用，根据人数关系求出同时参加田径比赛和球类比赛的有3人是解决本题的关键． 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据集合的交集，并集，补集的定义，计算即可. 【详解】（1）由题意， 所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以. 12．(1){a|a＜2} (2)证明： 充分性（若a≥2，则α⟹β）． 若a≥2，则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}， 所以命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a，故充分性成立， 必要性（若α⟹β，则a≥2）． 若命题α：1≤x≤2可得出命题β：1≤x≤a， 则{x|1≤x≤2}⊆{x|1≤x≤a}，所以a≥2，故必要性成立， 综上所述：a≥2是α⟹β成立的充要条件． 【分析】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}，由α是β必要非充分条件，得到B是A的真子集，分类讨论，求出实数a的取值范围； （2）分别证明充分性和必要性即可． 【详解】（1）设A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}， 若α是β必要非充分条件，则B是A的真子集， 当B＝∅时，a＜1，此时满足B是A的真子集，符合题意， 当B≠∅时，若B是A的真子集，则，解得1≤a＜2， 综上所述实数a的取值范围为{a|a＜2}， （2）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $