精品解析：福建省安溪第一中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情调研数学试卷

2026秋安溪一中初三年第一次学情调研数学试卷 一、单选题（共40分，每题4分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程两实数根的和为2的是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知、是方程的两根，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 8. 关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≤3 B. m≥3 C. m≤3且m≠2 D. m＜3 9. 当时，化简的结果为（ ） A. 3 B. C. D. -5 10. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每题4分） 11. 代数式有意义时，实数的取值范围是_____ 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 14. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则_____． 15. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 16. 已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围______． 三、解答题 17. 计算 （1）；（2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） （3）（要求用配方法） （4） 20. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰见如，，一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （1）请直接写出化简结果______； （2）化简：． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 22. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 23. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； （2）应用探究：已知实数满足：且，求的值； （3）思维拓展：已知实数满足：，求的值． 24. 在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． （1）填空：_______，_______（用含的代数式表示） （2）设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为． （3）求当为何值时，为直角三角形． 25. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是， ， ； （2）拓展：①已知方程，若设，可将原方程化为关于的方程： ； ②解方程：． （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026秋安溪一中初三年第一次学情调研数学试卷 一、单选题（共40分，每题4分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含分数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 4. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是2次的整式方程叫做一元二次方程，即可判断答案． 【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、中的二次项系数可能为0，不一定是一元二次方程，故不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有3个条件：①整式方程；②含有一个未知数；③所含未知数的项的次数是2． 5. 下列一元二次方程两实数根的和为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算判别式判断一元二次方程的根的情况，再利用根与系数的关系，即可判断． 【详解】解：A、∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故选项符合题意； C、∵， ∴无实数根，故选项不符合题意； D、∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故选项不符合题意． 6. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 7. 已知、是方程的两根，则的值为（ ） A. 2027 B. 2026 C. 2025 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的定义推出，，最后整体代入即可解决问题． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴． ∴ ． 故选：B 8. 关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≤3 B. m≥3 C. m≤3且m≠2 D. m＜3 【答案】A 【解析】 【分析】讨论：当m-2=0，方程变形为2x+1=0，此一元一次方程有解；当m-2≠0，方程为一元二次方程，利用判别式得到Δ=22-4（m-2）≥0，解得m≤3且m≠2，然后综合两种情况即可得到m的范围． 【详解】解：当m-2=0，即m=2时，方程变形为2x+1=0，解得x=-； 当m-2≠0，则Δ=22-4（m-2）≥0，解得m≤3且m≠2， 综上所述，m的范围为m≤3． 故选：A 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．注意分类讨论． 9. 当时，化简的结果为（ ） A. 3 B. C. D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，然后去绝对值计算即可． 【详解】∵， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的性质，根据化简是解题的关键． 10. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题（共24分，每题4分） 11. 代数式有意义时，实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出9-x≥0，即可得出答案． 【详解】解：使二次根式有意义，必须满足9-x≥0，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件． 12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】因为方程有两个不相等的实数根，所以首先判断方程类型为一元二次方程，即二次项系数不为0，可得第一个关于k的限制条件．因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式，代入对应系数建立不等式，求解得到第二个关于k的限制条件．取两个限制条件的公共解集，即为k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，首先它必须是一元二次方程，即； 其次， 即， 解得． 综上且． 13. 若关于的二次方程的常数项等于，则的值为___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和常数为0，得，且，进而得出答案． 【详解】解：根据一元二次方程的常数等于0， 得，且， 解得，且， ∴． 故答案为：2． 14. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由方程根的概念及一元二次方程的定义即可完成． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴； ∵是关于x的一元二次方程， ∴， 即， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，同时注意一元二次方程的二次项系数不为零． 15. 若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程必有一根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，结合已知条件得到，求得x即可． 【详解】解：整理得， ∵关于x的一元二次方程的其中一根为， ∴关于x的方程中，， 解得：． 故答案为：． 16. 已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】令方程的两根为，则，根据题意，知，于是，解得． 【详解】解：令方程的两根为，则， 根据题意，若，则， ∴． ∴， ， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，不等式的求解；根据题意构建不等式是解题的关键． 三、解答题 17. 计算 （1）；（2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类二次根式解题即可． 【详解】（1）； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化；运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键． 19. 解下列一元二次方程 （1） （2） （3）（要求用配方法） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得， 开方得， 所以，． 【小问2详解】 解：， 提公因式得， 所以，． 【小问3详解】 解：， 移项得， 两边加得， 即， 开方得， 所以，． 【小问4详解】 解：， 两边除以得， 配方得， 开方得， 所以，． 20. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰见如，，一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；． 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （1）请直接写出化简结果______； （2）化简：． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据第二种化简方式结合平方差公式即可求出化简结果； （2）根据和化简方式，利用平方差公式和实数运算法则，寻找规律，即可求出答案． 【小问1详解】 解： 故答案为：. 【小问2详解】 解：， ， 依此类推：， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了分母有理化，解题的关键在于熟练掌握平方差公式. 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 22. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】（1）③ （2）或 （3）证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【解析】 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； 【小问2详解】 解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． 【小问3详解】 略 23. 阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则_____，_____； （2）应用探究：已知实数满足：且，求的值； （3）思维拓展：已知实数满足：，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接根据材料给出的一元二次方程根与系数的关系计算即可； （2）由条件可知是方程的两个不相等实根，利用根与系数关系得到和的值，对所求式子因式分解后代入计算即可； （3）将第二个方程变形为，分和两种情况，分别计算所求式子的值即可． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程， 其中，， 根据根与系数的关系，可得， 【小问2详解】 解：由题意得，实数满足，，且 因此是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得， 所以 【小问3详解】 解：将方程变形可得， 又， 分两种情况讨论：①当时， ②当时，和是一元二次方程的两个不相等的实数根 根据根与系数的关系可得 由，得， ∴， 综上，的值为或． 24. 在平面直角坐标系中，过原点及点、作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． （1）填空：_______，_______（用含的代数式表示） （2）设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为． （3）求当为何值时，为直角三角形． 【答案】（1）； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可表达，； （2）连接，过点作于点，根据，得，又根据，则，根据勾股定理得，推出是等腰直角三角形，得；是直角三角形，当在左侧时，根据三角形面积公式得：；当在右侧时，面积为：，分类讨论，即可求出时的值； （3）当为直角三角形时，或或，根据是等腰直角三角形，则；根据勾股定理，即可求出的值． 【小问1详解】 ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动 ∴；． 【小问2详解】 连接，过点作于点 ∵四边形是矩形，点，点 ∴， ∵ ∴ ∴在直角三角形中， ∴ ∵ ∴ ∴在直角三角形中， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵当在左侧时，即时， ∴ ∴ ∴当时 ∴解得，（舍） 不满足； 在右侧时，时， ∴ ∴ ∴当时，解得，（舍） ∴当，． 【小问3详解】 连接，， 由（2）得， ∵是直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∴在， ∴ ∵为直角三角形时 ∴或或 ∵是等腰直角三角形，则 ∴或 时， ∴ 整理得： 解得：（舍）， ∴ 时， ∴ 解得：， ∴或 ∴综上所述，当或或时，为直角三角形时． 【点睛】本题考查动点问题，直角三角形和一元二次方程的知识，解题的关键是掌握动点的运动轨迹，勾股定理和解一元二次方程的解法． 25. 阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． （1）问题：方程的解是， ， ； （2）拓展：①已知方程，若设，可将原方程化为关于的方程： ； ②解方程：． （3）应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． 【答案】（1），1 （2）①② （3）4 【解析】 【分析】（1）先按照提公因式法因式分解，再按照十字相乘法因式分解，即可求出方程的解． （2）①先按照完全平方公式将转化为，利用，即可求出关于的方程．②利用整体化思想，设，将其方程转化为，根据十字相乘法求出的值，将值代入即可求出的值． （3）设，根据矩形的性质和勾股定理，用分别表达出和，根据题意可知，再结合整体思想设，则和，将二式相减，求出，并将这个值代入中，即可求出的值，即的长． 【小问1详解】 解：， ， ， ，，． 【小问2详解】 解：①方程， ， ， 设， ． ②， ， 设， ， ， ，， ， （舍去）， 当时，，则，则， 经检验是原方程的根， ． 【小问3详解】 解：为矩形， ，． 设，则， 在中，， 在中，． 由题意可知，， ， 设，则①， ， ， ② 将得， ， 将代入①中得， 去分母得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $