7.1相似多边形（1）课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

7.1 相似多边形（1） 线段的比与成比例线段 戴泽初中 · 范和景 情景创设 钓鱼岛——我国的美丽宝岛 展示我国钓鱼岛海域地图： 1．钓鱼岛到大陆的图上距离是多少？ 2．钓鱼岛到中国台湾的图上距离又是多少？ 3．图上距离与实际距离之间有什么关系？ 要研究图上距离与实际距离的关系，先要学习——线段的比. 方法引领 活动1 两条线段的比 两条线段长度的比，叫做这两条线段的比． 若线段 a : b ＝ k，说明 a 是 b 的 k 倍． 线段的长度是正数，因此 k ＞ 0. 注意：两条线段的比与所采用的长度单位无关，但度量时必须采用同一长度单位. 方法引领 应用：海监50号拦截行动 某日海监“50”号在巡航期间，发现一艘日本渔船企图靠近我国钓鱼岛，立刻进行拦截． 舰上雷达在比例尺为 1 : 800 000 的地图上，测得与日本渔船距离为 3.4 cm，求两船之间的实际距离． 解：设两船之间的实际距离为 x cm． 由题意得3.4 : x ＝ 1 : 800 000， x ＝ 3.4 × 800 000 ＝ 2 720 000（cm） 答：两船之间的实际距离为 27.2 km. 自主构建 活动2 两组线段的比 在下面两幅江苏省行政区划简图中，分别连接南京和徐州、南京和泰州、徐州和泰州． 对应线段 a1与b1、a2与b2、a3与b3 的比相等吗？ 一般地，如果两组线段 a1，a2，a3，… 与 b1，b2，b3，… 满足 a1:b1＝a2:b2＝a3:b3，那么称这两组线段成比例． 互动体验 练习1 矩形的长与宽 1．下图中，哪两个矩形的长和宽是成比例线段？ 解：矩形（1）与（3）的长和宽是成比例线段． 因为 9 : 6 ＝ 6 : 4 ＝ 3 : 2，所以矩形（1）的长、宽与矩形（3）的长、宽成比例． 互动体验 练习2 格点上的四条线段 2．图中线段 A1B1、A2B2、B1C1、B2C2 的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 是．A1B1＝，A2B2＝2，B1C1＝2，B2C2 ＝4， A1B1: A2B2 ＝B1C1 :B2C2＝ 1 : 2，故它们是成比例线段． 自主构建 活动3 比例的性质 1．比例的基本性质 若 a : b＝c : d，则 ad＝bc；反之，若ad＝bc（b≠0，d≠0），则 a : b ＝c : d． 2．比例中项 在a : b＝c : d 中，如果 b ＝ c，即 a : b ＝ b : d，那么 b²＝ad， 这时我们把 b 叫做 a、d 的比例中项． 方法引领 例1．如图，∠AOB 边上的点 Ai、Bi（i＝1,2,3）都在格点上，连接 A1B1、A2B2、A3B3．请在图中找出两组与A1B1、A2B2、A3B3成比例的线段． 解：OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3；A1B1＝，A2B2＝2，A3B3＝3． OA1 : OA2 ＝ A1B1 : A2B2 ＝ 1 : 2；OA2 : OA3 ＝ A2B2: A3B3 ＝ 2 : 3． 方法引领 例2．已知 ＝ ，且 x＋y ＝ 24，求 x、y 的值． 注：设比值为 k，是解决比例问题的常用方法． 解：设 ＝ ＝ k，则 x ＝ 3k，y ＝ 5k． 由x＋y＝24，得 3k＋5k＝24，即 8k ＝ 24，k＝3． ∴ x ＝ 9，y ＝ 15. 方法引领 例3．如图， ，AD=15，AB=40，AC=28，求AE的长. 例 4．如图，已知 △ABC 中，AD是角平分线. （1）求证： ；（2）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求 CD 和 BD 的长． 拓展提升 拓展提升 例5．已知 a、b、c 均为正实数，且 a²＋b²＝c²， 求证： . 证明：∵ a² ＋b² ＝c²， ∴ (a＋b)²−c²＝a²＋2ab＋b²−c²＝2ab， 即 (a＋b＋c)(a＋b−c) ＝ 2ab（比例的基本性质的形式）. 两边同除以 2(a＋b＋c)，得 . ∴ 结论成立. 互动体验 课堂练习 1．已知三个数 1、2、2，请你添加一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可能是 ．（写出所有可能的数） 1 或 4 2．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF 为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，则原来矩形的长边与短边的比是（　　） A．3:2　　 B．2:1　　 C．:1　　D．1:2 C 3.任意两个等腰三角形的边能组成成比例的线段吗?任意两个菱形呢? 互动体验 智慧建构 通过这节课的学习，你有什么收获？ 1. 线段的比：两条线段长度的比，a : b ＝ k（k ＞ 0） 3. 两组线段成比例：两组线段 a1，a2，a3，… 与 b1，b2，b3，… 满足 a1:b1＝a2:b2＝a3:b3 4. 比例的性质：基本性质、等比性质；比例中项 b² ＝ ad 2. 比例尺：图上距离 : 实际距离 ＝ 比例尺 观察 → 度量 → 比较 → 判断 数形结合 　　　　　从特殊到一般 $