专题01 集合10种题型归类（压轴题专项训练）数学湘教版2019必修第一册

专题01 集合10类题型归类 目录 典例详解 类型一、集合元素一般“代表”之数集 类型二、集合元素一般“代表”之点集 类型三、集合元素一般“代表”之其他类型 类型四、根据集合相等求参数 类型五、子集（真子集）个数问题 类型六、根据包含关系求参数 类型七、根据并集，交集，补集的结果求参数 类型八、图的应用 类型九、容斥原理 类型十、集合中的新定义题 压轴专练 类型一、集合元素一般“代表”之数集 集合元素代表是集合的核心，在用描述法表示集合时，要认准集合元素“代表”，注意区分集合元素代表呈现形式：数集，点集及其他类型 1）数集形式； （2）点集形式； （3）函数形式 （4）数列形式等等 例1．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 变式1-1．设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） ①        ② ③        ④ A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案. 【详解】对于①，对任意，都存在， 使得，故0是集合的聚点； 对于②，取，此时对于任意， 都有，即不可能成立，故0不是集合的聚点； 对于③，对任意，都存在，即， 使得，故0是集合的聚点； 对于④，，即随n的增大而增大， 故的最小值为，故当时，不存在x，使得， 故0不是集合的聚点； 故选：B 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义. 变式1-2．（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 变式1-3．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中的元素恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是根据集合中整数元素的个数，确定集合对应区间长度的取值范围，列出不等式求解，同时一定要注意确定集合中的整数元素，进而对集合的左端点和右端点值进行限制求解. 类型二、集合元素一般“代表”之点集 集合元素代表是集合的核心，在用描述法表示集合时，要认准集合元素“代表”，注意区分集合元素代表呈现形式：数集，点集及其他类型 1）数集形式； （2）点集形式； （3）函数形式 （4）数列形式等等 例2、已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由两集合元素特点，逐个判断即可； 【详解】由， 当，，当，，当，，当，，当，， 所以，所以中有3个元素， 故选：B. 变式2-1．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，可得，所以x可能取值为 当时：代入得，又， 所以，此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，.，， 此时得到元素； 当时：代入得，，， 此时得到元素； 当时：代入得，所以， 此时得到元素； 满足条件的元素分别为： ，，，，共11个， 故选：C 变式2-2．已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解. 【详解】因为集合， 所以 ， 由得， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以满足条件的集合或 或 或 ， 所以集合中元素个数的最大值为. 故选：. 变式2-3．已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. （3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设，. 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在，使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得. 从而有. 这就得到. 再设，. 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 类型三、集合元素一般“代表”之其他类型 集合元素代表是集合的核心，在用描述法表示集合时，要认准集合元素“代表”，注意区分集合元素代表呈现形式：数集，点集及其他类型 1）数集形式； （2）点集形式； （3）函数形式 （4）数列形式等等 例3．给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定． (1)当时，写出一组和； (2)是否存在集合与正整数，使？说明理由； (3)当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析（写出其中一组即可） (2)不存在，理由见解析 (3)存在，答案见解析 【分析】（1）由题意生成集合的过程可得； （2）用反证法证明.先将分解因式，分析集合中的元素情况，分类讨论可得； （3）尝试任取两个元素，逐步找到满足题意的一组集合即可. 【详解】（1）由题意可知，若，则； （若，则； 若，则；写出一组即可）. （2）不存在集合，使． 下面用反证法证明. 证明：假设存在集合，使． 因为， 故集合中必有1或同时有． ①若时，不妨设，则． 因为与必为一个奇数一个偶数，而， 则，且， 这与中元素均为奇数矛盾． ②若且，则，这与矛盾． 综上所述，假设错误，故不存在集合，使． （3）当时， 存在，使．原因如下： 当时，令，，则； 令，，则； 令，，则； 令，，则. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是弄清题意，理解顺序生成集合列的方法；二是应用反证法，因式分解从“积”入手分析集合中的可能元素，分类讨论寻找矛盾即可. 变式3-1．设集合，对和，定义：．已知集合是的子集，对任意，满足：当，时，为偶数，否则为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 【答案】 【分析】先列举出两个元素和的取值，再结合条件，进行分类讨论，即可求解. 【详解】集合中任取两个元素和对应坐标计算结果如下表： 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 因为当，时，为偶数，所以集合中任一元素含有1的个数为0，2或4， 分别如下：①；②，，，，，；③， 根据题意，可知集合中至多含以上8个元素．当和不同时，因为为奇数， 所以和的四个对应位置都为1的恰有1个或3个， 若含有第①类或第③类元素，则中至多1个元素， 若中含第②类元素，不妨设，则第①和③类的两个元素不在中， 对于第②类元素中，不在中，其余都可以是的元素， 同理可得，不同时在N内，，不同时在N内， 所以集合中元素个数的最大值为3， 故答案为：. 变式3-2．设为正整数，集合. 对于集合中的任意元素和，记. (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，若，，求的最大值； (3)给定不小于2的，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有. 求集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题中定义可求得和的值； （2）设，，对、的取值进行分类讨论，可得出的值为0或，分析可知和中共有8个，8个0，设中有个，中有个，于是得出，然后对、的取值进行分类讨论，由此可得出的最大值； （3）记表示中的最小值，由（2）中的结论得出，根据，可得出，于是得出，设，设，，，对、与关系进行讨论，进行逻辑推理，由此可证得结论成立. 【详解】（1）， . （2）设，，其中. 当时，. 当或时，. 当时，. 所以的值为0或.   因为，， 所以和中共有8个，8个0. 设中有个，中有个， 其中为不大于8的非负整数，且. 当或时，. 当或时，. 当或时，. 当或时，. 当时，（当时等号成立）    所以的最大值为. （3）记表示中的最小值， 由（2）知的值为0或，则 . 因为，所以. 又因为，所以，       所以. 设， ， ， ， ， 则，且两两交集为. 设，，. 当时，则 ， 所以，不符合题意. 同理，当时，，不符合题意.       当时，，不符合题意.              当时，，不符合题意. 所以中的任意两个元素不可能同时在集合中， 所以集合中元素个数不超过.       取，且， 令，则集合元素个数为，符合题意. 综上，集合中元素个数的最大值为. 变式3-3．已知集合．，，其中．定义，若，则称与正交． (1)若，写出中与正交的所有元素； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若，且中任意两个元素均正交，当时，中最多可以有多少个元素． 【答案】(1)，，，，，． (2)证明见解析 (3)2个 【分析】（1）利用子集定义直接写出答案；（2）根据题意分别表示出；（3）根据两个元素均正交的定义，分别求出，14时，中最多可以有多少个元素． 【详解】（1）中所有与x正交的元素为，，，，，，． （2）证明：对于，存在，，使得． 令，当时，，当时，． 那么．所以为偶数． （3）8个，2个时，不妨设． 再考虑时，共有四种互相正交的情况，即 设这4种情况的排列为，则按的方式进行搭配， 即， ，可形成8种情况． 所以时，A中最多可以有8个元素． 时，不妨设（7个，7个1）， 则与正交． 假设且它们互相正交． 设相应位置数字都相同的共有个，除去这列外， 相应位置数字都相同的共有个， 相应位置数字都相同的共有个， 则， 所以，同理，可得． 由于，可得，矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上，时，中最多可以有2个元素． 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题关键是理解好正交的定义，为对应位置两数乘积之和，由于每个位置均为1或－1，对应位置相同时乘积为1，不相同时乘积为－1，故可以用按对应位置相同的个数表示出，解决问题. 类型四、根据集合相等求参数 研究集合元素相等问题可以从两个角度出发： （1）集合中的元素与集合中的元素相同（顺序可以不同） （2）且 例4．已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中的元素即得； （2）根据条件分析集合中的元素性质即得； （3）根据题意可得出不存在这样的集合，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因，， 则都是中的元素， 故； （2）取，此时，符合； （3）当时，不存在集合A，使得，理由如下： 假设存在，且，则， 故为中7个不同的元素， 则， 由解得：， 此时与矛盾，故假设不成立，即不存在这样的集合. 【点睛】思路点睛：本题主要考查集合新定义的应用问题，属于难题. 解题应从集合新定义的规定入手，吃透其内涵，经常遵循从特殊到一般的思维方式，有时需要从反面角度考虑，运用反证法予以证明. 变式4-1．设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 【答案】a，b，c的值分别为1，，2 【分析】根据，求出、和，求出的值. 【详解】因为，所以， 解得，所以的值分别为. 变式4-2．已知函数，若，则 ，的取值范围为 . 【答案】 【分析】判断集合的元素的特征，根据，先求得，然后对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】由已知是由函数的所有实数零点构成的集合， ，令， 是由所有满足且的所有实数构成的集合. 若，当满足且因为，则有， 即，解得； 当时，，此时，符合题意； 当时，有 ， 于是，若要使得，只需方程无实数根，故有， 解得. 综上，的取值范围为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：先求集合元素的特征：通过函数的定义及条件，先求集合的元素特征，明确条件对元素的限制．利用判别式判断方程是否有实数根：结合不同情况下的判别式，通过判别方程的根的存在性来确定参数的取值范围．在解题过程中，分类讨论和判别式的使用是关键步骤． 变式4-3．设是两两不相等的正整数，已知集合，集合，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】不妨设，由条件可得，，，由此证明为奇数且，证明时，都最小，由此可得结论. 【详解】不妨设，则， 因为，，， 所以，，， 所以， 所以， 所以， ， ， 因为为正整数，， 所以，，都为奇数，， 故为大于等于的奇数， 又当时，函数，，都随的增大而增大， 所以当时，同时取最小值，此时取最小值， 当时，，，，， 所以的最小值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在与通过假设，由此求出的表达式，结合整除知识，证明为大于等于的奇数. 类型五、子集（真子集）个数问题 公式法求有限集合的子集个数 (1)含个元素的集合有个子集． (2)含个元素的集合有个真子集． (3)含个元素的集合有个非空子集． (4)含个元素的集合有个非空真子集． 例5．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 【答案】3或7 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性可得且. 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为. 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为. 故答案为：3或7 变式5-1．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 变式5-2．已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 【答案】 【分析】求出集合中的元素，再根据集合间的包含关系求得满足题意的子集个数即可得出答案. 【详解】易知集合，； 因为可得， 又，所以集合中一定含有，且不能同时全部包含； 满足条件的集合的个数即为求集合的真子集的个数， 所以满足条件的集合个数为个. 故答案为： 变式5-3．对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 【答案】(1)①12; ②-1 (2)①13184; ②-1 【分析】（1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可. （2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可. 【详解】（1）①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． （2）因为， 所以集合． ①集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”的总和为． ②集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 类型六、根据包含关系求参数 集合的包含关系中特别注意不要忽视了 例6．设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)至多只有5个，理由见解析 【分析】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【详解】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 变式6-1．设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 【答案】16 【分析】先根据中的数除以的余数将集合进行分组，然后根据整除的知识求得正确答案. 【详解】根据除以5的余数，可将A集合分为5组： ，则， ，则， ，则， ，则， ，则， A中的任何两个数之和不能被5整除，故和，和中不能同时取数，且中最多取一个， ∴最多的取法是取和中的一个元素，，故n的最大值为16. 故答案为： 【点睛】两数之和能被整除，则两数分别除以的余数之和能被整除.本题的分析方法是先求得中所有数除以的余数，从而进行分组，分组之后根据和能被整除的知识来求得正确答案. 变式6-2．已知，设集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求解，根据二次方程的两根关系讨论与两种情况，当时，化简可得，结合可得无解或解包含两根，再分类讨论求解即可. 【详解】. ①当时，，此时，，满足题意； ②当时，，且，故. 又，讨论，即 即， 即， 即，方程必有两根， 因为，故，则无解或解包含. i）当为的解时，代入可得，此时满足条件； ii）当为的解时，代入可得，此时满足条件； iii）当无解时，，，解得，综上有，且. 综合①②可得. 故答案为： 变式6-3．已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2) (3)，. 【分析】（1）分别求出函数和在区间上的值域，再根据值域的关系判断即可； （2）分类讨论求函数在区间上的值域，再根据值域的关系列不等式，求解即可； （3）由唯一性得，即两个函数的值域相等，分类讨论求值域，列方程组求解即可. 【详解】（1）因为函数是增函数，所以值域， 当时，函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质. （2）①当时，函数， 此时函数在区间上单调递减，所以值域为， 又，函数在上单调递减，所以值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，因为， 所以，解得， 因此，a的取值范围为. （3）由题意得，的值域为，即， 的对称轴，且开口向下， ①当时，在上单调递减，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ②当时，在上单调递增，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又，， （i）当，即时，的值域， 由，得，解得，，符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得，解得，所以符合题意， 综上所述，t的取值为，. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于由唯一性得值域相等，再分类讨论求值域即可. 类型七、根据并集，交集，补集的结果求参数 例7-1．设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．64 【答案】C 【分析】设，由题意结合两集合元素个数和为，可推理出，按的取值分类求解即可. 【详解】若时，， 则，则， 这与题意矛盾，故不满足题意； 故. 设A中元素的个数为， 则B中元素的个数为，且， 由且，得，. ①当时，则，又， 所以，满足题意； ②当时，则，，则，，又， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则；以上情况都满足题意； ③当时，即，则，， 但此时，故产生矛盾，所以不满足题意； ④当时，则由且，得，， 又，与②同理可得不同集合的个数有个， 即不同集合的个数有个； ⑤当时，则由，得，又， 所以，满足题意； 综上，满足条件的所有不同集合A的个数为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于理清题意，明确两个集合及集合中元素个数的相互制约关系，所以有如下推理：若，则；若，，则，且. 例7-2．（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 变式7-1．（多选）已知集合，，若，，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据两集合区间长度相等，只需考虑其中一个端点是否在另一个集合内即可，依次逐项分析即可得解. 【详解】对A，因为集合的区间长度都为2，所以当集合B的左端点在集合A上时，满足题意，此时，即，故A正确； 对B，因为集合的区间长度都为2，所以只需满足，即时，则有且，故B正确； 对C，由于两集合区间长度相同，所以集合的右端点落在集合A上即可满足条件，所以正确，故C正确； 对D，当集合A区间的左端点大于集合B区间的右端点时，，不满足题意，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于发现两个集合的区间长度相同，所以满足题意的集合关系，转化为其中一个集合的端点在另一个集合上即可. 变式7-2．集合，集合，若，则实数的取值范围 【答案】 【分析】根据题意，集合表示中心为，边长为的正方形向左或向右平移个单位得到，集合表示四个半圆围成的图形，数形结合求解. 【详解】定义集合，集合表示中心为，边长为的正方形，如图所示， 集合可看作集合表示的正方形向左或向右平移个单位得到， 集合表示如图的四个半圆围成的图形，若， 则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 变式7-3．已知，，，，.若且，，中各元素的和为256，则 ，集合 . 【答案】 1 或 【分析】先由条件，且五个自然数的大小关系，得出，求出的值，再由，求出的值，进而确定出或，再分两种情况考虑即可. 【详解】由，且， 得到只可能，即或0，当时，，而，则，故舍去， 则，又， ，且， 或， ①若时，，不合题意； ②若时，此时，， 因，从而， 又，则，当时，无整数解， 当时，， 所以 综上，. 故答案为：1；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出，从而得到，继而有或，最后分类讨论即可. 变式7-4．集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若，则的长度的最大值是 . 【答案】 【分析】由，结合题意可求出，即可求出的长度的最大值. 【详解】因为数集，， 所以，解得：， ，所以，所以. 则的长度为:， 所以的长度的最大值是：. 故答案为： 类型八、图的应用 1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 例8．已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， . 【答案】 【分析】令，作出图形，每个元素可在、、中任何一个，共有中，除去为空集、为空集以及、同时为空集的情形，即可得出的表达式，即可得解. 【详解】令，如图，全集被划分成、、三个部分， 中的任意一个元素只能在集合、、之一中，有种方法， 则这个元素在集合、、中，每个元素均有种选择，故共有种选择方法， 其中为空集的种数为，为空集的种数为，、均为空集的种数为种， 则、均为非空子集的种数为， 因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”， 而，满足的与不是同一组“互斥子集”， 于是得集合的所有“互斥子集”的组数为， 其中. 故答案为：；. 变式8-1．学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【答案】 【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 故答案为：. 变式8-2．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 【答案】B 【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断. 【详解】对于甲， ，故命题甲正确； 对于乙，如图所示： 所以，，故命题乙不正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断. 变式8-3．（多选）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则{或} B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】A选项，求出，根据定义得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，可利用韦恩图进行说明. 【详解】A选项，，，故{或}，A正确； B选项，，不妨设， 则，故， 但不满足，B错误； C选项，当且A与B不是包含关系时，如图1， ①为集合且，②为集合且， ③为集合，④为集合， 表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集， 为集合①，故为集合③④的并集， 为集合①②的并集，故为集合③④的并集，故； 当时，如图2，①为集合，表示集合①和集合的并集， 表示集合①和集合的并集，为集合，故为集合①， 为集合的并集，故为集合①，故； 如图3，当时，表示集合①，为集合， 故为集合①和集合的并集， 为集合的并集去掉的交集，即集合②部分， 故为集合①和集合的并集，故； 如图4，当时，②为且，①为， 表示集合①和②的并集，， 表示集合②，故为集合①和集合的并集， 为集合的并集去掉的交集，即集合②部分， 故为集合①和集合的并集，故. 综上，C正确； D选项，画韦恩图，如下： 情况较多，我们就第一个图进行说明， ①为且且， ②为且且， ③为且，④为， ⑤为且，⑥为， ⑦为且，⑧为且且， 表示集合①⑤②⑦的并集，故表示集合①②⑥⑧的并集， 表示集合②③⑤⑧的并集，表示集合①②⑥⑧的并集， 故， 当满足其他关系时，经检验，也满足，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，其直观易懂，可大大减少思维量. 类型九、容斥原理 一般地，对任意两个有限集，, 进一步的： 例9．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 变式9-1．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 变式9-2．（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 【答案】AB 【分析】由题意先分析出3项都参加的人数，再分析只参加某项的人数即可. 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}，{是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 只参加100米比赛的有人， 只参加400米比赛的有人， 只参加1500米比赛的有人. 故选：AB 变式9-3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 【答案】2 【分析】根据容斥原理可分析出3项都参加的人数. 【详解】根据题意，设是参加100米的同学，是参加400米的同学，是参加1500米的同学， ， 则， 且， 则， 所以三项比赛都参加的有2人， 故答案为：2. 类型十、集合中的新定义题 例10．已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不一定是数域，理由见解析 【分析】（1）先证为数环，再证其为元素最少的数环； （2）设，，，再利用数环、数域的定义证明即可； （3）先取，说明是数域；再证为数域，接着取，即可得出是不是数域. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 变式10-1．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 变式10-2．设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）写出即可； （2）根据性质可知，分别说明集合A中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可． 【详解】（1），由， 恰含有两个元素且具有性质的集合满足要求； （2）非空实数集A具有性质，不妨设， 由非空数集A具有性质，有．故中必有1， ①若，易知此时集合A具有性质． ②若实数集A只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质． ③若实数集A含有两个以上的元素，不妨设，， 则，，，，， 依次类推，可得， 若，，，同理可得， 且， 故对于任意的，都有，集合A具有性质； 综上可知集合A具有性质. 变式10-3．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中，），则称集合为集合的一个元基底． (1)分别判断下列集合是否为集合一个二元基底，并说明理由； ①；②． (2)若集合是集合的一个元基底，证明：；（备用公式：） (3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.． （2）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，即可得证． （3）由（2）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的元基底，而当时，的一个基底，由此可得的最小可能值为． 【详解】（1）①不是的一个二元基底. 理由是； ②是的一个二元基底. 理由是， . （2）不妨设，则 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数共有个； 形如的正整数至多有个； 形如 的正整数至多有个. 又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. （3）由（2）可知，所以. 假设为的一个元基底， 不妨设，则. 当时，有，这时或或或， 对于，且且， 所以不是的元基底 同理可得，，都不是的元基底，矛盾. 当时， 若，这时，易知不是的元基底，矛盾， 若，这时，易知不是的元基底，矛盾. 当时， 若，这时，易知不是的元基底，矛盾. 若，这时，易知不是的元基底，矛盾. 当时， 若，这时，易知不是的元基底，矛盾. 若，这时，易知不是的元基底，矛盾. 当或时，易知不是的元基底，矛盾. 当时，的一个基底，，符合题意. 综上，的最小可能值为. 压轴专练 1．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ）. A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】C 【分析】假设中的最大元素为，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设中的最大元素为， 将其余元素分组：，，，…，，共组， 一定不包含. 若中元素多于个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为，与条件矛盾. 所以中元素不能多于个. 所以当时，中元素个数最多，为个. 故选：C 2．设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由奇数一奇数＝偶数，要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可． 【详解】因为A是S的一个子集，记， 而奇数一奇数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，奇数与偶数的差为奇数， 若对任意总有， 要使A中元素的个数最多，则集合A中应可以取所有的奇数即可， 即，得集合A中元素个数的最大值为：5． 故选：A 3． “群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 【答案】D 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 4．对于集合，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.以下命题中， ①不是“可分集合”； ②三元集可能是“可分集合”； ③是“可分集合”； ④四元集可能是“可分集合”； ⑤五元集一定不是“可分集合”. 真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合“可分集合”的定义，结合，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，集合，当去掉元素时，剩余元素组成的集合为， 此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“可分集合”，所以①正确； 对于②，对于三元集，若去掉元素，剩余的元素组成的集合为， 把集合分成两个非空集合，可得集合，， 根据集合元素的互异性，可得，所以分成两个的集合的元素之和不相等， 所以三元集可能是“可分集合”，所以②不正确； 对于③中，集合，若去掉元素，剩余元素组成集合， 此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“可分集合”，所以③不正确； 对于④中，若四元集是“可分集合”，不妨设， 若去掉，则；若去掉，则， 所以，显然与矛盾，所以集合不可能是“可分集合”； 对于⑤中，假设五元集是“可分集合”，不妨设， 则必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等， 所以或， 也必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等， 所以有或， 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾， 所以假设不成立，所以五元集一定不是“可分集合”，所以⑤正确. 综上可得，只有①⑤正确. 故选：B. 5．任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 6．设，若关于的不等式的解集是区间的子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解. 【详解】不等式可化为，其解集是区间的子集， 所以，且，所以. . 故选：B. 7．含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将集合的子集两两配对：使且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解. 【详解】由题知， 将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个， 又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4， 所以交替和的总和为. 故选：A. 8．设，，，则满足的集合A的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合A至少包括所有元素，还要从根据任意取1个，2个或个元素，则根据组合个数可求解. 【详解】集合A至少包括所有元素， 因为集合是集合的真子集 所以还需从任意取，个，个，个或个元素， 则集合A的个数为， 故选：D. 9．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数定义域非空集，则，解得.记，因为，所以的解集为，依题意有或，所以或.又，，所以. 10．已知集合，集合，其中，则使的的取值范围是 【答案】 【分析】由，得考虑，，，三种情况，计算得到答案. 【详解】由，得． 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，． ，即，，所以． 当时，则，得； 当时，则，得； 当时，则，无解． 综上所述，的取值范围是． 11．若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为 【答案】1012 【分析】由为“延安集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解. 【详解】由，则，代入，即， 整理得，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得， 则， 所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“延安集”的个数. 故答案为：1012. 12．在上定义运算：，若关于的不等式的解集是的子集，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据定义，分类讨论求解的范围. 【详解】由， 设A为关于的不等式的解集，当A为空集时，则即； 当，即时，，则，即； 当，即时，，则，即； 综上所述，． 故答案为： 13．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．若，函数总存在不动点，则实数的取值范围是 ；若，且，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】利用“不动点”的定义，转化为对，方程有实数解求解即得；求出方程有实根的范围，再求出，并分析其根的情况进而求出的范围即可. 【详解】由，函数总存在不动点，得有解， 则方程，即有实数解， 因此，即恒成立， 而恒成立，当且仅当时取等号，因此，解得， 所以实数的取值范围为； 集合中的元素是方程，即的实根， 由，得或，解得， 集合中元素是方程，即的实根， 由知，方程左边含有一个因式， 即方程化为：， 若，则方程要么没有实根，要么实根是方程的根， 若没有实根，当时，方程为，不成立，此时没有实数根； 当时，，解得，此时且； 若有实根且其实根是的实根， 由，得，联立消去，解得， 因此，解得，则， 所以的取值范围为. 故答案为：； 14．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 15．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①； ②； ③整数、满足且的充要条件是； ④． 则其中正确的为 . 【答案】①④/④① 【分析】根据集合相等的定义判断①，举反例判断②③，根据集合的交集的定义判断④． 【详解】解：对于①，若，则，， 若，则，故， 若，则，故， 是的子集， 若，则或， 若，则，若，则， ，故是的子集， ，故①正确； 对于②，，而且，，故②错误； 对于③，，，而，， 整数、满足且不是的必要条件，故③错误； 对于④，若，则， ，且，，1故④正确． 故答案为：①④ 16．已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 17．我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示： （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得： （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是 18．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：. (1)已知，正数满足，求的最小值； (2)设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设可得，应用基本不等式“1”的代换求的最小值； （2）解绝对值不等式、含参一元二次不等式求集合，注意讨论参数及集合的并集结果列不等式组求的范围. 【详解】（1）由题意，正数满足，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. （2），则，，即， 令 法一：当时，；当时，， 由，则，解得，即的范围是． 方法二：当时，，此时成立； 当时，，此时， 又，则，解得； 当时，，此时， 又，则，解得， 综上，，即； 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合10类题型归类 目录 典例详解 类型一、集合元素一般“代表”之数集 类型二、集合元素一般“代表”之点集 类型三、集合元素一般“代表”之其他类型 类型四、根据集合相等求参数 类型五、子集（真子集）个数问题 类型六、根据包含关系求参数 类型七、根据并集，交集，补集的结果求参数 类型八、图的应用 类型九、容斥原理 类型十、集合中的新定义题 压轴专练 类型一、集合元素一般“代表”之数集 集合元素代表是集合的核心，在用描述法表示集合时，要认准集合元素“代表”，注意区分集合元素代表呈现形式：数集，点集及其他类型 1）数集形式； （2）点集形式； （3）函数形式 （4）数列形式等等 例1．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 变式1-1．设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） ①        ② ③        ④ A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 变式1-2．（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是 . 类型二、集合元素一般“代表”之点集 集合元素代表是集合的核心，在用描述法表示集合时，要认准集合元素“代表”，注意区分集合元素代表呈现形式：数集，点集及其他类型 （1）数集形式； （2）点集形式； （3）函数形式 （4）数列形式等等 例2、已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2-1．已知集合，则A中元素的个数为（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 变式2-2．已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） 变式2-3．已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 类型三、集合元素一般“代表”之其他类型 集合元素代表是集合的核心，在用描述法表示集合时，要认准集合元素“代表”，注意区分集合元素代表呈现形式：数集，点集及其他类型 1）数集形式； （2）点集形式； （3）函数形式 （4）数列形式等等 例3．给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定． (1)当时，写出一组和； (2)是否存在集合与正整数，使？说明理由； (3)当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由． 变式3-1．设集合，对和，定义：．已知集合是的子集，对任意，满足：当，时，为偶数，否则为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 【 变式3-2．设为正整数，集合. 对于集合中的任意元素和，记. (1)当时，若，，求和的值； (2)当时，若，，求的最大值； (3)给定不小于2的，设是集合的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素和，都有. 求集合中元素个数的最大值． 变式3-3．已知集合．，，其中．定义，若，则称与正交． (1)若，写出中与正交的所有元素； (2)令，若，证明：为偶数； (3)若，且中任意两个元素均正交，当时，中最多可以有多少个元素． 类型四、根据集合相等求参数 研究集合元素相等问题可以从两个角度出发： （1）集合中的元素与集合中的元素相同（顺序可以不同） （2）且 例4．已知集合A包含有个元素，． (1)若，写出； (2)写出一个，使得； (3)当时，是否存在集合A，使得？若存在，求出此时的集合A，若不存在，请说明理由． 变式4-1．设集合中的三个元素分别为，集合中的三个元素分别为.已知，求的值. 变式4-2．已知函数，若，则 ，的取值范围为 . 变式4-3．设是两两不相等的正整数，已知集合，集合，若，则的最小值是 ． 类型五、子集（真子集）个数问题 公式法求有限集合的子集个数 (1)含个元素的集合有个子集． (2)含个元素的集合有个真子集． (3)含个元素的集合有个非空子集． (4)含个元素的集合有个非空真子集． 例5．定义集合的运算：已知集合，则.若集合，，则集合的真子集个数的一个可能取值是 . 变式5-1．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 变式5-2．已知集合，则满足条件的集合个数为 个． 变式5-3．对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 类型六、根据包含关系求参数 集合的包含关系中特别注意不要忽视了 例6．设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 变式6-1．设集合，（，）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为 . 变式6-2．已知，设集合，集合，若，则实数的取值范围是 ． 变式6-3．已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 类型七、根据并集，交集，补集的结果求参数 例7-1．设有限集M所含元素的个数用表示，并规定.已知集合A，B满足，，若，，则满足条件的所有不同集合A的个数为（    ） A．3 B．6 C．10 D．64 例7-2．（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 变式7-1．（多选）已知集合，，若，，则下列关系可能正确的是（   ） A． B． C． D． 变式7-2．集合，集合，若，则实数的取值范围 变式7-3．已知，，，，.若且，，中各元素的和为256，则 ，集合 . 变式7-4．集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若，则的长度的最大值是 . 类型八、图的应用 1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 例8．已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， . 变式8-1．学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 变式8-2．定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（    ） A．甲乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲乙都不是真命题 变式8-3．（多选）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则{或} B．若，且，则 C．若，，则 D．若，，，则 类型九、容斥原理 一般地，对任意两个有限集，, 进一步的： 例9．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 变式9-1．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 变式9-2．（多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（   ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有3人 变式9-3．某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有 人. 类型十、集合中的新定义题 例10．已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 变式10-1．置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式10-2．设A是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合A具有性质；若对于任意的，都有，则称集合A具有性质. (1)写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合A； (2)若非空实数集A具有性质，求证：集合A具有性质. 变式10-3．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中，），则称集合为集合的一个元基底． (1)分别判断下列集合是否为集合一个二元基底，并说明理由； ①；②． (2)若集合是集合的一个元基底，证明：；（备用公式：） (3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 压轴专练 1．已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ）. A．506 B．507 C．1012 D．1013 2．设集合，A是S的一个子集．若对任意，总有，则A中元素个数的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3． “群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 4．对于集合，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.以下命题中， ①不是“可分集合”； ②三元集可能是“可分集合”； ③是“可分集合”； ④四元集可能是“可分集合”； ⑤五元集一定不是“可分集合”. 真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 6．设，若关于的不等式的解集是区间的子集，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则满足的集合A的个数为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 . 10．已知集合，集合，其中，则使的的取值范围是 11．若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为 12．在上定义运算：，若关于的不等式的解集是的子集，则实数的取值范围是 ． 13．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．若函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．若，函数总存在不动点，则实数的取值范围是 ；若，且，则实数的取值范围是 14．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 15．在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①； ②； ③整数、满足且的充要条件是； ④． 则其中正确的为 . 16．已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 17．我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 18．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：，用表示不超过的最大整数，例如：. (1)已知，正数满足，求的最小值； (2)设方程的解集为A，集合，若，求的取值范围. 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$