精品解析：北京市一六一中学分校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

北京一六一中学分校初三数学第一阶段练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标为（3，1）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”，进而得出平移后的解析式． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位．再向上平移3个单位， ∴平移后的抛物线解析式为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，即可作出判断． 【详解】解：一元二次方程， ∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程（），当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立． 5. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直接列出方程即可． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，第一次降价后的价格为；第二次降价后的价格为， 即， 故选：A． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键． 6. 已知一次函数（）和二次函数（）部分自变量和对应的函数值如表： x … 0 2 4 5 … … 0 1 3 5 6 … … 0 0 5 9 … 当时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】确定两函数图象的交点横坐标，结合二次函数开口方向求解取值范围. 【详解】解：∵当时，；当时，. ∴一次函数与二次函数的图象交点横坐标为和. 由表格中的对应值可知，二次函数开口向上， ∴当或时，. 7. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意知，函数经过点，，， 则， 解得：， ， 最佳加工时间为3.75分钟， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（ ） A. a＜0 B. －3＜a＜0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象得出a<0,b<0,由抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B (0,3),得出a+b=-3,得出-3<a<0即可. 【详解】根据图象得:a<0,b<0,  ∵抛物线与x轴交于A(1,0),与y轴交于点B (0,3),  ,  ∴a+b=-3,  ∵b<0,  ∴-3<a<0,  故选B. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是正确获取图象的信息. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线与y轴的交点坐标是_________ 【答案】 【解析】 【分析】y轴上所有点的横坐标为，将代入抛物线解析式即可求得交点纵坐标，得到交点坐标. 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标为， ∴令，代入， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标为. 10. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程的根求参数，解题的关键是掌握一元二次方程的根的意义． 将方程的根代入方程求参数，然后进行验证即可． 【详解】解：将代入得， ， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 故答案为：． 11. 某抛物线满足：①开口向下；②图象经过点．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式___________． 【答案】 【解析】 【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由图象经过点可知当时，，可求得答案． 【详解】解∶设 ∵二次函数开口向下， ∴， ∴取，则， ∵图象经过点， ∴， ∴当，时，成立， ∴抛物线解析式为， 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 12. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 某抛物线的顶点为，与x轴相交于P、Q两点，若此抛物线经过点 、 、 、四点，则a、b、c、d中最大值是___________． 【答案】d 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴和开口方向进行判断即可． 【详解】解∶∵抛物线的顶点为，与x轴相交于P、Q两点， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴当时， y随x的增大而减小， ∴a、b、c、d中最大值是d， 故答案为∶d． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，根据对称轴和开口方向确定二次函数的性质是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 ___． 【答案】0≤x≤3 【解析】 【分析】根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1）， ∴当 y1≤y2时，x的取值范围是0≤x≤3． 故答案为：0≤x≤3． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．若，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及三角形内角和定理．根据旋转得到，从而得到，根据得到，结合及三角形内角和定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为A（－1，0），对称轴为直线x =1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列四个结论中，①当x＞3时，y＜0；② 3a+b＜0；③－1≤a ≤；④4ac－b2＞ 8a；所有正确结论的序号是_______________ . 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标，据此可判断①； 根据抛物线的对称轴为直线x=1可得a与b的关系式，再结合a为负数即而可判断②； 设抛物线的解析式为，根据抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间可得关于a的不等式，解不等式即可判断③； 根据抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可得c的取值范围，再假设④正确，则可推出c的相应范围，由此可判断④. 【详解】解：由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），所以当x＞3时，y＜0，故①正确； 因为抛物线开口向下，所以a＜0，∵=1，∴2a+b=0，∴，故②正确； 设抛物线的解析式为，则，令x=0，得：， ∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴，解得：，故③正确； ∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3， 若，则，∵a＜0，∴，∴，∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 故答案为①②③. 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数与其系数的关系，属于中考常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 三、解答题（共12小题，第17、18题各5分，第19至24题各6分，第25、26题各7分，第28题8分3，共68分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】采用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： ， 18. 如图，P是正三角形内的一点，且．若将绕点B逆时针旋转后得到．求 （1）点P与点Q之间的距离； （2）的度数． 【答案】（1）点P与点Q之间的距离为4； （2）． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，据此求解即可； （2）由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵将绕点B逆时针旋转后，得到． ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴点P与点Q之间的距离为4； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 19. 已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）求函数与x轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象 x … … y … … （4）当y＞0时，则x的取值范围为_____． （5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为_____． 【答案】（1）y＝（x+1）2﹣4． (2) （﹣3，0）和（1，0） (3) (4) x＜﹣3或x＞1． (5) ﹣4≤y＜0． 【解析】 【分析】(1)直接化简函数解析式即可得到所求（2）令y=0就出x的值即可得到结果（3）先作表格，找出对应点的坐标，再根据坐标画出描点连线画出函数图像（4）根据已知条件，结合函数图像即可解答（5）在给定的范围内取值，带入函数中求解即可得到答案. 【详解】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4． （2）当y＝0时，有x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）． （3）当x＝﹣3时，y＝0；当x＝﹣2时，y＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0． 用五点法画函数图象． （4）结合函数图象可知：当x＜﹣3 或 x＞1时，y＞0． 故答案为x＜﹣3或x＞1． （5）当x＝﹣1时，y取最小值﹣4； 当x＝﹣3时，y＝0； 当x＝0时，y＝﹣3． ∴当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0． 【点睛】此题重点考查学生对二次函数的实际应用能力，熟练函数解析式的图象和性质是解题的关键. 20. 如图，在正方形中，射线与边交于点E，将射线绕点A顺时针旋转，与的延长线交于点F，，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为36，，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， ∴， ， 在和中， ∴（SAS）， ∴，． ， 是等腰直线三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形易得，，再根据可证得，即可导得，进而证得是等腰直角三角形； （2）由（1）得，进而得到正方形的面积为36，计算出，再利用勾股定理计算出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 四边形的面积为36， 正方形的面积为36， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等的性质和判定，还涉及到勾股定理等知识，解决本题的关键是能熟练运用相关的几何定理． 21. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分. 一名运动员起跳后，他的飞行路线如右图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）. 【答案】这名运动员起跳时的竖直高度为40m. 【解析】 【分析】根据顶点式利用待定系数法求出二次函数的解析式即可解决问题. 【详解】解：由题意可知抛物线的顶点为C（15, 45）， ∴设抛物线的解析式为（a≠0）， ∵y=0时，x=60，∴，∴， ∴， ∴x=0时，，即OB=40. 答：这名运动员起跳时的竖直高度为40m. 【点睛】本题是二次函数的实际应用题，主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，弄清题意，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题的关键. 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 23. 阅读下列材料：有这样一个问题：关于的一元二次方程有两个不相等的且非零的实数根探究，，满足的条件. 小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程对应的二次函数为； ②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中，，满足的条件，列表如下： 方程根的几何意义： 方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 ，，满足的条件 方程有两个不相等的负实根 ____________ 方程有两个不相等的正实根 ____________ ____________ （1）参考小明的做法，把上述表格补充完整； （2）若一元二次方程有一个负实根，一个正实根，且负实根大于-1，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）由二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数与系数的关系容易得出答案； （2）根据题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：（1）表格如下： 故答案为方程有一个负实根，一个正实根；；. （2）设一元二次方程对应的二次函数为：， ∵一元二次方程有一个负实根，一个正实根，且负实根大于-1， ∴，解得：． ∴的取值范围是． 【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数图象与系数的关系，解题关键在于利用图象解答二次函数即可. 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； （3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式． 【答案】（1）A（0，-2），B（1，0）；（2）y=-2x+2；（3）y=2x2-4x-2 【解析】 【详解】试题分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标； （2）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式． 试题解析：（1）当x=0时，y=-2， ∴A（0，-2）， 抛物线的对称轴为直线x=-=1， ∴B（1，0）； （2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2）， 则直线l经过A′、B， 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0）， 则， 解得， 所以，直线l的解析式为y=-2x+2； （3）∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称， 结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方， ∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1， 当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4， 所以，抛物线过点（-1，4）， 当x=-1时，m+2m-2=4， 解得m=2， ∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2． 考点：1.二次函数的性质；2.一次函数图象与几何变换；3.二次函数图象上点的坐标特征． 25. 已知：在中，斜边，在射线上取一点，使.射线上取一点，使，直线、交于点，点关于直线的对称点为． （1）如图，当时，请你直接写出的度数______； （2）如图，当时，请你直接写出的长度______； （3）在图中，探索与的数量关系，并对你的结论进行证明． 【答案】（1）45° （2）10 （3），见解析 【解析】 【分析】(1)根据等腰三角形的两个底角相等，结合，得到，根据三角形内角和定理计算即可． (2)根据，得到，根据，得到是等边三角形，得到，根据对称，得到得到，结合，得到是等边三角形，从而得到． (3)设，得证，取的中点E，连接，则满足等腰三角形的三线合一性质，过点D作，交于点M，得证是等腰直角三角形，连接，可证，得证，得证，从而证明，得到，得证，根据，代换得证． 【小问1详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 如图，因为， 所以， 因为， 所以是等边三角形， 所以， 所以， 根据对称， 所以， 所以， 因为， 所以是等边三角形， 所以． 【小问3详解】 与的数量关系是：，理由如下： 设， 则； 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 取的中点N，连接， 因为， 所以 所以直线是线段AE的垂直平分线， 过点D作，交于点M， 所以， 所以是等腰直角三角形， 所以，， 连接， 则， 因为BE=AD， 所以， 所以， 同理可证，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等哟三角形的性质，熟练掌握上述各性质是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满纵坐标满足： ，那么称点为点的“关联点”． （1）请直接写出点的“关联点”的坐标____________； （2）若点在函数的图像上，其“关联点”与点重合，求点的坐标； （3）若点的“关联点”在函数的图像上，当时，求线段的最大值． 【答案】（1）（3，2）；（2）（4，2）；（3）当m≥n时，MN有最大值为14；当m＜n时，线段MN的最大值为2． 【解析】 【分析】（1）根据关联点的定义，即可得到答案； （2）根据关联点的定义，可得到Q点坐标，根据点重合，得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据关联点的定义，分成两种情况，当m≥n时，与当m＜n时，在每种情况下，求出N的坐标，根据平行于y的直线上的两点的距离，可得到二次函数，然后根据二次函数性质求函数的最大值即可． 【详解】（1）∵3＜5，根据关联点定义 ∴y’=5-3=2 故点（3，5）的“关联点”的坐标为（3，2）． （2）P在函数y=x-2的图像上 设P点坐标为（x，x-2） ∵x＞x-2，根据关联点定义得到Q点（x，2） 又因为P、Q重合，所以有2=x-2，得到x=4 ∴P点坐标为（4，2）． （3）点的“关联点”是，共分两种情况考虑． ①当m≥n时，点N的坐标为（m，m-n） ∵N在二次函数上 ∴m-n=2m2，得到n=-2m2+m， ∴yM =-2m2+m，yN=2m2 ∴MN=|yM- yN|=|-4m2+m| 当0≤m≤，-4m2+m≥0， MN=-4m2+m=-4（m-）2+ ∴当m=时，线段MN的最大值为． 当＜m≤2时，-4m2+m＜0， ∴MN=4m2-m=4（m-）2-，当m=2时，MN有最大值为14 ∴当m≥n时，MN有最大值为14； ②当m＜n时，点N的坐标为（m，n-m） ∵N在二次函数上 ∴n-m=2m2，即n=2m2+m ∴yM =2m2+m，yN=2m2 ∴MN=|yM- yN|=|m| ∵ ∴MN=m 当m=2时，线段MN的最大值为2． 即当m＜n时，线段MN的最大值为2． ∴综上，当m≥n时，MN有最大值为14；当m＜n时，线段MN的最大值为2． 【点睛】本题属于二次函数综合题型，第一二问相对简单，利用题中定义可直接解出，第三问有一定难度，第三问解题关键在于要对m、n的大小进行分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一六一中学分校初三数学第一阶段练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程没有实数根 D. 无法确定 5. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至162元，设这种药品平均每次降价的百分率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数（）和二次函数（）部分自变量和对应的函数值如表： x … 0 2 4 5 … … 0 1 3 5 6 … … 0 0 5 9 … 当时，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据、根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A. 3.50分钟 B. 3.75分钟 C. 4.00分钟 D. 4.25分钟 8. 在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（ ） A. a＜0 B. －3＜a＜0 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线与y轴的交点坐标是_________ 10. 若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为______． 11. 某抛物线满足：①开口向下；②图象经过点．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式___________． 12. 若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是______． 13. 某抛物线的顶点为，与x轴相交于P、Q两点，若此抛物线经过点 、 、 、四点，则a、b、c、d中最大值是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 ___． 15. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．若，则_______________． 16. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为A（－1，0），对称轴为直线x =1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列四个结论中，①当x＞3时，y＜0；② 3a+b＜0；③－1≤a ≤；④4ac－b2＞ 8a；所有正确结论的序号是_______________ . 三、解答题（共12小题，第17、18题各5分，第19至24题各6分，第25、26题各7分，第28题8分3，共68分） 17. 解方程： 18. 如图，P是正三角形内的一点，且．若将绕点B逆时针旋转后得到．求 （1）点P与点Q之间的距离； （2）的度数． 19. 已知二次函数y＝x2+2x﹣3． （1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式； （2）求函数与x轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象 x … … y … … （4）当y＞0时，则x的取值范围为_____． （5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为_____． 20. 如图，在正方形中，射线与边交于点E，将射线绕点A顺时针旋转，与的延长线交于点F，，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为36，，直接写出的长． 21. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分. 一名运动员起跳后，他的飞行路线如右图所示，当他的水平距离为15m时，达到飞行的最高点C处，此时的竖直高度为45m，他落地时的水平距离（即OA的长）为60m，求这名运动员起跳时的竖直高度（即OB的长）. 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 23. 阅读下列材料：有这样一个问题：关于的一元二次方程有两个不相等的且非零的实数根探究，，满足的条件. 小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：①设一元二次方程对应的二次函数为； ②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次中，，满足的条件，列表如下： 方程根的几何意义： 方程两根的情况 对应的二次函数的大致图象 ，，满足的条件 方程有两个不相等的负实根 ____________ 方程有两个不相等的正实根 ____________ ____________ （1）参考小明的做法，把上述表格补充完整； （2）若一元二次方程有一个负实根，一个正实根，且负实根大于-1，求实数的取值范围. 24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； （3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式． 25. 已知：在中，斜边，在射线上取一点，使.射线上取一点，使，直线、交于点，点关于直线的对称点为． （1）如图，当时，请你直接写出的度数______； （2）如图，当时，请你直接写出的长度______； （3）在图中，探索与的数量关系，并对你的结论进行证明． 26. 在平面直角坐标系中，对于点，如果点的纵坐标满纵坐标满足： ，那么称点为点的“关联点”． （1）请直接写出点的“关联点”的坐标____________； （2）若点在函数的图像上，其“关联点”与点重合，求点的坐标； （3）若点的“关联点”在函数的图像上，当时，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $