精品解析：广东揭阳市普宁市第二中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

2025—2026学年度第一学期高一第1次月考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合U=,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 2. 设集合，则满足且的集合的个数是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以集合中的元素都是集合中的元素，又因为， 所以集合中的元素只能是1，2，3，4， 所以集合的个数是. 3. 已知，且，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过特殊值法排除错误选项A、B、C，再利用作差法结合 的性质证明D选项成立. 【详解】由已知可得， 对于A，取，，满足，但，故A错误； 对于B，取，，满足，但，故B错误； 对于C，取，，满足，但，故C错误； 对于D，令，作差得，因，故，即，故D正确. 4. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】,所以充分性不成立；，必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 【考点】充要条件的判断 【名师点睛】充要条件的三种判断方法： 1.定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假，并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件． 2.等价法：利用与，与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3.集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件． 5. 《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实"相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可. 【详解】解：上下禾每束为升，上禾束有，减损18，即，下禾束之“实"相当，即，同理有，所以方程组为. 故选：B. 6. 已知，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 当且仅当时等号成立，则， 则取得最大值时，，故同号，因此，则. 7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则其最大面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，过点作于点，交于点， 易知， 又，则，， 所以内接矩形花园（阴影部分）的面积为， 当且仅当时，取得最大面积． 8. 已知关于的不等式的解集为，则实数（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，， 则不等式，即，解得， 则，两式相减，即可解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. ab的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案; 【详解】解：因为，， 所以，，， 所以，的取值范围为，的取值范围为， 故A选项正确，B选项错误； 因为，， 所以，，，， 所以，ab的取值范围为，的取值范围为 故C选项正确，D选项错误. 故选：AC 10. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得命题“”为真命题时的取值范围，然后根据充分不必要条件的知识确定正确答案. 【详解】因为为真命题， 所以或， 所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对， 所以是命题“”为真命题充要条件，B错， 所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对， 所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错， 故选：AC 11. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，．给出如下四个结论，其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. “整数，属于同一“类”的充要条件是“” 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据新定义“类”的含义：被除余数为的整数构成集合，结合余数性质、集合运算规则及充要条件的判断逻辑逐一分析选项即可. 【详解】选项A：计算得，余数为，符合的定义，故，故A正确； 选项B：将改写为（）的形式，可得，即，故的结论错误，故B错误； 选项C：任意整数被除，余数只能是、、、四种情况，因此所有整数都属于四个类中的一个，即，故C正确； 选项D：充分性：若属于同一类，设（），则； 必要性：若，则（），即，说明除以的余数相同，属于同一类，所以充要条件成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“∃x∈RQ，x3∈Q”的否定是________________． 【答案】∀x∈RQ，x3∉Q 【解析】 【详解】因为“∃x∈M， p(x)”的否定是“∀x∈M，p(x)” 故“x∈，”的否定是“. 故答案为： 13. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的性质求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 则原不等式的解集为． 故答案为：. 14. 设， 若关于的方程组无解，则的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【详解】方程组无解等价于直线与直线平行， 所以且．又为正数， 所以，即取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集为实数集. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（2）应用集合的交、并、补运算求集合即可. 【小问1详解】 由， 所以. 【小问2详解】 由题设，或或， 所以. 16. 已知函数，， （1）求使得该函数有意义的的取值范围； （2）求该函数的最大值； （3）设该函数的最大值为，当时，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先明确函数有意义的条件，再求解不等式； （2）先对被开方数配方，再求被开方数的最大值，最后求函数的最大值； （3）先确定的值，再变形代数式适配基本不等式，最后应用基本不等式求最值． 【小问1详解】 解：要使函数有意义， 需满足， 整理得， 解得， 故的取值范围为． 【小问2详解】 解：对被开方数配方得：， ， ， 当且仅当时等号成立， 因此， 故函数的最大值为． 【小问3详解】 解：由（2）得， 则所求代数式为． 因为， 所以， 则， ， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时等号成立． 因此， 即的最大值为． 17. 已知， （1）比较与的大小，说明理由． （2）若，且，求证：． 【答案】（1）. 理由： ，. ，即. （2）证明： 证： ， ，，得， ，即； 证 ： ， ，得；又，得， ，即. 综上所述，. 【解析】 【分析】本题采用作差法，通过配方、因式分解判断差值正负，完成代数式大小比较与不等式证明. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 18. 已知，关于的不等式的解集为， （1）若集合，求的值，并解关于的不等式． （2）若集合，满足，求实数的取值范围． 【答案】（1），解集或 （2）实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与方程根的关系，韦达定理求参数再解分式不等式； （2）分、讨论一元二次不等式解集，利用求根公式写出方程两根，根据交集非空的条件列不等式求解参数. 【小问1详解】 不等式解集， 说明，且是方程两根. 韦达定理： ，解得. 代入分式不等式：，即， 等价于，解得或. 不等式解集为或 【小问2详解】 ，令， 由求根公式，两根： ，由此可知. 当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得； 时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得； 综上，实数的取值范围为. 19. 受芯片制约，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名（），调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ （2）若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围． 【答案】（1）50 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出调整后研发人员人均投入，依据调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，即可列出不等式，即可求解. （2）对于条件①，依据题干信息列出不等式，对分离参数后，利用基本不等式求的最小值，即可求的范围；对于条件②，依据题干信息列出不等式，对分离参数后，利用一次函数单调性，即可求的最大值，即可求的范围，将上面两个的范围求交集即可. 【小问1详解】 维护人员名，则研发人员名，调整后研发人员人均投入为， 所以，即， 即，解得，则， 所以调整后研发人员人数最少为50名. 【小问2详解】 对于条件①，因为调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入， 所以，对任意恒成立， 即，即， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 对于条件②，因为维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入， 所以，对任意恒成立， 即，即， 当时，取最大值为15，所以， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高一第1次月考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合U=,则 A. B. C. D. 2. 设集合，则满足且的集合的个数是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 3. 已知，且，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实"相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），则其最大面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式的解集为，则实数（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. ab的取值范围为 D. 的取值范围为 10. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，，，．给出如下四个结论，其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. “整数，属于同一“类”的充要条件是“” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“∃x∈RQ，x3∈Q”的否定是________________． 13. 不等式的解集为__________． 14. 设， 若关于的方程组无解，则的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，全集为实数集. （1）求； （2）求. 16. 已知函数，， （1）求使得该函数有意义的的取值范围； （2）求该函数的最大值； （3）设该函数的最大值为，当时，求的最大值． 17. 已知， （1）比较与的大小，说明理由． （2）若，且，求证：． 18. 已知，关于的不等式的解集为， （1）若集合，求的值，并解关于的不等式． （2）若集合，满足，求实数的取值范围． 19. 受芯片制约，中国自主创新的爆发力被激发．某企业原有500名技术人员，年人均投入万元（），现为加大对研发工作的投入，该企业做出适当调整，把原有技术人员分成维护人员和研发人员，其中维护人员名（），调整后研发人员的年人均投入增加，维护人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前500名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少？ （2）若对任意，均有以下两条成立：①调整后研发人员的年总投入不低于维护人员的年总投入；②调整后维护人员的年人均投入不少于调整前500名技术人员年人均投入．求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $