第五单元 圆 第6课时 圆的面积应用与圆环 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《第五单元 圆 第6课时 圆的面积应用与圆环》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册（教材P81）　（本文 π 一律取近似值 3.14 计算） 一、知识梳理 本课学习圆的面积公式的实际应用与圆环面积的计算，对应教材第81页的例6、例7、“试一试”与“练一练”。核心是把 S＝πr² 用活：已知半径直接算，已知直径先求半径，已知周长先求半径；在圆环和组合图形中学会“分一分、减一减、加一加”。下面的表格把本课要点整理清楚。 要点 具体内容 圆的面积公式 圆的面积＝圆周率×半径的平方，即 S＝πr²。S 表示面积，r 表示半径，π 取 3.14。计算时一定要先算 r² 是多少，再乘 3.14。 已知半径求面积 直接把半径代入 S＝πr²。如例6，喷水器最远喷水距离是 5 米，S＝3.14×5²＝3.14×25＝78.5（平方米）。 已知直径求面积 直径不能直接代入面积公式，要先求半径：r＝d÷2，再用 S＝πr²。如鸡圈直径 18 米，r＝18÷2＝9（米），S＝3.14×9²＝3.14×81＝254.34≈254（平方米）。 已知周长求面积 先由周长求半径：r＝C÷π÷2，再用 S＝πr²。先后顺序不能颠倒，求半径是必经的一步。 旋转喷灌问题 喷水器旋转一周，喷灌的区域是一个圆；“最远喷水距离”就是这个圆的半径。求喷灌面积就是求半径为该距离的圆的面积（例6）。 圆环的意义 两个半径不相等的同心圆，它们之间（大圆挖去小圆后）的部分叫作圆环，也叫环形。圆环的宽度＝外圆半径−内圆半径。 圆环的面积 圆环的面积＝外圆面积−内圆面积。用 R、r 分别表示外圆、内圆的半径，则 S＝πR²−πr²，也可写成更简便的 S＝π(R²−r²)。如例7，外圆半径10厘米、内圆半径6厘米，S＝3.14×(10²−6²)＝3.14×64＝200.96（平方厘米）。 组合图形的面积 由几个基本图形拼成的图形叫组合图形，先看清它由哪几部分组成，分别求出各部分的面积，再按“相加”或“相减”求出总面积。如窗户由正方形和半圆组成，正方形面积＋半圆面积＝窗户面积（“试一试”）。 公式的逆运用 已知圆的面积求半径：先求 r²＝S÷π，再想几的平方等于这个数。如面积是 28.26 平方厘米，r²＝28.26÷3.14＝9，因为 3²＝9，所以 r＝3 厘米。 二、算理剖析 圆的面积怎样求？圆环为什么要用减法？把这几个“为什么”想明白，公式就用得准、用得活。 ① 为什么计算面积前要先看清已知的是半径、直径还是周长？因为公式 S＝πr² 里的 r 是半径，只有半径才能直接代入。题目往往给的是直径或周长，必须先把它转成半径，否则一定算错。这一步是本课的第一道关口，看清条件再动笔。 ② 已知直径求面积，为什么必须先除以 2？直径 d＝2r，半径是直径的一半。若把直径直接当半径代入，等于把 r 换成了 2r，算出的面积会是正确结果的 4 倍（因为 (2r)²＝4r²）。所以直径求面积的第一步永远是 r＝d÷2。 ③ 已知周长求面积，为什么要先除以 π 再除以 2？由周长公式 C＝πd 得 d＝C÷π，先求出直径；再由 d＝2r 得 r＝d÷2，即 r＝C÷π÷2。求出半径后才能代入 S＝πr²。求半径是连接“周长”和“面积”的桥梁，桥没搭好，面积就出不来。 ④ 圆环的面积为什么要用减法？圆环是“大圆里挖去一个同心小圆”后剩下的部分。整个大圆的面积是 πR²，被挖去的小圆面积是 πr²，剩下的就是 πR²−πr²。所以求圆环面积不是新公式，而是“总面积减去挖去的部分”，思路和长方形的面积相减是一致的。 ⑤ 为什么 S＝π(R²−r²) 比分别算再相减更简便？把 π 提出来（乘法分配律），可以先算半径的平方差，再乘一次 π。如 R＝10、r＝6 时，先算 10²−6²＝100−36＝64，再算 3.14×64＝200.96，只需一步乘 3.14；而分别算要乘两次 3.14。数据越大，简便算法的优势越明显。 ⑥ 组合图形的面积为什么用加法，半圆面积为什么除以 2？组合图形是几个基本图形“拼”起来的，总面积等于各部分面积之和，所以用加法。半圆是整圆的一半，所以半圆的面积＝整圆面积÷2＝πr²÷2；注意半圆的半径是它直径的一半，别把直径当半径代入。 提醒：面积的单位是“平方”单位（平方厘米、平方米），与长度的单位（厘米、米）不同。写结果时单位不能漏、不能错，这是本课最容易丢分的地方之一。 三、方法归纳 （一）求圆的面积的一般步骤 ① 读题，找圆：判断题目中是哪一个圆，找出与它有关的数据。 ② 转化条件：已知直径先求半径 r＝d÷2；已知周长先求半径 r＝C÷π÷2；已知半径直接进入下一步。 ③ 代入公式：S＝πr²，先算 r²，再乘 3.14。 ④ 写清单位、写答语：面积单位带“平方”。 （二）求圆环面积的两种方法 ① 分步相减法（解法一）：先分别算出外圆面积 πR² 和内圆面积 πr²，再相减，S＝πR²−πr²。如例7：3.14×10²−3.14×6²＝314−113.04＝200.96（平方厘米）。 ② 平方差简算法（解法二）：先算半径的平方差 R²−r²，再乘 π，S＝π(R²−r²)。如例7：3.14×(10²−6²)＝3.14×(100−36)＝3.14×64＝200.96（平方厘米）。 ③ 两种方法结果一定相同，解题时根据数据特点选择：数字好算就用解法二，要求分步说理就用解法一。 （三）解决组合图形面积的步骤 ① 观察图形由哪几部分组成（如一个正方形和一个半圆）； ② 找出各部分各自需要的数据（边长、直径或半径）； ③ 分别求出各部分的面积，按“加”或“减”合并； ④ 若题目要求保留几位小数，最后一步再取近似值，并写清约等于符号“≈”。 （四）圆环问题的解题三步 ① 分清外圆和内圆，分别写出外圆半径 R 和内圆半径 r（题目若给直径，都要先除以 2）； ② 写出圆环面积式 S＝π(R²−r²)； ③ 先算括号里的平方差，再乘 3.14，最后写单位与答语。 四、易错警示 ✗ 错误：直径 18 米的鸡圈，S＝3.14×18²＝1017.36（平方米），把直径 18 米直接当成了半径。 → ✓ 正确：先求半径 r＝18÷2＝9（米），S＝3.14×9²＝3.14×81＝254.34≈254（平方米）。 ✗ 错误：圆环零件只算外圆面积 314 平方厘米，忘记减去内圆。 → ✓ 正确：圆环面积＝外圆面积−内圆面积＝314−113.04＝200.96（平方厘米），或用 3.14×(10²−6²)＝200.96（平方厘米）。 ✗ 错误：已知周长 12.56 米求面积，第一步写成 r＝12.56÷2＝6.28（米）。 → ✓ 正确：先用周长求半径 r＝C÷π÷2＝12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（米），再算 S＝3.14×2²＝12.56（平方米）。求半径要先把周长除以 π，不能直接除以 2。 ✗ 错误：计算半圆面积时把直径当成半径，如直径 8 厘米的半圆算成 3.14×8²÷2＝100.48（平方厘米）。 → ✓ 正确：半径 r＝8÷2＝4（厘米），整圆面积 3.14×4²＝50.24（平方厘米），半圆面积 50.24÷2＝25.12（平方厘米）。 ✗ 错误：面积单位写成“厘米”“米”，如把 78.5 平方米写成 78.5 米。 → ✓ 正确：面积的单位是平方单位，78.5 平方米、200.96 平方厘米。算的是“面”的大小，单位必须带“平方”。 ✗ 错误：把“旋转一周喷灌的面积”当成求周长，用 C＝2πr 去算。 → ✓ 正确：喷灌的是“一片区域”，求的是面积，用 S＝πr²；只有问“转一圈喷灌器走了多远”时才是求周长。 ✗ 错误：先算 R² 再单独乘 π、r² 也单独乘 π，最后相减时把两个近似积相减，遇到数据较大时容易算错。 → ✓ 正确：优先用 S＝π(R²−r²)，先把平方差算成一个整数，再乘一次 3.14，既简便又不易出错。 五、典型例题 例1　已知半径求面积（例6·喷灌） 一个自动喷水器的最远喷水距离大约是 5 米，它旋转一周喷灌的面积大约是多少平方米？ 解：喷水器旋转一周，喷灌的区域是以 5 米为半径的圆，求喷灌面积就是求这个圆的面积。 S＝πr²＝3.14×5²＝3.14×25＝78.5（平方米）。 答：它旋转一周喷灌的面积大约是 78.5 平方米。 点睛：“最远喷水距离”就是圆的半径。要先算 5²＝25，再乘 3.14；喷灌的是面积，不是周长。 例2　圆环的面积（例7·解法一） 一个零件的横截面是圆环形，外圆半径 10 厘米，内圆半径 6 厘米。这个零件横截面的面积是多少平方厘米？ 解：外圆面积 S外＝3.14×10²＝3.14×100＝314（平方厘米）； 内圆面积 S内＝3.14×6²＝3.14×36＝113.04（平方厘米）； 圆环面积＝314−113.04＝200.96（平方厘米）。 答：这个零件横截面的面积是 200.96 平方厘米。 点睛：圆环面积＝外圆面积−内圆面积。分步算的好处是每一步都看得见，便于检查；千万别只算外圆就作答。 例3　圆环的简便算法（例7·解法二） 同例2，改用字母公式计算。 解：S＝π(R²−r²)＝3.14×(10²−6²)＝3.14×(100−36)＝3.14×64＝200.96（平方厘米）。 答：这个零件横截面的面积是 200.96 平方厘米。 点睛：先算括号里的平方差，再乘 π，只需乘一次 3.14，比解法一简便。两种解法结果相同，可互相验算。 例4　组合图形的面积（“试一试”） 一扇窗户由一个正方形和一个半圆形组合而成，正方形的边长是 1.8 米，半圆的直径与正方形边长相等。这扇窗户的面积是多少平方米？ 解：正方形面积＝1.8×1.8＝3.24（平方米）； 半圆半径 r＝1.8÷2＝0.9（米），半圆面积＝3.14×0.9²÷2＝3.14×0.81÷2＝1.2717（平方米）； 窗户面积＝3.24＋1.2717＝4.5117≈4.51（平方米）。 答：这扇窗户的面积大约是 4.51 平方米。 点睛：组合图形先“分”，再分别算，最后相加。半圆的直径就是正方形的边长，求半圆面积时先求半径 0.9 米，再除以 2。 例5　已知直径求面积（“练一练”第1题） 小春家有一个圆形鸡圈，直径是 18 米。这个鸡圈的占地面积大约有多少平方米？（得数保留整数） 解：先求半径 r＝18÷2＝9（米）； S＝3.14×9²＝3.14×81＝254.34≈254（平方米）。 答：这个鸡圈的占地面积大约是 254 平方米。 点睛：已知直径求面积，第一步先除以 2 求半径。最后按题目要求保留整数，要用“≈”。 例6　已知直径求圆环面积（“练一练”第2题） 马路中间有一块直径 30 米的圆形绿地，绿地中间有一个直径 10 米的圆形花坛，其余是草坪。草坪的占地面积是多少平方米？ 解：外圆半径 R＝30÷2＝15（米），内圆半径 r＝10÷2＝5（米）； 草坪面积＝3.14×(15²−5²)＝3.14×(225−25)＝3.14×200＝628（平方米）。 答：草坪的占地面积是 628 平方米。 点睛：题目给的是直径，外圆、内圆都要先除以 2 求半径，再用 S＝π(R²−r²)。草坪就是圆环，用外圆面积减花坛面积。 六、拓展延伸 ① 环形小路的面积：一个圆形花坛的周长是 62.8 米，在花坛周围铺一条 1 米宽的小路。先由周长求花坛半径 r＝C÷π÷2＝62.8÷3.14÷2＝20÷2＝10（米），小路外沿半径 R＝10＋1＝11（米）。小路面积＝3.14×(11²−10²)＝3.14×(121−100)＝3.14×21＝65.94（平方米）。环宽不同、数据不同，方法一样：先分别找出内、外圆半径，再求圆环面积。 ② 已知面积求半径（公式逆用）：一个圆的面积是 28.26 平方厘米，求它的半径。由 S＝πr² 得 r²＝S÷π＝28.26÷3.14＝9，因为 3²＝9，所以 r＝3（厘米）。再求周长就是 C＝2πr＝2×3.14×3＝18.84（厘米）。这体现了面积、半径、周长之间的相互转化。 ③ 同样的绳子围成圆和正方形哪个面积大：一段长 12.56 米的绳子，围成圆时半径 r＝12.56÷3.14÷2＝2（米），面积＝3.14×2²＝12.56（平方米）；围成正方形时边长＝12.56÷4＝3.14（米），面积＝3.14×3.14＝9.8596（平方米）。12.56＞9.8596，说明周长相同时圆的面积比正方形大。这是数学中很有意思的结论，也说明“周长相等，形状不同，面积可能不同”。 ④ 圆环里的“环宽”：圆环的宽度等于外圆半径减内圆半径，记作 R−r。当两条圆环的环宽相等、圆心相同时，外侧圆环的面积更大。如 R＝10、r＝6 的圆环面积是 200.96 平方厘米；R＝6、r＝2 的圆环环宽也是 4 厘米，面积却是 3.14×(36−4)＝3.14×32＝100.48 平方厘米。可见环宽相同，圆环面积不一定相同，因为面积与半径的平方差有关。 七、本课小结 1. 圆的面积公式：S＝πr²。计算时先算 r² 是多少，再乘 3.14；面积的单位是平方单位。 2. 求面积前先“转化条件”：已知直径先求半径 r＝d÷2；已知周长先求半径 r＝C÷π÷2；已知半径直接代入。 3. 喷水器旋转一周，喷灌的区域是一个圆，“最远喷水距离”就是半径，喷灌面积用 S＝πr² 计算（例6）。 4. 圆环的面积＝外圆面积−内圆面积，即 S＝πR²−πr²＝π(R²−r²)；先算平方差再乘 π 更简便（例7）。 5. 组合图形的面积先“分”后“合”：看清由哪几部分组成，分别求出各部分面积，再相加或相减；半圆的面积＝整圆面积÷2。 6. 面积、半径、周长可以相互转化：由面积求半径先算 r²＝S÷π；由周长求面积先求半径。解题时按“读题找圆—转化条件—代入公式—写单位答语”四步走，就不容易错。 学科网（北京）股份有限公司 $