3.7 扇形 同步讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦扇形相关计算，系统梳理弧长公式、扇形面积公式及圆锥的侧面积与全面积计算。以圆的周长和面积为基础，构建从弧长到扇形面积再到圆锥展开图的知识支架，形成完整的圆与扇形知识体系。 资料通过题型分类（弧长、扇形面积、圆锥）呈现，典例与变式题结合，融入古建官帽、汽车车门等生活实例。培养学生抽象能力（公式理解）、几何直观（图形分析）与应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

3.7 扇形 内 容 导 航 题型1 弧长的计算 题型2 扇形面积的计算 题型3 圆锥的计算 考 点 演 练 题型1 弧长的计算 解｜题｜知｜识 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【典例1】若扇形的半径是10cm，圆心角为54°，则该扇形的弧长是（　　） A．2π cm B．3π cm C．6π cm D．15π cm 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长是（　　） A．4π B．2π C．π D． 【变式2】如图，⊙O的半径长为1，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠APB＝60°，则劣弧的长度为（　　） A． B． C．π D．2π 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，2．若AB＝6，CD，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D．5 题型2 扇形面积的计算 解｜题｜知｜识 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【典例1】如图是6×4的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（　　） A．5π﹣10 B．4π﹣10 C． D． 【变式1】 如图，⊙O的直径AB长为4，AB垂直平分圆内的线段CD，∠CAD＝60°，，以点O为圆心，OC为半径画扇形OCD，下列结论正确的是（　　） A．∠COD＝120° B． C．阴影部分的面积是 D．的长是 【变式2】 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，以点A为圆心，AD为半径的弧交BC于点E，则阴影部分的扇形面积是（　　） A． B．π C．2π D．3π 【变式3】 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交BC于点P，交AB于点M，交AC于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 题型3 圆锥的计算 解｜题｜知｜识 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形周长公式为C＝l+2r（周长＝弧长+2条半径）． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 【典例1】如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为16cm，高为12cm的圆锥形官帽，则所需扇形绸布的面积为（　　） A．240πcm2 B．280πcm2 C．320πcm2 D．640πcm2 【变式1】如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm 【变式3】圆锥的底面半径是4cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积是（　　） A．12π B．15π C．20π D．24π 过 关 验 收 1．如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 2．如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　） A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm 3．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 4．在⊙O中，若∠AOB＝2∠COD，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 5．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝75°，点C在上，连接OC，AD垂直平分OC交OB于点D．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（　　） 甲：△AOC是等边三角形； 乙：的长为． A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 6．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝36°，AB＝10，则的长等于（　　） A．20π B． C． D．4π 7．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝12，∠A＝60°，则的长为　 　 ． 8．若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 　 　 ． 9．玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图2，现有一块直径为10cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩，则图2中阴影部分的面积为（　　） A．5πcm2 B． C． D．15πcm2 10．如图，点B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE的长为，∠C＝90°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 11．如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）m2． A． B． C． D． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 13．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（　　） A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是 　 　 ． 15．扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 　　 　 ． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，则 ①点A′的坐标　　 　 ； ②线段CB扫过的面积为　　 （结果保留π）． 18．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为21πcm2的圆锥模型，已知圆锥的母线长为7cm，则圆锥的底面圆半径为（　　）cm A．1 B． C．3 D． 19．如图，圆锥的底面半径OB＝5，高OC＝12，则这个圆锥的侧面积是（　　） A．30π B．45π C．65π D．80π 20．如图，小丽同学用纸板制作一个高为12cm、底面半径为5cm的圆锥形漏斗模型（无底面），若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是 　 　　 cm2． 21．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是　 　°． 22．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 　　 　 平方尺．（结果用含π的式子表示） 23．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为　 　 cm． 24．已知圆锥的母线长与底面直径相等，则这个圆锥的侧面展开图形的圆心角为　 　 °． 25．已知圆锥底面圆半径是4，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是　 　 ． 26．圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为　　 　 cm2． 27．如图，圆锥的底面直径AB＝6cm，OC＝4cm，则该圆锥的表面积是 　 　 cm2（结果保留π）． 28．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为　　 　 ； （2）⊙P的半径为　 　 ；（结果保留根号） （3）点M（7，﹣1）在⊙P　　 　 ；（填“上”、“内”或“外”） （4）扇形PAC刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为　 　 ． 29．如图1，△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝6．以点A为旋转中心，将△ABC顺时针方向旋转90°，得到是点C的轨迹，是点B的轨迹． （1）若用扇形ACE围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径r； （2）如图2，求图中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.7 扇形 内 容 导 航 题型1 弧长的计算 题型2 扇形面积的计算 题型3 圆锥的计算 考 点 演 练 题型1 弧长的计算 解｜题｜知｜识 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【典例1】若扇形的半径是10cm，圆心角为54°，则该扇形的弧长是（　　） A．2π cm B．3π cm C．6π cm D．15π cm 【答案】B 【解答】】解：∵扇形的半径是10cm，圆心角为54°， ∴扇形弧长3π（cm）． 故选：B． 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长是（　　） A．4π B．2π C．π D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠B＝135°， ∴∠D＝45°， ∵∠AOC＝2∠D， ∴∠AOC＝90°， 则l2π， 故选：B． 【变式2】如图，⊙O的半径长为1，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠APB＝60°，则劣弧的长度为（　　） A． B． C．π D．2π 【答案】B 【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°． 又∵∠APB＝60°， ∴∠O＝120°． 又∵⊙O的半径长为1， ∴劣弧的长度为：． 故选：B． 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，2．若AB＝6，CD，则⊙O的半径是（　　） A． B． C． D．5 【答案】A 【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为F，交⊙O于点E，连接OA，AE，则，AF＝BFAB＝3， ∵2， ∴， ∴AE＝CD， 在Rt△AEF中，AE，AF＝3， ∴EF2， 设半径为R， 在Rt△AOF中，OA＝R，OF＝R﹣2，AF＝3，由勾股定理得， OA2＝OF2+AF2， 即R2＝（R﹣2）2+32， 解得R． 故选：A． 题型2 扇形面积的计算 解｜题｜知｜识 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【典例1】如图是6×4的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（　　） A．5π﹣10 B．4π﹣10 C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示，连接CO， ∵， ∴OC2+OB2＝BC2， ∴∠COB＝90°＝∠AOC， ∴． 故选：A． 【变式1】 如图，⊙O的直径AB长为4，AB垂直平分圆内的线段CD，∠CAD＝60°，，以点O为圆心，OC为半径画扇形OCD，下列结论正确的是（　　） A．∠COD＝120° B． C．阴影部分的面积是 D．的长是 【答案】C 【解答】解：如图所示，过点O作OE⊥AD垂足为点E， ∵AB垂直平分圆内的线段CD， ∴AC＝AD， 由条件可知∠CAB＝∠DAB＝30°， ∴，∠AOE＝60°， ∵AB＝4， ∴AO＝2， ∴OE＝1， 由条件可知OE＝ED＝1， ∴∠EOD＝∠EDO＝45°， ∴∠DOM＝180°﹣∠AOE﹣∠EOD＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠COD＝2∠DOM＝150°， 故A选项错误，不符合题意； ∵AO＝2，DO＝ED＝1，OE⊥AD， ∴， ∴， 故B选项错误，不符合题意； ∵∠COD＝150°，， ∴， 故C选项正确，符合题意； ∵∠COD＝150°，， ∴的长是， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，以点A为圆心，AD为半径的弧交BC于点E，则阴影部分的扇形面积是（　　） A． B．π C．2π D．3π 【答案】D 【解答】解：根据题意，得AE＝AD＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝90°，BC∥AD， ∵AB＝3， ∴∠AEB＝30°， ∴∠DAE＝∠AEB＝30°， ∴阴影部分的扇形面积是π×62＝3π． 故选：D． 【变式3】 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，分别以B、C为圆心，长为半径画弧，交BC于点P，交AB于点M，交AC于点N，则图中阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴∠B+∠C＝90°，BC10， ∵以B、C为圆心，长为半径画弧， ∴扇形CPN和扇形BPM的半径相同，均为5， ∴两个扇形的面积之和π， ∴阴影部分的面积为：S△ABCππ＝24π． 故选：A． 题型3 圆锥的计算 解｜题｜知｜识 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形周长公式为C＝l+2r（周长＝弧长+2条半径）． （3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 【典例1】如图，是用绸布所制作的清代官员夏日官帽，要制作一个底面半径为16cm，高为12cm的圆锥形官帽，则所需扇形绸布的面积为（　　） A．240πcm2 B．280πcm2 C．320πcm2 D．640πcm2 【答案】C 【解答】解：如图， 根据题意：BD＝CD＝16cm，AD＝12cm，AB＝AC， ∴圆锥形官帽的母线长为：AB＝AC20（cm）， ∵圆锥形官帽展开后扇形弧长为：l＝2×π×16＝32π（cm）， ∴侧面积为（cm2）． 故选：C． 【变式1】如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设大圆的半径为R，则小圆的半径都为R， 根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，只要图形中两者相等即可配成一个圆锥体， ∴圆锥的底面圆的周长等于2πR＝πR， 扇形弧长为：πR， ∴n＝180°， ∴扇形圆心角等于180°， 故只有D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】综合实践课上，刘明和张亮合作制作一个带底的圆锥型道具，刘明裁剪侧面，张亮裁剪底面．刘明先裁出一个半径为30cm，圆心角为120°的扇形用来制作侧面（无重合，无缝隙），那么张亮裁出的圆的半径应该为（　　） A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm 【答案】A 【解答】解：2π×30÷2π＝10（cm）， ∴张亮裁出的圆的半径应该为10c． 故选：A． 【变式3】圆锥的底面半径是4cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积是（　　） A．12π B．15π C．20π D．24π 【答案】C 【解答】解：圆锥的侧面积是：圆锥底面周长×母线长． 故选：C． 过 关 验 收 1．如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 【答案】C 【解答】解：∵∠AOC＝40°，∠BOC＝15°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝40°﹣15°＝25°， ∴2πRπR（千米）． ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米． 故选：C． 2．如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　） A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm 【答案】D 【解答】解：由题知， 因为OA＝OB＝18cm，且AB＝18cm， 所以△OAB是等边三角形， 所以∠AOB＝60°， 所以的长为：6π（cm）． 故选：D． 3．如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　） A．6π B．4π C．2π D．π 【答案】C 【解答】解：连接OC， ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∵直径AB＝6， ∴r＝3， ∴， 故选：C． 4．在⊙O中，若∠AOB＝2∠COD，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解答】解：取的中点E，连接OE， 则：， ∴， ∵∠AOB＝2∠COD， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴（等角所对的弧相等）， ∴； 故选：C． 5．如图，在扇形AOB中，OA＝6，∠AOB＝75°，点C在上，连接OC，AD垂直平分OC交OB于点D．下列关于甲、乙的结论判断正确的是（　　） 甲：△AOC是等边三角形； 乙：的长为． A．甲、乙的都正确 B．甲、乙的都不正确 C．只有甲的正确 D．只有乙的正确 【答案】C 【解答】解：∵AD垂直平分OC， ∴AC＝AO， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵∠AOB＝75°， ∴∠BOC＝15°， ∴的长为， 故只有甲正确． 故选：C． 6．如图，直线l1∥l2，直线m分别交l1、l2于点A、B，以A为圆心，AB长为半径画弧，分别交l2、l1于直线m同侧的点C、D，∠ADB＝36°，AB＝10，则的长等于（　　） A．20π B． C． D．4π 【答案】D 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB＝10，∠ADB＝36°， ∴AD＝AB＝AC＝10， ∴∠ABD＝∠ADB＝36°， ∵l1∥l2， ∴∠CBD＝∠ADB＝36°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝72°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝72°， ∵l1∥l2， ∴∠DAC＝∠ACB＝72°， ∴， 故选：D． 7．如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝12，∠A＝60°，则的长为　 　 ． 【答案】2π 【解答】解：令半圆的圆心为O，连接BE，OD，OE， ∵BC是半圆的直径， ∴∠BEC＝90°． 又∵∠A＝60°， ∴∠ABE＝30°， ∴∠DOE＝2∠ABE＝60°． ∵BC＝12， ∴半圆O的半径为6， ∴． 故答案为：2π． 8．若扇形半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角为 　 　 ． 【答案】90° 【解答】解：设圆心角为n°．则有2π， ∴n＝90， 故答案为：90°． 9．玉佩，是我国古人身上常佩戴的一种饰品，如图1所示，古语有“君子无故，玉不去身”，现在人们也以“温润如玉”来形容谦谦君子．如图2，现有一块直径为10cm的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩，则图2中阴影部分的面积为（　　） A．5πcm2 B． C． D．15πcm2 【答案】C 【解答】解：∵要用其刻出一个圆周角为90°的扇形玉佩， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴BC为⊙O的直径， ∴BC＝10cm， ∴， ∴， 故选：C． 10．如图，点B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE的长为，∠C＝90°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，设半圆O的半径为R． ∵B，E是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°， ∴∠BAC＝∠EBA＝30°， ∴BE∥AD， ∵弧BE的长为π， ∴， 解得：R＝4， ∴AB＝ADcos30°＝4， ∴BCAB＝2， ∴AC6， ∴S△ABCBC×AC＝×26＝6， ∵△BOE和△ABE同底等高， ∴△BOE和△ABE面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝66． 故选：A． 11．如图，某汽车车门的底边长为1m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）m2． A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵这扇车门底边扫过区域的最大面积是扇形，这个扇形的半径为1m，圆心角是72°， ∴这扇车门底边扫过区域的最大面积（m2）． 故选：B． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE．则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝1， ∴BE＝1，∠ABE＝90°，BC＝CD＝1， ∴BE+BC＝CE＝2， ∴S阴影＝S扇形ABE+S正方形ABCD﹣S△DCE ， 故选：D． 13．如图，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，则两把扇子扇面面积较大的是（　　） A．折扇 B．圆扇 C．一样大 D．无法判断 【答案】A 【解答】解：∵折扇的面积πa2， 团扇的面积＝π×（）2πa2， ∴折扇的面积大于圆扇的面积． 故选：A． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2．以A为圆心AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是 　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵∠B＝30°，AC＝2，，∠C＝90°， ∴∠A＝60°，， ∴， ∴阴影部分面积是：， 故答案为： 15．扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 　 　 ． 【答案】3π 【解答】解：根据题意，S扇形3π． 故答案为3π． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是 　　 　 ． 【答案】． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2， ∴∠ABC＝30°， ∴AC＝1，BC， ∴阴影的面积＝△ABC的面积+扇形CBE的面积﹣扇形ABF的面积 1 ． 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），B（4，0），C（0，﹣1）．以点C为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，则 ①点A′的坐标　　 　 ； ②线段CB扫过的面积为　　 （结果保留π）． 【答案】（1）（﹣4，2）； （2）． 【解答】解：（1）把△ABC逆时针旋转90°，如图所示： ∴A′（﹣4，2）； 故答案为：（﹣4，2）． （2）如图所示，线段BC扫过的面积为扇形的面积， 由条件可得， ∴． 故答案为：． 18．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为21πcm2的圆锥模型，已知圆锥的母线长为7cm，则圆锥的底面圆半径为（　　）cm A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【解答】解：设底面圆半径为r， 根据题意得：2π×r×7＝21π， 解得：r＝3， 所以圆锥的底面圆半径为3cm． 故选：C． 19．如图，圆锥的底面半径OB＝5，高OC＝12，则这个圆锥的侧面积是（　　） A．30π B．45π C．65π D．80π 【答案】C 【解答】解：根据勾股定理得：BC， ∴圆锥的侧面积， 故选：C． 20．如图，小丽同学用纸板制作一个高为12cm、底面半径为5cm的圆锥形漏斗模型（无底面），若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是 　 　　 cm2． 【答案】65π． 【解答】解：∵圆锥的母线长13（cm）， ∴她所用纸板的面积是2π×5×13＝65π（cm2）． 故答案为：65π． 21．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是　 　°． 【答案】120． 【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为θ， ∵圆锥的底面半径为2，母线长为6， ∴2π•2， ∴θ＝120°． 故答案为：120． 22．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一（如图），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，那么这个米堆遮挡的墙面面积是 　　 　 平方尺．（结果用含π的式子表示） 【答案】． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r尺， 由米堆底部的弧长为8尺，可得2πr＝8， 解得 r， ∴这个米堆遮挡的墙面面积是25（平方尺）． 故答案为：． 23．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为　 　 cm． 【答案】． 【解答】解：由题意得：2πr， 解得：r， 故答案为：． 24．已知圆锥的母线长与底面直径相等，则这个圆锥的侧面展开图形的圆心角为　 　 °． 【答案】180 【解答】解：根据弧长的公式l， ∵圆锥的母线长与底面直径相等， ∴得到：rπ， 解得n＝180°， ∴圆锥的侧面展开图的圆心角等于180度． 故答案为180 25．已知圆锥底面圆半径是4，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是　 　 ． 【答案】24π． 【解答】解：根据题意得，4×6π＝24π， 即圆锥的侧面积是24π． 故答案为：24π． 26．圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为　　 　 cm2． 【答案】6π． 【解答】解：∵圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：6π 27．如图，圆锥的底面直径AB＝6cm，OC＝4cm，则该圆锥的表面积是 　 　 cm2（结果保留π）． 【答案】24π． 【解答】解：∵AB＝6cm，OC＝4cm， ∴OA3（cm）， ∴AC5（cm）， ∴圆锥的表面积＝S底+S侧＝πr2+πrl＝9π+15π＝24π（cm2）， 故答案为：24π． 28．如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为　　 　 ； （2）⊙P的半径为　 　 ；（结果保留根号） （3）点M（7，﹣1）在⊙P　　 　 ；（填“上”、“内”或“外”） （4）扇形PAC刚好是某圆锥的侧面展开图，该圆锥底面半径为　 　 ． 【答案】（1）（2，﹣1）； （2）； （3）外； （4）． 【解答】解：（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示：P（2，﹣1）， （2）①∵P（2，﹣1）， ∴， ∴⊙P的半径为， 故答案为：； （3）由条件可知， ∴M（7，﹣1）在⊙P外， 故答案为：外； （4）如图所示，连接PA、PC，AC， ∵A（0，3），C（6，1）， ∴AC2＝（6﹣0）2+（1﹣3）2＝40， ∵， ∴， ∴△APC是直角三角形，即∠APC＝90°， 设圆锥底面的半径为r，可得： ， ∴， 故答案为：． 29．如图1，△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝6．以点A为旋转中心，将△ABC顺时针方向旋转90°，得到是点C的轨迹，是点B的轨迹． （1）若用扇形ACE围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径r； （2）如图2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）由旋转的性质得到∠CAE＝90°， ∵AC＝6， ∴的长为， ∴2πr＝3π， ∴， 所以圆锥的底面圆半径r为； （2）根据图形得S阴影＝S扇形ACE+S△ADE﹣S△ABC﹣S扇形ABD， ∵△ADE是△ABC旋转得到的， ∴△ADE≌△ABC（旋转的性质）， ∴S△ADE＝S△ABC， ∴， 所以图中阴影部分的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $