2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中摸底卷

2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中摸底卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．如图，在菱形中，点是边上一点，连接、，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 2．如图，矩形中，对角线和相交于点O，且，，则矩形的面积是（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】易得为含30度角的直角三角形，进而求出的长，再根据矩形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴矩形的面积是. 3．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 4．如图所示，四边形四边形，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似多边形的性质得到，进而求出的度数． 【详解】解：四边形四边形， ． 四边形的内角和为， ． 5．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 6．如图，已知，，是正十二边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正十二边形的外部作正方形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的内角和和正方形的性质计算． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 正十二边形的每个内角为，即， ∴． 7．如图，点是与的位似中心，若，，则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由位似图形的性质得，，由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 与是位似图形， ， ∴， ， ， 解得：． 8．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若关于的方程是倍根方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据“倍根方程”的定义，设出方程的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系建立等式，化简即可求出的值． 【详解】解：设方程的两个根分别为和，且．根据一元二次方程根与系数的关系可得： 由①得：，即． 将代入②得： 化简得：． 两边同乘（）得：． 9．如图，四边形是菱形，对角线，交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】菱形对角线互相垂直，为中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出，再用勾股定理算出，得到．利用菱形面积两种表达形式：，即可求出． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是直角三角形． 是中点，， ， ． 在中，，由勾股定理： ， ， ， 又， ， ， ． 10．在菱形中，，于点，，连结交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形性质求出、长度及长度，通过勾股定理求出，再利用构造相似三角形，根据对应边成比例求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 解得． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若方程是关于的一元二次方程，则的值是_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴， 解，得或，即或， 又∵，即， ∴． 12．如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 【答案】 【分析】先根据正方形面积求出正方形边长，再用边长减去，分别求出矩形的长和宽，求出矩形面积． 【详解】正方形面积为147， 正方形边长为， ，， ． 13．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，花圃面积为，设与墙垂直的一边长为，则可以列出方程是______________． 【答案】 【分析】根据题意得出平行于墙的一边长为，再由面积建立方程即可． 【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∵花圃面积为， ∴． 14．如图，是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上．分别交于点，．小明发现与位似，其位似中心是___________． 【答案】点F 【分析】本题主要考查了求两个位似图形的位似中心，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．证明，得出点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点，证明， ，根据底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，得出与在同一直线上，即可证明结论． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点A与点D为对应点，点B与点Q为对应点， ∵，， ∴为平行四边形， ∴， 同理：四边形为平行四边形， ∴， ∵底边在同一直线上，且过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴与在同一直线上， ∴与交于点F， ∴与的位似中心为点F． 故答案为：点F． 15．如图，在矩形中，，，、是上不与和重合的动点，，________． 【答案】 【分析】过点、作、，根据矩形的性质可知，，根据三角形的面积公式可求，证得，再根据三角形的面积公式求出阴影的面积． 【详解】解：如下图所示，过点、作、， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ，， ， ， ． 16．△中，，，点是直线上一点，且，过点作边的平行线，交直线于点，则的长为_______． 【答案】6或 【分析】分点P在边上和点P在边的延长线上两种情况，分别画出图形，利用平行线分线段成比例定理进行解答即可． 【详解】解：如图1，当点P在边上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 如图2，当点P在边的延长线上时， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为6或． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解求解一元二次方程即可得出答案． （2）用公式法求解一元二次方程即可得出答案． 【详解】（1）解：， 提取公因式：， ∴或， 解得，． （2）解：， ∴判别式， ∴， ∴，． 18．如图，在和中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 解：∵，， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角的和差等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角的和差即可证明结论； （2）直接运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是边，的中点，连接并延长，交于点，交的延长线于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：点，分别是边，的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）证明即可证明四边形是菱形； （2）首先证明四边形是平行四边形，再利用菱形的性质，勾股定理，求的长即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：点，分别是边，的中点， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是菱形 ，， ，， ， ， ， 根据勾股定理，得． 20．如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，三个顶点分别为，，．已知与是位似图形，且，． (1)在P、Q两个点中，位似中心是点______； (2)在网格中将补充完整，并写出点的坐标； (3)______． 【答案】(1) (2)如图， (3) 【分析】（1）位似图形对应顶点连线交于位似中心，直线与交点即为位似中心； （2）按照位似放大倍数延长得到对应点； （3）先求对应边长得到位似比为，根据位似图形面积比等于位似比的平方，得到面积比值为． 【详解】（1）解：如图， 与交于点， 位似中心是点； （2）略 （3）解：，，，， ，， ， ． 21．甲公司销售成本价为40元的产品，如图所示，该产品的月销量（单位：kg）与售价（单位：元／kg）之间的函数关系图象： (1)求月销量与售价之间的函数关系式，并求出当售价为50元时，该产品的月销量与总利润； (2)若商家要求进货成本控制在15000元以内，则当售价为多少时，总利润为8000元？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为，当售价为50元/kg时，总利润为5000元． (2)当售价为80元时，总利润为8000元 【分析】（1）根据图象求出一次函数的解析式即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，则 解得 ． 当时，． 利润为（元）． 故与之间的函数关系式为，当售价为50元／kg时，该产品的月销量为500kg，总利润为5000元． （2）解：依题意，得， 整理，得， 解得． 当时，，此时成本为，不合题意，舍去； 当时，，此时成本为． 综上所述，当售价为80元时，总利润为8000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，正确的运算是解题的关键． 22．如图，在菱形中，对角线相交于点，点均在对角线上，且，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，，． ， ，即． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形； (2)． 【分析】（1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）根据正方形的性质得到，，，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴． 23．如图1，矩形中，，，点在边上，，点，在线段上运动（点在点的左侧），且始终保持． (1)当四边形是菱形时，求线段的长； (2)将沿折叠得到，连接（如图2），当以点，，，为顶点的四边形是矩形时，求线段的长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）因为四边形是矩形，所以，；由四边形是菱形可得；在中，利用勾股定理算出的值，即可求出线段的长； （2）由沿折叠得到，即；以点，，，为顶点的四边形是矩形，分情况讨论 .情况一：，利用三角形等面积法和勾股定理联立方程组解出线段的值，再利用在中的勾股定理计算出的值，即可求出线段的长；情况二：当时，四边形是矩形，又因为以点，，，为顶点的四边形是矩形，从而得出，，即可求出线段的长. 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴； 在中，有， ∴， ∴； （2）解：∵沿折叠得到， ∴， ∵点，，，为顶点的四边形是矩形， ∴情况一：，如图： 过点作于， ∴， ∵， ∴即， ∴①， ∵在中，有， ∴②， 联立①②得， 解得或； 在中，有， ∴， 当时， ∴； 当时， ∴； 即线段的长为或； 情况二：当时，四边形是矩形，如图： ∴， ∵， ∴， 即线段的长为或或 ． 24．如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，．过点作，交边于点，以为邻边作矩形． (1)求证：； (2)连接，若，求出的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 过点E作于点M，于点N，则， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， 即， ， ∴， 即， ， ，，， ， ， ， ， ∴． (2) 【分析】（1）先由正方形的性质有，，即可证明，得到．过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，即可得出结论； （2）连接，先证明矩形是正方形，进而可得，从而，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵， ∴矩形是正方形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ， ， ， ，， ． ∵在正方形中，，， ， ， ∴在中，． ∵在正方形中，，， ∴， ． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版九年级数学上册期中摸底卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE、DE,AE=AB,若∠B=72°，则∠AED的 度数为() E A.54° B.56° C.58 D.60° 2.如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,且∠AOD=120°，AC=4,则矩形ABCD的面 积是() A.2V5 B.4V5 c.6V3 D.8 3.郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为297.9万元.设平均每月营业额 的增长率为x,则下面所列方程正确的是() A.901+x}=297.9 B.901-x}=297.9 c.90(1+2x)=297.9 D.90+90(1+x)+90(1+x)2=297.9 4.如图所示，四边形ABCD∽四边形AB'CD',∠A=105,∠B=100°，∠D'=80°，则∠C=() 105° D BQ100° B A.75° B.80° C.85 D.90° 试卷第1页（共3页） 5.关于x的一元二次方程 x2-2(m+1)x+m2+5=0 有两个实数根，与，若（：-1(x-)=28 则m的 值为() A.4 B.6 C.-4或6 D.6或4 6.如图，已知AB,BC,CD是正十二边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正十二边形的外 部作正方形BCMN,则∠ABN的度数是() D B A.120° B.130° C.135° D.150 7.如图，点O是C与△DT的位创中.若D=01,5m=2 则4ABC 的面积为() D A A.2 B.3 C.4 D.5 8.如果关于x的一元二次方程a2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这 样的方程为“倍根方程”，若关于*的方程心+2x+g= 是倍根方程，则P的值为() 、> 8 A. B.9 C.2 D.4 9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O,DE⊥AB于点E,F是线段AD的中点， 连接OF.若OA=8,OF=5,则DE的长为(). D B 48 12 24 A.5 B.5 c.5 D.24 10.在菱形ABCD中，AB=10,AE⊥BC于点E,EC=4,连结BD交AE于点F,则AF的长为 试卷第2页（共3页） D F ■ E A.4 B.5 c.6 D.4.8 二、填空题（每题3分，共18分） 1.若方程m+x+(m-3)x+1=0 是关于x的一元二次方程，则m的值是 12.如图，将矩形4BCD的长边AD增加V5,宽边AB增如6,3，得到一个面积为147的正方形1EFG.则 原矩形ABCD的面积是 D B 13.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成， 为方便进出，在垂直于墙的一边留一个lm宽的门，花圃面积为80m,设与墙垂直的一边长为xm,则可 以列出方程是 住房墙 1m 14.如图，△ABC,aDCE,aFEG是三个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG在同一直线上.BF分别交 4CCD,DE于点Be,R.小明发现△MBr与△DO ”于点 与 位似，其位似中心是 试卷第3页（共3页） 15.如图，在矩形 BCD中，MB=,D=5,B、F是4C上不与4和C重合的动点，4B=OF, S刷w= D 16.△ABC中，AB=6,AC=9,点P是直线AB上一点，且AP=2,过点P作BC边的平行线，交直线 AC于点M,则MC的长为一 三、解答题（每题9分，共72分) 17.解方程： 4x(x-3)-(x-3)=0 (2)2x2-5x+1=0 AB BC AC 18.如图，在AABC和A4DE中，ADDE AE· (1)求证： ∠BAD=∠CAE (2)求证：△BADACAE, 19.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,F分别是边AB,AD的中点， 连接FE并延长，交AC于点G,交CB的延长线于点H,且AE=AF. 试卷第4页（共3页） D H (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若∠H=30°，BH=3,求HG的长. 20.如图，在每个小正方形边长均为1个单位长度的网格中建立平面直角坐标系，△ABC三个顶点分别为 1-.0).BQ,,C-).已知MBC与△4B9是位似图形，且4-，2)，BL4) B A A C衣 (1)在P、Q两个点中，位似中心是点一： △ABC C (2)在网格中将 补充完整，并写出点的坐标： S△ABS= (3)S△ABC 21.甲公司销售成本价为40元kg的产品，如图所示，该产品的月销量y(单位：kg)与售价x(单位： 元/kg)之间的函数关系图象： ty/kg 600 400 0 4060x/(元g 试卷第5页（共3页） ()求月销量y与售价x之间的函数关系式，并求出当售价为50元kg时，该产品的月销量与总利润： (2)若商家要求进货成本控制在15000元以内，则当售价为多少时，总利润为8000元？ 22.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F均在对角线BD上，且 BE=DF,AC=EF AE,CE,CF,AF ，连接 ()求证：四边形AECF是正方形. (2若4E=2V2,0B=3 求BC的长. 23.如图1，矩形4BCD中，B=5,BC=9,点E在C边上，E=4,点F.G在线段4D上运动 中， (点F在点G的左侧)，且始终保持FG=BE 图1 图2 (I)当四边形BEGF是菱形时，求线段DG的长： (2)将△BEF沿EF折叠得到△B'EF,连接B'G(如图2)，当以点B,G，E,F为顶点的四边形是矩形 时，求线段DG的长 24.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,BE.过点E作EF⊥DE,交边BC 于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG. 试卷第6页（共3页） 备用图 (I)求证：BE=DE=EF: ②连按CG,者B=9CG=35,求出DG的长。 试卷第7页（共3页）