精品解析：福建省长乐第一中学2026-2027学年第一学期九年级第一次学情自测数学试题

2026—2027学年第一学期初中部第一次学情诊断监测 九年级数学试卷 考试范围：第25、26章；考试时间：120分钟；总分：150分 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A：自变量的最高次是，是一次函数，不是二次函数，故A选项不符合题意； 选项B：整理可得：，其中自变量的最高次数是，是二次函数，故B选项符合题意； 选项C：中未限定，当时不是二次函数，故C选项不符合题意； 选项D中：含分式，不是整式函数，不是二次函数，故D选项不符合题意． 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根． 4. 用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边加，得， 即. 5. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律求解即可． 【详解】解：将向左平移3个单位，得， 再向下平移2个单位，得． 6. 若方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，且， 由得，即， 由得， ∴． 7. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过表格中代数式的符号变化，确定方程正数解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， 故方程的一个正数解的大致范围是． 8. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 9. 函数的图象上有三个点分别为，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. ，，的大小不确定 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数的抛物线开口向上，对称轴为，根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小即可． 【详解】二次函数的解析式， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为． ，，，为的图象上三个点， 且三点横坐标距离对称轴的距离远近顺序为： ，、、， 三点纵坐标的大小关系为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 10. 已知函数 (a＜0），当自变量x＞m时，y＜b-a； 当自变量x＜n时，y＜b-a；则下列m，n关系正确的是（ ） A. m-n=1 B. m-n=2 C. m+n=1 D. m+n=2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和二次函数的性质可以求得m、n的关系，本题得以解决． 【详解】∵函数＝2a（x−1）2−2a＋b， ∴该函数的对称轴为直线x＝1， ∵函数y＝2ax2−4ax＋b（a＜0），当自变量x＞m时，y＜b−a，当自变量x＜n时，y＜b−a， ∴＝1， 解得，m＋n＝2， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 二次函数的图象经过，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将点坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴代入得， 解得． 12. 二次函数的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】提取对应系数后代入对称轴公式即可计算得到结果． 【详解】解：∵二次函数中，，， ∴对称轴为直线． 13. 组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请________个球队参加比赛． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（握手、循环赛问题），根据题意正确列出方程是解题的关键． 设邀请个球队参加比赛，由于赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场，因而每个队都比赛了场，所有队共比赛场，由于每两个队的比赛都被重复计算了一次，因而总比赛场数是场，据此列方程求解即可． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 赛制为单循环形式，即参赛的每两队之间都要比赛一场， 每个队都比赛了场， 一共有个队参赛， 所有队共比赛场， 队队比赛和队与队比赛是同一场， 每两个队的比赛都被重复计算了一次， 总比赛场数是场， 计划安排15场比赛， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 即：共邀请个球队参加比赛， 故答案为：． 14. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 15. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标，再根据当时，函数图象位于轴上方解答即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，  ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵当时，函数图象位于轴上方， ∴的取值范围是． 16. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有__________（填序号）． 【答案】 ②③④ 【解析】 【分析】根据图象开口方向判断的符号，结合对称轴判断与的关系，根据与轴交点判断的符号；利用对称性确定时的函数值符号；利用函数的最值性质判断不等式 . 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上 ， ， 对称轴为直线， ，故②正确； ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故①错误； 抛物线与轴交于点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为， 当时，，即，故③正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最小值， 当时，， ，即，故④正确 综上所述，正确的结论是②③④ . 三．解答题：本题共9小题，共86分． 17. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）方程系数不适合因式分解，选用公式法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 移项得 ， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 18. 已知：二次函数，求证：不论取何值，函数与轴总有两个交点． 【答案】证明：∵该二次函数中，，， ∴ ， ∵，且的取值与无关， ∴不论取何值，该函数与轴总有两个交点． 【解析】 【分析】要证明不论取何值，该二次函数与轴总有两个交点，需证明其对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根，即判别式恒大于0． 【详解】略． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的顶点坐标是； 【小问2详解】 解：列表如下： x … 0 1 … y … 0 3 4 3 0 … 作图如下： 【小问3详解】 解：由图象知：在点的左侧和的右侧， 当时，或． 20. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）令，则，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设这个二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得， ∴该抛物线与轴的交点坐标为，． 21. 已知方程的两个根为，，求下列式子的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：对于方程， 由根与系数的关系得，， ∴； 【小问2详解】 解：， ． 22. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【答案】（1）三边长分别为，， （2）不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； 【小问2详解】 略 23. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”．某商店销售一种二十四节气书签，每件进价为元．调查发现：当每件售价为元时，平均每天可以销售件；当每件售价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且每件售价不能超过元．设该二十四节气书签每件售价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该二十四节气书签每件售价为多少元时，该商店每天销售这种二十四节气书签所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）每件售价为12元时，该商店每天销售这种二十四节气书签所获利润最大，最大利润是960元． 【解析】 【分析】（1）根据“当每件售价为元时，平均每天可以销售件；当每件售价每提高元时，平均每天销量将会减少件”，即可列出与的函数关系式； （2）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该书签的销售单价为元，每天销量为件， 由题意可得：， ∵销售单价不能超过元， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设商店每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该商店每天销售这种二十四节气书签所获利润最大，最大利润是元． 24. 综合与实践 [规律探究] （1）教材第54页《数学活动》活动一中部分问题如下： 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 证明如下： 由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②． 设这两个两位数的积为y，则有③， 将此函数化为顶点式为④， 根据函数图象和性质，当⑤，y有最大值． 因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明，可以得出这个猜想是真命题． [实践运用] （2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1）①190；②；③；④；⑤95；（2）四边形ABCD的面积最大值为50 【解析】 【分析】本题核心考查二次函数的图象与性质，配方法，数字类规律探索，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，逐步分析计算，即可解答； （2）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． 【详解】解：（1）①． ②设其中一个两位数为x，则另一个两位数为． ③设这两个两位数的积为y，则． ④将化为顶点式，． ⑤∵二次函数的二次项系数为负数， ∴当时，y有最大值． 故答案为：①190；②；③；④；⑤95 （2）∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵，根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）、、或 【解析】 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期初中部第一次学情诊断监测 九年级数学试卷 考试范围：第25、26章；考试时间：120分钟；总分：150分 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）． 1. 下列函数中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 用配方法解方程，配方后所得方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 若方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表． 从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 8. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象上有三个点分别为，，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. ，，的大小不确定 10. 已知函数 (a＜0），当自变量x＞m时，y＜b-a； 当自变量x＜n时，y＜b-a；则下列m，n关系正确的是（ ） A. m-n=1 B. m-n=2 C. m+n=1 D. m+n=2 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）． 11. 二次函数的图象经过，则________． 12. 二次函数的对称轴是直线________． 13. 组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，邀请________个球队参加比赛． 14. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 15. 二次函数的部分图象如图所示，当时，的取值范围是______． 16. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，与轴交于点．现有下列4个结论：①；②；③；④（为实数且）．其中正确的结论有__________（填序号）． 三．解答题：本题共9小题，共86分． 17. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知：二次函数，求证：不论取何值，函数与轴总有两个交点． 19. 已知二次函数． （1）将化成的形式，并写出它的顶点坐标； （2）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； （3）当时，结合图象，直接写出自变量的取值范围． 20. 已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求该抛物线与轴的交点坐标． 21. 已知方程的两个根为，，求下列式子的值： （1）； （2） 22. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ （2）能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 23. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”．某商店销售一种二十四节气书签，每件进价为元．调查发现：当每件售价为元时，平均每天可以销售件；当每件售价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且每件售价不能超过元．设该二十四节气书签每件售价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）该二十四节气书签每件售价为多少元时，该商店每天销售这种二十四节气书签所获利润最大？最大利润是多少？ 24. 综合与实践 [规律探究] （1）教材第54页《数学活动》活动一中部分问题如下： 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 证明如下： 由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②． 设这两个两位数的积为y，则有③， 将此函数化为顶点式为④， 根据函数图象和性质，当⑤，y有最大值． 因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明，可以得出这个猜想是真命题． [实践运用] （2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 25. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $