精品解析：山西省原平市南坡中学2025-2026学年上学期八年级数学月考试卷

2025－2026学年八年级上册阶段测评三数学试卷 考试范围：第十三章~第十七章 三角形 全等三角形 轴对称 整式的乘法 因式分解 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：、是轴对称图形； 、是轴对称图形； 、是轴对称图形； 、不是轴对称图形． 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据去括号，单项式除以单项式，完全平方公式法则逐一验证每个选项的计算是否正确即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 3. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，主要涉及平方差公式和完全平方公式，据此判断每个多项式是否能表示为公式形式，即可作答． 【详解】解：A、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； B、，无法用公式法进行因式分解，故该选项符合题意； C、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； D、，符合完全平方公式，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了学生的观察能力和判定直角三角形全等的定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．根据直角三角形全等的判定定理，可证． 【详解】在和中， ， ， 平分． 故选：D． 5. 已知多项式分解因式为，则，的值分别是 （ ） A. ， B. ，4 C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由已知因式分解的结果求参数，将因式分解形式展开，与原始多项式比较系数，即可求出和的值，正确利用公式计算是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， ∴， ， 故选：． 6. 若，则的值是（） A. 3 B. 2 C. 1 D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式提公因式分解因式，整体代入求值，是解题的关键． 所求表达式通过因式分解变形简化，将已知条件代入计算即得． 【详解】解：∵ ∴当时，代入得，原式， 故选：A． 7. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，由垂直平分线性质可得，，所以，，通过三角形内角和定理可得，最后通过角度的和与差即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O，若，则为( )度． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由∠A=∠B，∠AOD=∠BOE，可得∠BEO=∠2，由∠1=∠2，则∠AEC=∠BED，则△AEC≌△BED，然后根据对应边，对应角相等，即可得到答案. 【详解】解：∵∠A=∠B，∠AOD=∠BOE， ∴∠BEO=∠2， ∵∠2=∠1， ∴∠BEO=∠1， ∴∠BEO+∠OED=∠OED+∠1， 即∠AEC=∠BED，又∵AE=BE，∠A=∠B， ∴△AEC≌△BED（AAS）， ∴∠BDE=∠C，DE=CE ∵∠1=40° ∴∠BDE=∠C=70°. 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，解题的关键是找到全等的条件进行证明. 9. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，等腰三角形的性质，作于点，然后通过含度角的直角三角形性质可得，再由等腰三角形性质可得，最后通过线段的和与差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明，根据等腰三角形的性质即可判断②③正确，由，推出，，故①正确；由，推出，即可判断④． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 是的角平分线， ，，故②③正确， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是正确使用等腰三角形的性质三线合一． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，解题的关键是掌握此知识点，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加． 【详解】， 故答案为． 12. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 13. 定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义二阶行列式基本运算法则，整式的乘法相关知识点，解题的关键是读懂新定义的运算法则，根据二阶行列式的运算法则，将行列式转化为代数式后代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 故答案为． 14. 下列多项式：①；②；③；④．其中分解因式的结果中含有相同因式的是______（填序号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法（提公因式法、公式法），解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解． 分别对四个多项式进行因式分解，再观察分解结果中含有的相同因式． 【详解】解：①； ②； ③； ④． 对比分解结果，①和④都含有因式． 故答案为：①④． 15. 如图，在中，，以斜边和直角边分别作等边和等边，连接，，的判定依据是______（填写三个大字母）；若，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，由和是等边三角形，所以，，，证明，所以，当时，最小，即最小，然后通过直角三角形性质可得，即最小值为，所以最小值为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，最小，即最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即最小值为， ∴最小值为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）如图，已知，，，求和的度数． 【答案】 （1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除运算与三角形的外角性质，熟练掌握对应的运算律和几何性质是解题关键． （1）根据单项式的乘除运算法则进行计算即可； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，根据外角的性质进行计算即可． 【详解】（1）； （2）∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴． 17. 如图，在的正方形网格中，有格点和，且和关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的及其对称轴MN． 【答案】 如图所示； 【解析】 【分析】根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】略 【点睛】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确运用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项． 先利用完全平方公式展开，平方差公式展开，再合并同类项化简式子，最后代入计算． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 19. 如图，点四点在一条直线上，，.老师说：再添加一个条件就可以使.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加；乙说：添加；丙说：添加. （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________ （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明. 【答案】（1）乙、丙； （2）如果添加： 证明： 在和中 ； 添加条件BE=CF， 证明： ∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， 【解析】 【分析】（1）由AB∥DE可得∠B=∠DEF，结合AB=DE，可知一角一边对应相等，根据三角形全等的判定方法进行判断三个同学的说法即可； （2）如果选AC∥DF，可得∠F=∠ACB，依据AAS证明全等即可；如果选BE=CF，先证明BC=EF，再根据SAS证明全等即可. 【详解】（1）根据分析可得乙、丙两位同学说法正确； （2） 略 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 20. 已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． （1）用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，垂足分别是E、F．求证：． 【答案】（1） 解∶如图，点D即为所求， （2） 证明：连接，， 由作图知：平分，点D在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是： （1）根据题意，作出的平分线和线段的垂直平分线，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得出，根据线段垂直平分线的性质可得出，根据证明，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 分解因式x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：a2－4a－b2＋4； (2)若△ABC三边a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 【答案】(1) (a＋b－2)(a－b－2); (2) △ABC是等腰三角形 【解析】 【详解】试题分析：（1）应用分组分解法，把分解因式即可． （2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出△ABC的形状即可． 试题解析: （1） (2) 或 或 ∴△ABC是等腰三角形． 22. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫作复数，表示为(a,b为实数)，a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． （1）填空：______，______，______． （2）计算：①；②． （3）试一试：请利用分数的基本性质(分子和分母同乘一个不为0的数，分数的大小不变)将化简成的形式． 【答案】（1）；； （2）①50；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了复数的运算，解题的关键是利用平方差公式对分母进行有理化，结合进行化简． （1）根据的幂的周期规律（周期为4）计算； （2）利用平方差公式、完全平方公式结合计算； （3）给分子分母同乘，利用平方差公式化简分母，结合将式子化为形式． 【小问1详解】 解：∵ ，周期为4， ∴；；． 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：① ； ② 【小问3详解】 解： 23. 如图，是等边三角形，点E和点F分别是和上的点，且．已知点O是三条内角平分线的交点，连接，． （1）如图1，求证：． （2）如图2，平分交于点D，连接，求证：． （3）如图3，当点E和点F分别位于和的延长线上时，（2）中的条件不变，写出，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 点O是三条内角平分线的交点， ， ∴，， ∴， ，即． 在和中， ， ． （2） 证明：由（1）可知， ，． 平分， ， 又， ， ， ． （3） ． 理由：点O是等边三条内角平分线的交点， ， 则，即， ， ，， ， ，． 平分， ． 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据点O是三条内角平分线的交点得，则，且，即可证明； （2）由（1）可知，则和．结合角平分的性质证得，有，结合即可； （3）由点O是三条内角平分线的交点得，则和．即可证明，有和，结合角平分线得，有，结合即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、三角形的角平分线、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和角平分线的定义，解题的关键是熟悉全等三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级上册阶段测评三数学试卷 考试范围：第十三章~第十七章 三角形 全等三角形 轴对称 整式的乘法 因式分解 时间：90分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为，画射线，则平分．做法中用到证明与全等的理由是（ ） A. B. C. D. 5. 已知多项式分解因式为，则，的值分别是 （ ） A. ， B. ，4 C. ， D. ， 6. 若，则的值是（） A. 3 B. 2 C. 1 D. －1 7. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，点D在AC边上，，AE和BD相交于点O，若，则为( )度． A. B. C. D. 9. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分．下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的结论共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：＝______． 12. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 13. 定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为__________． 14. 下列多项式：①；②；③；④．其中分解因式的结果中含有相同因式的是______（填序号） 15. 如图，在中，，以斜边和直角边分别作等边和等边，连接，，的判定依据是______（填写三个大字母）；若，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）如图，已知，，，求和的度数． 17. 如图，在的正方形网格中，有格点和，且和关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的及其对称轴MN． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点四点在一条直线上，，.老师说：再添加一个条件就可以使.下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加；乙说：添加；丙说：添加. （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________ （2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明. 20. 已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． （1）用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，垂足分别是E、F．求证：． 21. 分解因式x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式，过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：a2－4a－b2＋4； (2)若△ABC三边a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，试判断△ABC的形状． 22. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫作虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫作复数，表示为(a,b为实数)，a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：． （1）填空：______，______，______． （2）计算：①；②． （3）试一试：请利用分数的基本性质(分子和分母同乘一个不为0的数，分数的大小不变)将化简成的形式． 23. 如图，是等边三角形，点E和点F分别是和上的点，且．已知点O是三条内角平分线的交点，连接，． （1）如图1，求证：． （2）如图2，平分交于点D，连接，求证：． （3）如图3，当点E和点F分别位于和的延长线上时，（2）中的条件不变，写出，和之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $