专题09 圆中的最值模型（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题09 圆中的最值模型 1.知识目标：掌握圆背景下线段最值、周长最值、面积最值常见模型（点圆距离、线圆距离、定弦定角、隐圆、阿氏圆、胡不归）。 2.能力目标：能识别隐圆（动点轨迹是圆）；区分不同最值模型适用条件；会转化所求线段，把动态最值转为定点到圆/直线距离。 3.应试目标：处理圆综合、几何动点压轴，解决线段最大最小、面积最值。 1.点与圆距离最值：定点 P，⊙O 半径 r；PAmax=PO+r；PAmin=|POr| 2.定弦定角隐圆模型：固定线段，动点对线段张角固定，动点轨迹为圆弧；是高频隐圆来源。 3.线圆最值：圆上点到定直线距离最大最小，过圆心向直线作垂线。 4.阿氏圆：PA+k PB，k≠1，构造母子相似转化线段。 5.胡不归：PA+kPB，k<1，转化角度构造直角三角形，处理带系数线段。 6.周长、面积最值：转化为线段最值；定圆中弦长最大为直径。 题型01 瓜豆模型（圆弧轨迹） 【典例】（25-26九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：作的中点E，连接， 在直角中，， ∵E是直角斜边上的中点，∴， ∵M是的中点，E是的中点，∴， M轨迹为以E为圆心，为半径的圆，∴线段长度的最小值为．故答案为：5． 【变式1】（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，以为边作等边，连接， ∵ ∴ ，即， 在和 中， ∴ ；∴ ∴点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆上， 要使得 面积最小，则点到线段的距离最小， ∵是边长为2的等边三角形，∴点到的距离为， ∴点到的最小值为，∴面积最小值为： ．故答案为：． 【变式2】（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则，∴， ∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在半径为4的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，，，取的中点，连接，，是的中点，， ∵点是的中点，在整个运动过程中， 结合90度的圆周角所对的弦是直径，故点在以为直径的圆上运动， 即点在以为半径的上运动， 当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为， ，，∵即， ，的最大值为，故选：A 【变式4】（2025·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，，， 的值最小为．故选：B． 题型02 最值模型（隐圆） 【典例】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【答案】/ 【详解】解：，．如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为，连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，，∴，∴， ，即的最大值为，故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接并延长，如图，，，，    ，，，，四点共圆，为等腰直角三角形，， ，，点的轨迹为的平分线上， 垂线段最短，当时，取最小值，的最小值为，故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：，．． 点P是的内心，即，分别平分和，，． ． ，，，≌．． 如图，作出的外接圆，设圆心为Q，圆的半径为r，则的最小值即为． ，设所对的圆心角优角为，则，． ，．，． ∵四边形是正方形，．过点Q作，则， ．∴是等腰直角三角形．． ．． ．的最小值为．故答案为：． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 8 5或 【详解】解：连接，在矩形中，，，∴，， ∵点是边上的中点，∴，∴， ∵翻折，∴，∴ ∵，∴当在上时，取最小值，最小值为； ∵为直角三角形，当时，∵点N是边上的中点，，∴， ∵，∴点B的对应点不能落在所在直线上，∴，不存在此类情况； 当时，如图所示， 由折叠性质可得，，∴； 当时，如图所示：∵，∴、N、C三点共线， 设，则，∴，解得：， 综上所述的长为或5．故答案为：8；或5． 题型03 点与圆上一点的最值问题 【典例】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作， 点的坐标为，，，， 点，点关于原点对称，， ，，，当最大时最大， 当点、、共线时有最大值， 的半径为，的最大值是，的最大值是．故选：B． 【变式1】（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在以为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足，则的值可能是（   ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【详解】解：∵点，，，∴，，∴， ∵，∴，如图，延长交于M，，当点P与M重合时，最大，即a最大，当点与重合时，最小，即最小： ∵，，∴， ∵的半径为1，∴，， ∴．∴的值可能为；故选：BCD． 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】17 【详解】解：∵在中，，，∴， ∵O为的斜边中点，∴， 过点C作于点H，延长交圆于点G，当点P与点G重合时，面积最大， ∵，∴∵的半径为2，∴， ∴面积的最大值为．故答案为：17． 【变式3】（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 8 18 【详解】解：当三点在一条直线上时，线段的长取得最值． 是边的中点，．，． 当点A，E在的同侧时，有最小值，最小值为； 当点A，E在的异侧时，有最大值，最大值为．故答案为：8；18． 题型04 切线长相关的最值 【典例】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于， ∵与相切于，，∵的半径为1，， 当与重合时，最小，∵等边的边长为2，， ，∴的最小值为：．故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接、，过点作于，， 是等边三角形，且，，， 是的切线，，， ，当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：，故选：． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 在中，，，的半径为，点在边上运动（可与端点重合），过点的直线与相切于点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【详解】解：是的切线，， 在中，由勾股定理得，，的半径为，， 点在边上运动，当点与或重合时最大， ，，的最大值为，此时，故的最大值为， 当时，最小，在中，，， 由勾股定理得，， 根据三角形面积公式，， 把代入，得， 的最小值为，故答案为：，． 题型05 定角定高（探照灯）模型 【典例】（2026·陕西·二模）问题探究（1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______．（2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．          问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】问题探究：（1）24；（2）存在，的最小值为；问题解决：存在，144 【详解】解：（1）当时，面积的最大， 则面积的最大值是，故答案为：24； （2）如图中，连接，，，作于．设， ∵，，， ∴，，∴，． ∵，∴，∴，∴的最小值为1，∵，∴的最小值为； （3）如图中，连接，，延长交的延长线于， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 将顺时针旋转得到，作的外接交于，连接， ∵，，，∴，∴， ∵，∵，，∴，∴， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大，设，则，∴， ∴，∴， ∴四边形的面积的最大值． 【变式1】（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【答案】 如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，      ∵垂直平分，∴， ∴周长 ∵在中，，∴，当点D与点M重合时，， ∴周长，∴周长的最小值， ∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，， ∴，∴周长的最小值，故答案为：． 【变式2】（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【答案】 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ，，，， 设的半径为，则，，， ，，解得：，， ，的面积的最小值为，故答案为：. 【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时，①如图，若是的直径，则的半径为 ；②如图，若，求的半径．(2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②(2)作图见解析 (3)当时， 最小值；当时，最小值 【详解】（1）解：①∵是的直径， ∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴， ∵是的直径，∴的半径为，故答案为：； ②如图，过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接， ∵，，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则，在和中， 由勾股定理得，， ∵，∴，即，解得， ∴，∴的半径为； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图，以为直径的圆与相切时，，， 即， ∵，∴，∴，即， 当时， ； 当时，可知当与相切时，半径最小，如图，过点作于，的延长线交于点，连接，则， ∴，，∵，∴， ∴是等腰直角三角形，，设，则， ∴，在中，， ∴，解得； 综上，当时， 最小值；当时，最小值． 题型06 米勒最大角模型 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． 【变式1】（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 【答案】B 【详解】解：根据题意，当的外接圆与x相切于点C时，最大， 设外接圆的圆心为D，连接，，过点D作于点E， ∵点、的坐标分别是，∴点D一定在线段的垂直平分线上， 点， 故，根据切线性质，∴，∴四边形，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：B. 【变式2】（2026·广西北海·二模）综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由图可知：∵，是所对的圆周角，∴， ∵，∴，∴． （2）当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大， ∴连接，，过点作于点，∴四边形是矩形，∴，， ∵，，∴，∴在中，， ∵点，的坐标分别是，，∴，， ∴，，∴，∴，∴点．    【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米 【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下： 如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，， ，，甲自己射门好； （2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接， 由勾股定理得：， ∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴， ∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C （3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N， ∵，∴米， ∵米，，∴米，米， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴四边形，四边形，四边形为矩形， ∴米，米，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形， ∴米，∴米，米， ∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形， 连接，设圆O的半径为r，则，∴， ∵，，∴， 解得：或（舍去），∴米， ∴米． 题型07 圆中的其他最值 【典例】（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1， ∴，∴， ∴，即的最小值为4，故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是的一条弦，，点C为平面内一点．，若点D为上任意一点，连接，若的半径是4，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，画出以为直径的圆，连接，∵，∴点C在以为直径的圆上运动， ∵若点D为上任意一点，要使长取得最大值，则过点M，O作直线分别交和于点D和点C，即此时的最长，∵是的中点，在直径所在的直线上，∴，∴， ∵的半径是4，，∴，在中，， 即，∴（舍负），∴；故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是以为直径的圆上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，是弦的中点，过点作于点，若，，则最大值是 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，连接， ∵， ∴，∵点是弦的中点，∴，∴， ∴当为的直径时，的值最大，直径，∴，，故答案为：． 题型08 阿氏圆模型 【典例】（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，∵，∴，∴， ∵，∴∴．∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵，此时．故答案为：； 模型探究：证明：∵，∴∴， 又，∴，∴，∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值．∴的最小值为13．故答案为：13． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形；。 在中，故答案为：． 【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知圆是正方形的内切圆，为圆上任一点，为的中点，连接．（1）如图1， ；（2）如图2，连接，若，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为．设圆半径为，则，， 为的中点，，，， 又，，，故答案为：； （2）由（1）可知，，， 当在的延长线上时，即点、、三点共线时，有最大值，最大值为的长， 如图2，过点作，垂足为，，，， ，，，， ，的最大值为， 的最大值为，的最大值为．故答案为：． 【变式3】（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【解答】解：在上取点，使，，， ，，，， 在延长线上取，，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 【巩固训练】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（   ） A．4米 B．米 C．米 D．5米 【答案】B 【详解】解：以为弦作圆，当圆与相切于时，最大，甲最佳射门位置是点， 连接，过作于，连接，，（米， ，四边形是矩形，，， 米，米，（米，米， （米，米， 甲位于最佳射门位置时离点的距离是米．故选：B． 2．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，并延长，交于一点G，则就是最小值； ∵矩形中，，圆A的半径为1，∴， ∴，∴，即的最小值为4，故选：A． 3.（2026·江苏·校考二模）如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】作AB的中点E，连接EM、CE、AD，则有AD=3， ∵∠ACB=90°，即在中，，∵E是斜边AB上的中点，∴， ∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴，∴在中，，即； 当C、M、E三点共线时有或者；即，∴CM最小值为5，故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以为圆心，2为半径的上运动，且始终满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，连接交于点G，延长交于点F． ∵，，，∴，，∴点D是的中点， ∵，∴，∵，∴， ∵中，，∴，解得， 当点C运动到点G时，三点共线，不构成三角形，此时的值最小，此时， 当点C运动到点F时，三点共线，不构成三角形，此时的值最大，此时，∴，∴．故答案为：． 5．（24-25九年级上·福建厦门·月考）如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点C作，交于E，连接，此时面积的最小值（是定值，只要圆上一点E到直线的距离最小即可）， ∵A、B两点的坐标分别为、，，∴ ∵的圆心坐标为，原点在上，∴，∴， ∵∴∴ ∴故选：B. 6.（2026九年级·河北·专题练习）如图，等边三角形的边长为4，的半径为3，P为上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如解图，连接，过点C作于点H． 是的切线，，当时，最小，取最小值． 为等边三角形，，，的最小值为． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是以为直径的圆上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，是弦的中点，过点作于点，若，，则最大值是 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点，连接， ∵， ∴，∵点是弦的中点，∴， ∴， ∴当为的直径时，的值最大， 直径，∴，，故答案为：． 8．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：∵∴直线过定点， ∵点，∴，又∵的半径为，∴，∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示：由垂径定理得：，∴，在中，，， 由勾股定理得：，∴，即的最小值为6．故答案为：6． 9．（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形，∴，，∴， ∵∴，∴， ∵，∴，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴，∵，∴的最小值为． 故答案为：． 10．（2025·河南信阳·一模）如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进，其中点为与的交点，连接．(1)仅从球员对球门的视角大小考虑，甲（视角）是自己射门好，还是迅速将球回传给乙（视角），让乙射门好？说明理由；(2)如图2，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动．当过，，三点的圆与水平线相切于点时，视角最大．当最大为时，此时恰好，若此时观察者与墙的水平距离是，求展品的竖直高度的长． 【答案】(1)甲自己射门好，理由见解析(2) 【详解】（1）解：甲自己射门好，理由如下：∵点，都在上，∴， ∵，∴，∴， 即甲的视角大于乙的视角，∴甲自己射门好； （2）解：如图，设与墙所在直线交于点， ∵是水平线，墙是竖直线，∴，， ∵，∴，， ∴，∴，，∴． 【强化训练】 1.（25-26九年级上·安徽合肥·校考期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，，∴，∴， ∴，即的最大值为．故选A 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：如图，．∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径．∴半径，∴． 在中，．∴．故选B． 3．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 8 18 【详解】解：当三点在一条直线上时，线段的长取得最值． 是边的中点，．，． 当点A，E在的同侧时，有最小值，最小值为； 当点A，E在的异侧时，有最大值，最大值为．故答案为：8；18． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：是的外接圆，点在、、垂直平分线的交点上，， ，，点在轴上，设， ，，圆心的坐标为， 是其外接圆上任意一点，，， 设，则，，整理得， 为实数，，解得， 的最大值为．故答案为：． 5.（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵在菱形中，，对角线，连接交于． ∴，，，， ∵设运动时间为，则，，∴，即， ∴，∴，∴， ∴，作等边三角形，以为圆心，为半径作圆，取点，连接，， ∴，，， ∴，∴在上，且在弧上， ∴在此过程中，点P的运动路径长为；故答案为： 6．（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 【答案】 /60度 【详解】解：如图，四边形是菱形，，，是等边三角形， ，， 在和中，，， ，， ，点的运动轨迹是，设圆心为，连接，，． ，，垂直平分线段， ，，，， ，， 当与相切时，的值最大，此时．故答案为：，． 7.（2025·陕西西安·模拟预测） 【问题提出】（1） 如图①， 在中， 点为的中点， 则： （填“， ， ”） 【问题探究】（2）如图②，在正方形中， ， 点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，，求 面积的最小值； 【答案】（1）；（2）； 【详解】解：（1）如图1，作于，点是的中点，， ，，，故答案为：． （2）如图2，延长， 交的延长线于点，作的外接圆，连接，，，作于，设，四边形是正方形，， 是的中点，且，，，， ，，，， ，，，， ，，，，， 当点共线时，，， ，面积的最小值为． 8.（2025·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（2） 【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，， ∵∴， 设，则， ∵，，∴，解得：， ∴，∴最小值为； （2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形， ∵，，，∴，，， ∴； ∵， ∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线， ∴， ∵为定值，∴当取得最小值时，取得最大值， ∵，∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J．设的外接圆半径为，则， 又∵，∴，∴， 当点O在上时，最短，此时，∴， ∴． （3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H． ∵，∴，同理可得：， 设，则，， ∵，∴，∴，∴， ∴的面积的最小值为，∴的面积的面积的最小值为， ∴五边形的面积的最大值， ∴种植乙花面积的最大值为． 9．（24-25九年级上·广东中山·期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】(1)如图2，当弦，时，求外接圆的半径． (2)如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G．①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 【答案】(1)(2)①， ②， ③ 【详解】（1）解：如图：作的外接圆，圆心为O，过O作交于点E ∵，∴ ∵∴ ∵∴∴∴ 在中， ∴    ∴ （2）①证明：在正方形中，，， ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴．故答案为：； ②点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，∴点在上，当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合，∴点G的路径为， ∵，O为的中点，∴，∴， ∴的长度为，即点G经过的路径为； 连接，在中 所以当O、C、G三点共线时取最小值为 ③解：如图，连接，∵点I是的内心，∴， ∴， ∵，∴， ∴，∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵，∴， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵，∴， 即线段最小值为．故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）【问题情境】如图1，是外的一点，直线分别交于点、．小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】如图3，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】如图4，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】如图5，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 【答案】【问题情境】小红的说法正确，理由见解析【直接运用】【构造运用】【深度运用】 【详解】解：【问题情境】：小红的说法正确，在圆上任意取一个不同于点的点，连接、， ∵在中，，∴，即， ∴线段是点到圆上各点的距离中最长的线段．∴小红的说法正确； 【直接运用】：取半圆的圆心，连接交半圆于点，则当与点重合时，最小， ∵，，∴，，∴， ∴的最小值为；故答案为：； 【构造运用】：由折叠知，∵是的中点，∴， ∴点，，都在以为直径的圆上，如图，以点为圆心，为半径画，连接． 当长度取最小值时，点在上，过点作于点， ∵在边长为2的菱形中，，为中点， ∴，，∴，∴． ∴，， ∴，∴； 【深度运用】：如图，在的上方作等边，连接，取的中点连接， ∵是半圆的直径，∴，∵和都是等边三角形， ∴，，， 即，∴，∴， ∴，∴点在以为直径的半圆上， ∵是的中点，，∴，， ∴， ∴根据三角形的两边之和大于第三边可得的最大值为，故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆中的最值模型 1.知识目标：掌握圆背景下线段最值、周长最值、面积最值常见模型（点圆距离、线圆距离、定弦定角、隐圆、阿氏圆、胡不归）。 2.能力目标：能识别隐圆（动点轨迹是圆）；区分不同最值模型适用条件；会转化所求线段，把动态最值转为定点到圆/直线距离。 3.应试目标：处理圆综合、几何动点压轴，解决线段最大最小、面积最值。 1.点与圆距离最值：定点 P，⊙O 半径 r；PAmax=PO+r；PAmin=|POr| 2.定弦定角隐圆模型：固定线段，动点对线段张角固定，动点轨迹为圆弧；是高频隐圆来源。 3.线圆最值：圆上点到定直线距离最大最小，过圆心向直线作垂线。 4.阿氏圆：PA+k PB，k≠1，构造母子相似转化线段。 5.胡不归：PA+kPB，k<1，转化角度构造直角三角形，处理带系数线段。 6.周长、面积最值：转化为线段最值；定圆中弦长最大为直径。 题型01 瓜豆模型（圆弧轨迹） 【典例】（25-26九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，D是以点A为圆心，3为半径的圆上一点，连接是的中点，则线段长度的最小值为 ． 【变式1】（2025·山东·二模）如图，点是上一个动点，点在外一个定点，已知是等边三角形．当点在上运动时，点的位置也跟着发生改变，则的最小面积为 ． 【变式2】（2025·江苏·校考一模）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在半径为4的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型02 最值模型（隐圆） 【典例】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点E、F分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为 ． 【变式3】（2025·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的中点，点是边上的一动点连接，将沿折叠，若点的对应点，连接，则的最小值为 ．当为直角三角形时，的长为 ． 题型03 点与圆上一点的最值问题 【典例】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在以为圆心，1为半径的圆周上运动，且始终满足，则的值可能是（   ） A． B．4 C．5 D．6 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·月考）如图，在中，，，O为的斜边中点，以C为圆心，2为半径作，P为上的一个动点，连接，则面积的最大值为 ． 【变式3】（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 题型04 切线长相关的最值 【典例】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是 ． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， 在中，，，的半径为，点在边上运动（可与端点重合），过点的直线与相切于点，则的最大值为 ，最小值为 ． 题型05 定角定高（探照灯）模型 【典例】（2026·陕西·二模）问题探究（1）如图1．在中，，为上一点，．则面积的最大值是_______．（2）如图2，在中，，为边上的高，为的外接圆，若，试判断是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．          问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地，，，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘，且满足点在上，，点在上，且，点在上，点在上，，这个四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．    【变式2】（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．    【变式3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时，①如图，若是的直径，则的半径为 ；②如图，若，求的半径．(2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 题型06 米勒最大角模型 【典例】（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 【变式1】（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 【变式2】（2026·广西北海·二模）综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．    (1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：． (2)【问题解决】如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆⊙与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标． 【变式3】（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由． 【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接， ，______，，，______射门好； 【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______． A．点　　B．点或点　　C．线段（异于端点）上一点    D．线段（异于端点）上一点 （3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度． 题型07 圆中的其他最值 【典例】（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是的一条弦，，点C为平面内一点．，若点D为上任意一点，连接，若的半径是4，则长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是以为直径的圆上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，是弦的中点，过点作于点，若，，则最大值是 ． 题型08 阿氏圆模型 （该模型需要用到九年级下册的相似三角形） 【典例】（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【变式2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知圆是正方形的内切圆，为圆上任一点，为的中点，连接．（1）如图1， ；（2）如图2，连接，若，则的最大值为 ． 【变式3】（2025·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 　　． 【巩固训练】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（   ） A．4米 B．米 C．米 D．5米 2．（2025·江苏淮安·一模）如图，矩形中，，以A为圆心，1为半径作．若动点在上，动点在上，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.（2026·江苏·校考二模）如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以为圆心，2为半径的上运动，且始终满足，则的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·福建厦门·月考）如图，已知A、B两点的坐标分别为、，的圆心坐标为，原点在上，E是上的一动点，则面积的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 6.（2026九年级·河北·专题练习）如图，等边三角形的边长为4，的半径为3，P为上一动点，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为 ． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，是以为直径的圆上的两个动点（点不与重合），在运动过程中弦始终保持不变，是弦的中点，过点作于点，若，，则最大值是 ． 8．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 9．（2025·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 10．（2025·河南信阳·一模）如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进，其中点为与的交点，连接．(1)仅从球员对球门的视角大小考虑，甲（视角）是自己射门好，还是迅速将球回传给乙（视角），让乙射门好？说明理由；(2)如图2，墙壁上一副展品距地面最高处为点、最低处为点，人观看展品时眼睛可以在水平线上移动．当过，，三点的圆与水平线相切于点时，视角最大．当最大为时，此时恰好，若此时观察者与墙的水平距离是，求展品的竖直高度的长． 【强化训练】 1.（25-26九年级上·安徽合肥·校考期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 2．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 3．（2026九年级·河北·专题练习）如图，在中，是边的中点，以D为圆心，长为半径作是上一点，若，则的最小值为 ，最大值为 ． 4．（2025·江苏南京·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为 ． 5.（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形中，，对角线．点M从点A出发，沿方向以的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿方向以的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，交于点P．在此过程中，点P的运动路径长为 ． 6．（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，，，分别是边，上的两个动点，满足，与交于点．的度数为 ；当最大时，线段的长是 ． 7.（2025·陕西西安·模拟预测） 【问题提出】（1） 如图①， 在中， 点为的中点， 则： （填“， ， ”） 【问题探究】（2）如图②，在正方形中， ， 点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，，求 面积的最小值； 8.（2025·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值； 【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值； 【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 9．（24-25九年级上·广东中山·期中）【模型提出】如图1，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】(1)如图2，当弦，时，求外接圆的半径． (2)如图3，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G．①在点G的运动过程中 ． ②在图3中，点E从点B到点C的运动过程中，求点G经过的路径长和的最小值． ③在图3中，若点I是的内心，连接，则线段的最小值． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）【问题情境】如图1，是外的一点，直线分别交于点、．小明认为线段是点到上各点的距离中最短的线段，他是这样考虑的：在上任意取一个不同于点的点，连接、，则有，即，由得，即，从而得出线段是点到上各点的距离中最短的线段． 小红认为在图1中，线段是点到上各点的距离中最长的线段，你认为小红的说法正确吗？请说明理由． 【直接运用】如图3，在中，，，以为直径的半圆交于，是上的一个动点，连接，则的最小值是______； 【构造运用】如图4，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，请求出长度的最小值． 【深度运用】如图5，已知点在以为直径，为圆心的半圆上，，以为边作等边，则的最大值是________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $