精品解析：湖南岳阳市岳阳楼区2026一2027学年上学期八年级数学阶段性学业质量监测

岳阳楼区2026年下学期阶段性学业质量监测 八年级数学 考生注意： 1．本学科试卷共分24道大题，满分120分，考试时量120分钟． 2．本试卷分为试题卷和答题卡，所有答案都须填涂或填写在答题卡规定的答题区域内． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易在《夜雪》里描写雪的诗句，从语句中体会到雪也是有重量的．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，，则a，b，c，d的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式时， D. 无论x为何值，的值总为正数 8. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 9. 如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（　　） A. 15 B. 14 C. 8 D. 7 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 12. 若，，则等于________． 13. 若分式的值为0，则x的值是______． 14. 已知，则的值为_____． 15. 三种不同类型的长方形砖长宽如下图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是______． 16. 南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这个图表称作“杨辉三角”．图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解 （1）； （2）． 18. 计算 （1） ； （2）． 19. 解分式方程 （1）； （2）． 20. 先化简，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 21. 已知，其中、为常数，求的值． 22. 绫绢扇是中国传统手工艺品四大名扇之一，起源于商周时期，该扇以绫、绢等轻薄丝织物为扇面，配以竹、木等材质的框架和彩带沿边的工艺制作，形制丰富，常被当作承载传统文化的伴手礼，成为连接古今审美展现中式雅致生活的载体．某文创店销售甲、乙两种绫绢扇，下面是小刚和小明的对话： 小刚：甲种绫绢扇的单价比乙种绫绢扇的单价少3元； 小明：花150元购进甲种绫绢扇的数量是花90元购进乙种绫绢扇的数量的2倍. 根据上述对话，解决下列问题： （1）求甲、乙两种绫绢扇的单价； （2）某学校准备在该文创店购买甲、乙两种绫绢扇共500把，花费不超过8000元，求该校最多可以购买多少把乙种绫绢扇？ 23. 在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料2：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 材料3：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）用姬曼定理因式分解：； （2）用十字相乘法因式分解：； （3）用整体设元法因式分解：； （4）因式分解：． 24. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳阳楼区2026年下学期阶段性学业质量监测 八年级数学 考生注意： 1．本学科试卷共分24道大题，满分120分，考试时量120分钟． 2．本试卷分为试题卷和答题卡，所有答案都须填涂或填写在答题卡规定的答题区域内． 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，，的分母均为常数，不是分式，的分母含字母，是分式． 2. 下列从左边到右边的变形中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、等式右边含有不是整式， 不是因式分解． B、 变形为整式乘法， 不是因式分解． C、等式右边为和的形式， 不是因式分解． D、、D， 符合因式分解要求． 3. “夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易在《夜雪》里描写雪的诗句，从语句中体会到雪也是有重量的．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 4. 下列多项式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平方差公式的形式为，多项式需是两个平方项的差（一正一负）． 【详解】解：A、符号相同，不能用平方差公式因式分解； B、，能用平方差公式因式分解； C、，符号相同，不能用平方差公式因式分解； D、为三次两项式，不能用平方差公式因式分解． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除除法，根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除除法法则进行判断即可，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 故选： 6. 设，，，，则a，b，c，d的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算的数值后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式时， D. 无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【详解】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 8. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】将扩大3倍后的a、b代入分式，化简后与原分式比较得到倍数关系． 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 9. 如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，列出方程即可. 【详解】解：设这批椽有x株，由题意，得. 10. 若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（　　） A. 15 B. 14 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式组，根据整数解的个数判断a的取值范围；解分式方程，用含a的式子表示y，检验增根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数a，相加即可． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得， ∵不等式组至少有五个整数解， ∴； ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且，a为整数， 又∵为整数， ∴a可以取，3，5， ∴所有整数a之和为：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 12. 若，，则等于________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵，， ∴ ． 13. 若分式的值为0，则x的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 14. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再整体代入已知条件计算． 【详解】解： ， 将，代入上式得 ，原式． 15. 三种不同类型的长方形砖长宽如下图所示，现有A类1块，B类4块，C类4块，小明用这些地砖拼成一个正方形，那么小明拼成正方形的边长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】拼成的正方形的面积等于三类砖的面积之和，求出三类砖的面积之和并分解因式即可得到答案． 【详解】解：， ∴小明拼成正方形的边长是． 16. 南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这个图表称作“杨辉三角”．图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据杨辉三角中数的排列规律，归纳出第  个数  的通项公式为 ，进而得到 ，最后利用裂项相消法计算求和即可． 【详解】由题意可知：   ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用平方差公式分解即可； （2）先提公因式，再运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 计算 （1） ； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，乘方，绝对值的化简，解答即可． （2）根据分式的乘方法则，约分解答即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 19. 解分式方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】（1）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程再求解，检验解的有效性； （2）确定最简公分母为，去分母转化为整式方程再求解，检验解的有效性． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘得， ， ， 解得． 检验：当时，， 则是原分式方程的解． 【小问2详解】 方程两边同乘得， 解得． 检验：当时，， 因此，是增根，原分式方程无解． 20. 先化简，再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 因为，时分式无意义，所以， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键． 21. 已知，其中、为常数，求的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，解二元一次方程，代数式求值，先将通分计算得，再根据题意得关于、的二元一次方程，解方程求得、的值，再代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， ． 22. 绫绢扇是中国传统手工艺品四大名扇之一，起源于商周时期，该扇以绫、绢等轻薄丝织物为扇面，配以竹、木等材质的框架和彩带沿边的工艺制作，形制丰富，常被当作承载传统文化的伴手礼，成为连接古今审美展现中式雅致生活的载体．某文创店销售甲、乙两种绫绢扇，下面是小刚和小明的对话： 小刚：甲种绫绢扇的单价比乙种绫绢扇的单价少3元； 小明：花150元购进甲种绫绢扇的数量是花90元购进乙种绫绢扇的数量的2倍. 根据上述对话，解决下列问题： （1）求甲、乙两种绫绢扇的单价； （2）某学校准备在该文创店购买甲、乙两种绫绢扇共500把，花费不超过8000元，求该校最多可以购买多少把乙种绫绢扇？ 【答案】（1）甲种绫绢扇的单价为15元，乙种绫绢扇的单价为18元 （2）该校最多可以购买166把乙种绫绢扇 【解析】 【分析】（1）设甲种绫绢扇的单价为x元，则乙种绫绢扇的单价为元，由题意得，进而求解即可； （2）设该校购买m把乙种绫绢扇，则购买把甲种绫绢扇，由题意得，然后根据m取整数进行求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种绫绢扇的单价为x元，则乙种绫绢扇的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴； 答：甲种绫绢扇的单价为15元，乙种绫绢扇的单价为18元． 【小问2详解】 解：设该校购买m把乙种绫绢扇，则购买把甲种绫绢扇，由题意得： ， 解得：， ∵m取整数， ∴m的最大值为166， 答：该校最多可以购买166把乙种绫绢扇． 23. 在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料2：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 材料3：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： （1）用姬曼定理因式分解：； （2）用十字相乘法因式分解：； （3）用整体设元法因式分解：； （4）因式分解：． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）添项构造完全平方，转化为平方差形式，运用平方差公式分解； （2）先拆分二次项系数，再拆分常数项，验证交叉乘积和与一次项系数一致，写出分解结果； （3）将整体换元简化式子，展开后转化为完全平方式，回代并继续分解，化为最简式； （4）分组构造完全平方，转化为平方差形式，运用平方差公式展开并化简． 【小问1详解】 解：，，添加再减去保证原式值不变，可得到： ． 【小问2详解】 二次项系数为6，可拆分为，常数项为2，拆解为； 交叉相乘求和：，与一次项系数一致， 根据十字相乘法规则，可得． 【小问3详解】 将看作整体，令， 则原式， 将代入得， 原式． 【小问4详解】 原式 ． 24. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． （1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； （2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； （3）已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，求的值． 【答案】（1）C是D的“雅中式”，C关于D的“雅中值”为1 （2），5 （3）11或3 【解析】 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是2的因数，而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【小问1详解】 解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， ，  是的“雅中式”，关于的“雅中值”为1； 【小问2详解】 解：关于的“雅中值”是， ， ， ； ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， ， 的值为：0，2，3， ； 【小问3详解】 解：是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立：  ， 消去可得：，即， ，  、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为11或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $