第五单元 圆（知识清单）数学苏教版六年级上册（新教材）

第五单元 圆 单元知识清单讲义 知识点一：认识圆和扇形 一、圆 1、圆的定义：圆是由一条曲线围成的封闭平面图形，没有顶点、没有边，是轴对称图形。 2、各部分名称：圆心（O）是圆的中心，决定圆的位置；半径（r）是连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小；直径（d）是通过圆心且两端都在圆上的线段。 3、核心特征：同一个圆内，有无数条半径、无数条直径；所有半径长度相等，所有直径长度相等；直径是半径的2倍，半径是直径的一半，公式：d=2r、=d÷2。 4、轴对称特征：圆有无数条对称轴，所有直径所在的直线都是圆的对称轴。 5、画圆方法：固定圆心、定好半径，旋转一周即可画出圆，圆心定位置，半径定大小。 二、扇形 1、扇形定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分。 2、各部分名称：扇形的曲线部分叫做弧；两条半径的夹角叫做圆心角，圆心角决定扇形的大小。 3、大小规律：在同一个圆中，圆心角越大，扇形越大；圆心角越小，扇形越小。 4、特殊扇形：圆心角是90°的扇形是四分之一圆，圆心角是180°的扇形是半圆，半圆也是特殊的扇形。 5、轴对称特征：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴。 知识点二：圆的周长和面积 一、圆的周长 1、‌周长定义‌：围成圆的曲线的总长度叫做圆的周长，用字母C表示。 2、‌圆周率π‌：圆的周长与自身直径的比值是固定的无限不循环小数，这个固定值就是圆周率，日常计算中通常取近似值‌π≈3.14‌，我国古代数学家祖冲之最早将圆周率精确到小数点后7位。 3、‌核心周长公式‌：已知直径时，‌C=πd‌；已知半径时，‌C=2πr‌。 4、‌高频易错点：半圆周长‌：半圆的周长不是整圆周长的一半，必须额外补上一条直径的长度，完整公式为‌半圆周长=πr+d=πr+2r‌，例如半径为3米的半圆，周长是3.14×3+2×3=15.42米，不能错算成9.42米。 5、‌公式逆用规则‌：已知周长求直径，用‌d=C÷π‌；已知周长求半径，‌r=C÷π÷2‌。 6、‌周长变化规律‌：圆的半径扩大n倍，直径和周长也同步扩大n倍；半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米；直径增加b厘米，周长就增加πb厘米。 二、圆的面积 1、‌面积定义‌：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2、‌面积公式推导‌：把圆平均分成若干偶数份，剪开后拼接成近似长方形，分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。其中长方形的宽等于圆的半径r，长方形的长等于圆周长的一半πr，结合长方形面积=长×宽，推导出圆的面积公式。 3、‌核心面积公式‌：‌S=πr²‌，注意这里是半径的平方，不是半径乘2，这是单元高频易错点。 4、‌半圆面积计算‌：半圆的面积是整圆面积的一半，公式为‌S半圆=πr²÷2‌。 5、‌面积变化规律‌：圆的半径扩大n倍，圆的面积会扩大n的平方倍。 题型1：圆的概念及特点 【例1】下列说法中，（    ）是描述圆心到圆上的距离一样长的。 A．不以规矩，不能成方圆 B．圆出于方，方出于矩 C．圆，一中同长也 D．圆径一而周三 【练1】笑笑要在一张长4dm，宽3.14dm的长方形卡纸上截取圆形卡片，她最多能截取（    ）个直径是1dm的圆形卡片。 A．6 B．8 C．12 D．14 【练2】在长16cm、宽10cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（    ）cm。 A．5 B．8 C．10 D．16 题型2：画圆 【例2】请你用直尺和圆规，画出恰好能盖住整个井口的最小圆形盖子，并保留作图痕迹。 【练3】请你自己确定一个点为圆心画一个圆，使点A、B、C三点都在圆上，圆心用点O表示。 【练4】在下面画一个圆，使圆规两脚间的距离是1.6厘米，并画出一条半径、一条直径，再用字母O、r、d标出它的圆心、半径和直径。 题型3：含圆的轴对称图形 【例3】画出下面图形的所有对称轴。 【练5】请你分别在下面的大圆中涂色（涂出一个或几个小圆），使最后得到的图形是一个轴对称图形，且对称轴的数量满足相应的要求。 【练6】仔细观察下面左边这幅美丽的图案，你能利用圆规和三角尺在下面右边的方格里画出来吗？试试看！ 题型4：弧、圆心角、扇形的认识 【例4】从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是（ ）°，半径是（ ）cm。 【练7】把一张直径是8cm的圆形白纸连续对折2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是（ ）°。 【练8】小舞的钢琴课从上午9点半开始，到上午11点结束。在这段时间里，时针转动所形成的圆心角是多少度？如果课程延长15分钟，这个圆心角会增加多少度？ 题型5：圆的周长与面积图形计算 【例5】求阴影部分的周长和面积。（单位：厘米，取3.14） 【练9】求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）      （2） 【练10】求下面左图中涂色部分的周长，求下面右图中涂色部分的面积。 题型6：圆的周长的认识及应用 【例6】把一根铁丝围成一个圆，半径正好是1分米，如果把这根铁丝围成一个正方形，它的边长是（    ）分米。 A．1.57 B．3.14 C．6.28 D．9.42 【练11】研学基地要在广场中央建一个圆形孔子文化坛，并在文化坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路，这条鹅卵石路外侧的周长比文化坛的周长多（ ）米。（用含有的式子表示） 【练12】杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径80厘米，要骑过125.6米长的钢丝，车轮要滚动多少周？ 题型7：半圆的周长的认识及应用 【例7】一个半圆形喷水池的半径是3米，则这个半圆形喷水池的周长是（    ）米。 A．9.42 B．15.42 C．18.84 【练13】在长16厘米、宽12厘米的长方形里画一个最大的半圆，则半圆的半径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。 【练14】乐乐沿一个半圆形花坛走一圈需要7分钟，已知乐乐平均每分钟行90米，则这个半圆形花坛的直径是多少米？（取3） 题型8：圆的面积的认识及应用 【例8】小欣点了一个直径是12厘米的披萨，被告知12厘米的卖完了，用两个直径为6厘米的披萨来抵偿，小欣同意了。如果不同尺寸的披萨材料和厚度都一样，那么小欣（    ）。 A．赚了 B．亏了 C．不赚不亏 D．无法确定 【练15】钟面上，分针长8厘米，从9：30至10：00，分针的尖端走过的路程是（ ）厘米，分针扫过的面积是（ ）平方厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 【练16】孙悟空要去打妖怪，为了保证唐僧的安全，他用金箍棒在地上画了一个周长是18.84米的圆圈将唐僧、八戒和沙僧圈住，请你算一算，这个圆圈的面积有多大？ 题型9：圆环的面积的认识及应用 【例9】一个圆形养鱼池的直径是40m，在这个鱼池的周围有一条1m宽的石子路，这条石子路的面积是（    ）m2。 A．136.44 B．128.74 C．113.04 【练17】某圆形舞台的直径是18米，由于元旦演出需要，现将这个圆形舞台的半径增加1米，增加半径后舞台的半径为（ ）米，面积为（ ）平方米，比原来的面积增加了（ ）平方米。 【练18】某地准备新建一个直径为20米的圆形观赏湖（如图），并在观赏湖的外围铺上一圈宽2米的人行道（涂色部分）。 （1）人行道的面积是多少平方米？ （2）如果要沿着人行道的外围，最远每隔10米安装一盏路灯，至少需要准备多少盏路灯？ 题型10：最大面积问题 【例10】在一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的面积是（ ）平方厘米。 【练19】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【练20】草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 题型11：含圆的组合图形的周长 【例11】一个长方形的长是100米，宽是40米，以宽为直径在两侧作两个半圆，形成一个环形跑道，那么它一圈的周长是（    ）米。 A．200＋40π B．280＋40π C．280＋20π 【练21】小集用圆规画了一个心形贺卡设计图（如下图），她想在心形边线上贴上一圈金丝线，需要金丝线（ ）厘米。 【练22】黄师傅想把两根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起（如下图），捆2圈至少用铁丝多少厘米？（接头部分的长度忽略不计） 题型12：含圆的组合图形的面积 【例12】如图中，三角形的面积是6平方米，圆的面积是（    ）平方米。 A．37.68 B．9.42 C．28.26 D．18.84 【练23】松阳江泰广场的电玩城中有一款游戏（如图），双人对战，将圆片推进对方洞中获胜。圆片直径为2分米，那么圆片的面积是（ ）平方分米，在2米米的桌面上，圆片始终不能滑到的面积是（ ）平方分米。 【练24】学校运动场两端是半圆形，中间是长方形。体育刘老师对操场进行了测量，请你算一算操场的周长和面积分别是多少？ 题型13：方中圆或圆中方的问题 【例13】要剪一个面积是28.26平方厘米的圆形纸片，至少需要面积（    ）平方厘米的正方形纸片。 A．28.26 B．34 C．36 D．38 【练25】我国民间艺术丰富多彩，剪纸深受各年龄段人们喜爱，几乎每位中国人都曾亲手尝试过。如果在边长20cm的正方形纸中剪出一个最大的圆，面积是（ ）cm。 【练26】春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分面积是多少？（正方形的边长等于圆的直径） 一、选择题 1．下面各图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 2．如图，用两块三角板和一把直尺可以测量圆的直径，这是因为（    ）。 A．圆心经过直径 B．直径是圆内最长的线段 C．圆的周长是直径的π倍 D．同一圆内，半径相等 3．春节贴“福”字，是我国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下边是一幅贴在门上的“福”字，已知圆的直径是，那么中间正方形部分的面积是（    ）。 A．784 B．392 C．196 D．87.92 4．一个时钟的分针长3厘米，当它正好走一圈时，分针所扫过的面积是（    ）平方厘米。 A．9.42 B．15.7 C．18.84 D．28.26 5．一个圆的周长是12.56米，半径增加2米后，新的圆的面积是（    ）平方米。 A．113.04 B．50.24 C．25.12 D．12.56 6．如图是小梦画的小动物的一个眼睛，她以大圆的半径为直径画一个小圆，大圆的面积是小圆面积的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 7．白洋淀荷花大观园里的王莲十分出众，叶片呈圆形，叶片直径最长可达3米，能承受数十公斤的重量、是叶片最大的水生植物，有着“水上花王”的美称。那么王莲的叶片面积最大能达到（    ）平方米。 A．7.065 B．28.26 C．9.42 D．14.13 8．如图，四个圆的半径都是3厘米，圆心分别在四边形的四个顶点上，则阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．18.84 B．28.26 C．25.12 D．15.7 二、填空题 9．观察下面的钟表，从10：00到10：10，分针的尖端经过的路程形成的扇形的圆心角是（ ）°。 10．考古挖掘中发现了一个圆形铜镜残片（如图所示）。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是（ ）cm。 11．下图中圆的半径是（ ）cm，直径是（ ）cm，长方形的周长是（ ）cm。 12．在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是（ ）厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是（ ）厘米，最多可以剪下（ ）个这样的圆。 13．李老师在家具城看中一套如图所示的圆形折叠餐桌，已知该餐桌桌面的直径是2米，折叠后是一个正方形，该正方形的面积是：_______平方米。 14．如图，涂色部分是一个圆环，外圆半径是，内圆半径是。这个圆环的面积是（ ）。 15．一只挂钟时针长5厘米，分针长8厘米，经过半小时后，分针针尖所走的路程是（ ）厘米，扫过的面积是（ ）平方厘米（圆周率取3.14）。 16．如下图，大圆的直径是（ ）厘米，一个小圆的面积是（ ）平方厘米。 三、计算题 17．求下面图形中涂色部分的面积。（单位：m） 18．求下列各图阴影部分的周长。（单位：cm） （1）    （2） 四、作图题 19．下图中，每个小方格的边长表示1cm。 （1）以方格纸上的点O为圆心，先在长方形里画一个最大的圆，它的周长是（    ）厘米。 （2）画出这个组合图形的对称轴。 （3）这个长方形里最多可以裁（ ）个这样的圆。 五、解答题 20．用一张长是12.5厘米、宽是7.2厘米的长方形彩纸最多能剪多少个半径是1厘米的圆？说一说你的理由。 21．作图计算。下图正方形的面积是10平方厘米，请你以它的一个顶点为圆心，以它的边长为半径画一个圆，并标上圆心O，再求出这个圆的面积。 22．为增加第15届全运会的知名度，广州市在美丽的珠江江面，建了两座全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”的夜光装置，该装置高15 米，底座是半径3米的圆。现为2座圆形底座装一圈彩灯带，共要彩灯带多少米？ 23．一个圆形餐桌的周长是18.84分米，这张餐桌的面积是多少平方分米？如果一个人需要0.5分米宽的位置就餐，这张餐桌大约能坐多少人？（π取3.14） 24．窗花是中国传统民间艺术之一。下图是一个圆形窗花，它的内圆周长是25.12厘米，外圆的直径是12厘米，内圆与外圆之间的距离是多少厘米？ 25．公园要规划一片绿化区域，设计师给出了A、B两种方案（如图所示）。奇奇觉得方案B的绿化面积更大，你同意他的观点吗？请通过计算说明理由。 26．育才小学新建了一块符合国际标准的铅球场地，场地主要由两部分组成：投掷圈是直径为2.135米的圆形区域；落地区是以投掷圈圆心为顶点、圆心角为34.92°的扇形区域，扇形半径为25米（从投掷圈圆心到落地区远端边线）。 （1）投掷圈的周长大约是多少米？（结果保留两位小数） （2）落地区的占地面积大约是多少平方米？（结果保留整数） 27．如图，爷爷依墙围了一块菜地，呈半圆形，菜地的半径是6米。 （1）给这块菜地围上栅栏，需要多少米的栅栏？ （2）如果把这块菜地的直径增加4米，则菜地的面积增加多少平方米？ 28．为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 （1）以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是（ ）米。 （2）绿植区域的图形共有（    ）条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方米？ （3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆 单元知识清单讲义 知识点一：认识圆和扇形 一、圆 1、圆的定义：圆是由一条曲线围成的封闭平面图形，没有顶点、没有边，是轴对称图形。 2、各部分名称：圆心（O）是圆的中心，决定圆的位置；半径（r）是连接圆心和圆上任意一点的线段，决定圆的大小；直径（d）是通过圆心且两端都在圆上的线段。 3、核心特征：同一个圆内，有无数条半径、无数条直径；所有半径长度相等，所有直径长度相等；直径是半径的2倍，半径是直径的一半，公式：d=2r、=d÷2。 4、轴对称特征：圆有无数条对称轴，所有直径所在的直线都是圆的对称轴。 5、画圆方法：固定圆心、定好半径，旋转一周即可画出圆，圆心定位置，半径定大小。 二、扇形 1、扇形定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分。 2、各部分名称：扇形的曲线部分叫做弧；两条半径的夹角叫做圆心角，圆心角决定扇形的大小。 3、大小规律：在同一个圆中，圆心角越大，扇形越大；圆心角越小，扇形越小。 4、特殊扇形：圆心角是90°的扇形是四分之一圆，圆心角是180°的扇形是半圆，半圆也是特殊的扇形。 5、轴对称特征：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴。 知识点二：圆的周长和面积 一、圆的周长 1、‌周长定义‌：围成圆的曲线的总长度叫做圆的周长，用字母C表示。 2、‌圆周率π‌：圆的周长与自身直径的比值是固定的无限不循环小数，这个固定值就是圆周率，日常计算中通常取近似值‌π≈3.14‌，我国古代数学家祖冲之最早将圆周率精确到小数点后7位。 3、‌核心周长公式‌：已知直径时，‌C=πd‌；已知半径时，‌C=2πr‌。 4、‌高频易错点：半圆周长‌：半圆的周长不是整圆周长的一半，必须额外补上一条直径的长度，完整公式为‌半圆周长=πr+d=πr+2r‌，例如半径为3米的半圆，周长是3.14×3+2×3=15.42米，不能错算成9.42米。 5、‌公式逆用规则‌：已知周长求直径，用‌d=C÷π‌；已知周长求半径，‌r=C÷π÷2‌。 6、‌周长变化规律‌：圆的半径扩大n倍，直径和周长也同步扩大n倍；半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米；直径增加b厘米，周长就增加πb厘米。 二、圆的面积 1、‌面积定义‌：圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2、‌面积公式推导‌：把圆平均分成若干偶数份，剪开后拼接成近似长方形，分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。其中长方形的宽等于圆的半径r，长方形的长等于圆周长的一半πr，结合长方形面积=长×宽，推导出圆的面积公式。 3、‌核心面积公式‌：‌S=πr²‌，注意这里是半径的平方，不是半径乘2，这是单元高频易错点。 4、‌半圆面积计算‌：半圆的面积是整圆面积的一半，公式为‌S半圆=πr²÷2‌。 5、‌面积变化规律‌：圆的半径扩大n倍，圆的面积会扩大n的平方倍。 题型1：圆的概念及特点 【例1】下列说法中，（    ）是描述圆心到圆上的距离一样长的。 A．不以规矩，不能成方圆 B．圆出于方，方出于矩 C．圆，一中同长也 D．圆径一而周三 【答案】C 【分析】根据题意可知圆心到圆上的距离一样长，对应的是圆的半径定义（圆心到圆上任意一点的距离为半径，同一圆内所有半径长度相等）。 【解答】A．“不以规矩，不能成方圆”指不用规和矩无法画出方和圆，强调作图工具，不符合题意。 B．“圆出于方，方出于矩”指圆可由正方形切割得到，与题意无关。 C．“圆，一中同长也”中“中”指圆心，“同长”指圆心到圆上各点的距离相等，符合题干描述。 D．“圆径一而周三”指圆的直径为1时周长约为3，描述周长与直径的关系，不符合题意。 【练1】笑笑要在一张长4dm，宽3.14dm的长方形卡纸上截取圆形卡片，她最多能截取（    ）个直径是1dm的圆形卡片。 A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】不能用长方形面积除以圆的面积，分别用长方形的长、宽除以圆的直径，求出长和宽方向最多容纳的圆的个数，结果不够1个的舍去，用去尾法，再把两个数相乘，得到一共可以截取的数量。 【解答】4÷1＝4（个） 3.14÷1≈3（个） 4×3＝12（个） 【练2】在长16cm、宽10cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的半径是（    ）cm。 A．5 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】在长方形内画最大的半圆，先尝试以长方形的长作为半圆的直径，算出半径后验证是否不超过长方形的宽，符合要求则该半径就是最大半圆的半径，不符合的话半径最大等于长方形的宽。 【解答】以长方形的长为半圆的直径，计算半径：（cm） 验证：，半圆不会超出长方形的宽。 若尝试半径为10cm，需要的直径为（cm），，长方形长度不足，无法画出。 题型2：画圆 【例2】请你用直尺和圆规，画出恰好能盖住整个井口的最小圆形盖子，并保留作图痕迹。 【答案】 【分析】明确要找能盖住正方形井口的最小圆，因为正方形的外接圆是覆盖它的最小圆，所以该圆的圆心为正方形对角线的交点，半径为对角线长度的一半。 用直尺连接正方形的两组对角顶点，作出两条对角线，两条对角线的交点即为所求圆的圆心。 以该交点为圆心，以交点到正方形任意一个顶点的长度为半径，用圆规画圆即可。 【解答】略 【练3】请你自己确定一个点为圆心画一个圆，使点A、B、C三点都在圆上，圆心用点O表示。 【答案】 【分析】要使A、B、C三点都在圆上，需画三角形ABC的外接圆，根据圆的性质，圆上的任意两点的垂直平分线必经过圆心，因此连接AB、BC、AC，以三角形ABC三边垂直平分线的交点为圆心O，以圆心O到A（B或C）的距离为半径画圆，即可让三点都在圆上。 【解答】画图略； 【练4】在下面画一个圆，使圆规两脚间的距离是1.6厘米，并画出一条半径、一条直径，再用字母O、r、d标出它的圆心、半径和直径。 【答案】 【分析】圆规两脚之间的距离就是圆的半径，以点O为圆心，圆规两脚之间的距离1.6厘米为半径画圆；连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，用字母d表示。 【解答】图略 题型3：含圆的轴对称图形 【例3】画出下面图形的所有对称轴。 【答案】 【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此画出它们的对称轴。 【解答】图略 【练5】请你分别在下面的大圆中涂色（涂出一个或几个小圆），使最后得到的图形是一个轴对称图形，且对称轴的数量满足相应的要求。 【答案】（答案不唯一） 【分析】轴对称的定义和特征：具有对称性的图形称为轴对称图形。轴对称图形对折后，中间这条折痕所在的直线就是这个图形的对称轴。轴对称图形的特征是对称轴两边的图形能够完全重合，对称点到对称轴的距离相等。 【解答】略 【练6】仔细观察下面左边这幅美丽的图案，你能利用圆规和三角尺在下面右边的方格里画出来吗？试试看！ 【答案】 【分析】利用三角尺，分别找出正方形四条边的中点。以四条边的中点为圆心，以正方形边长的一半为半径，向正方形内部画半圆（每条边的中点画一个半圆，共四个半圆）。四个半圆相交，即可画成题目中的美丽图案。 【解答】略 题型4：弧、圆心角、扇形的认识 【例4】从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是（ ）°，半径是（ ）cm。 【答案】90 8 【分析】 如上图，从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，则这个扇形的半径等于正方形的边长，且扇形的圆心角等于正方形的一个内角的度数，即90°。 【解答】从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是90°，半径是8cm。 【练7】把一张直径是8cm的圆形白纸连续对折2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是（ ）°。 【答案】90 【分析】把这张圆形纸片对折1次，折成的角是以这张圆形纸片的圆心为顶点，两条半径为边的平角，平角＝180°，再对折1次，就是把平角平均分成2分，每份是90°，据此解答。 【解答】360°÷（2×2） ＝360°÷4 ＝90° 把一张直径是8cm的圆形白纸连续对折2次，折成了一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是90°。 【练8】小舞的钢琴课从上午9点半开始，到上午11点结束。在这段时间里，时针转动所形成的圆心角是多少度？如果课程延长15分钟，这个圆心角会增加多少度？ 【答案】45度；7.5度 【分析】整个钟面是一圈360°，被平均分成12个大格，代表12个小时，所以每1个大格对应的角度是360°÷12＝30°，也就是说时针每走1小时就转动30°。 【解答】11时－9时30分＝1小时30分＝1.5小时 30×1.5＝45（度） 15分钟＝0.25小时 延长15分钟增加的圆心角：30×0.25＝7.5（度） 答：在这段时间里，时针转动所形成的圆心角是45度，如果课程延长15分钟，这个圆心角会增加7.5度。 题型5：圆的周长与面积图形计算 【例5】求阴影部分的周长和面积。（单位：厘米，取3.14） 【答案】周长：62.8厘米 面积：57平方厘米 【分析】由题中图可知正方形边长为10厘米，正方形里的圆的直径也是10厘米。阴影部分的周长就是两个直径为10厘米的圆的周长。阴影部分的面积可以看作是直径为10厘米的圆的面积减去对角线为10厘米的正方形的面积再乘2。 【解答】由分析可知： 阴影部分的周长：（厘米） 直径为10厘米的圆的面积： （平方厘米） 对角线为10厘米的正方形的面积可以看作是两个底为10厘米高为5厘米的三角形的面积，即：10×5÷2×2＝50（平方厘米） 阴影部分的面积：2×（78.5－50） ＝2×28.5 ＝57（平方厘米） 【练9】求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）      （2） 【答案】（1）251.2平方厘米；（2）114平方厘米 【分析】（1）圆环的面积＝大圆面积－小圆面积，再根据圆面积，即可解答； （2）阴影部分的面积＝（圆面积÷4－小三角形面积）×4，小三角形的底和高都是直径的一半，再根据圆面积，三角形面积＝底×高÷2，即可解答。 【解答】（1） （平方厘米） （2） （平方厘米） 【练10】求下面左图中涂色部分的周长，求下面右图中涂色部分的面积。 【答案】50.24cm；3.57 【分析】左图，涂色部分的4条边可以围成一个圆，圆的直径＝正方形的边长，涂色部分的周长＝圆的周长，圆的周长＝圆周率×直径； 第二个图形，直角三角形的一个锐角是45°，说明这个三角形是等腰直角三角形，半圆的直径＝三角形的直角边，涂色部分的面积＝半圆的面积＋三角形的面积，半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，三角形的面积＝底×高÷2。 【解答】3.14×16＝50.24（） （） 题型6：圆的周长的认识及应用 【例6】把一根铁丝围成一个圆，半径正好是1分米，如果把这根铁丝围成一个正方形，它的边长是（    ）分米。 A．1.57 B．3.14 C．6.28 D．9.42 【答案】A 【分析】铁丝长度不变，即圆的周长等于正方形的周长，先算出圆的周长，再除以4就能得到正方形的边长。 【解答】（分米） 【练11】研学基地要在广场中央建一个圆形孔子文化坛，并在文化坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路，这条鹅卵石路外侧的周长比文化坛的周长多（ ）米。（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意可知，文化坛是内圆，鹅卵石路宽1米，外圆半径比内圆大1米。利用圆周长公式，计算两个圆周长之差即可。 【解答】由分析可知，假设内圆半径为，则外圆的半径为； 两个圆周长之差为（米）。 【练12】杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径80厘米，要骑过125.6米长的钢丝，车轮要滚动多少周？ 【答案】50周 【分析】已知车轮的直径80厘米，根据圆的周长公式C＝πd，求出车轮的周长，也就是车轮滚动一周前进的长度；再用钢丝的总长度除以车轮的周长，求出车轮滚动周数。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【解答】125.6米＝12560厘米 3.14×80＝251.2（厘米） 12560÷251.2＝50（周） 答：车轮要滚动50周。 题型7：半圆的周长的认识及应用 【例7】一个半圆形喷水池的半径是3米，则这个半圆形喷水池的周长是（    ）米。 A．9.42 B．15.42 C．18.84 【答案】B 【分析】半圆形的周长等于对应圆周长的一半（πr）加上直径的长度（2r）。 【解答】圆周长的一半：3.14×3＝9.42（米） 直径长度：2×3＝6（米） 半圆形喷水池周长：9.42＋6＝15.42（米） 【练13】在长16厘米、宽12厘米的长方形里画一个最大的半圆，则半圆的半径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米。 【答案】8 41.12 【分析】当半圆的直径是16厘米的时候，半径是16÷2＝8厘米，8＜12，可以画一个最大的半圆，根据半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数代入即可求解。 【解答】16÷2＝8（厘米）； 3.14×8＋2×8 ＝25.12＋16 ＝41.12（厘米） 【练14】乐乐沿一个半圆形花坛走一圈需要7分钟，已知乐乐平均每分钟行90米，则这个半圆形花坛的直径是多少米？（取3） 【答案】252米 【分析】沿半圆形花坛走一圈的路程是半圆的周长，包含弧长和一条直径。先根据速度×时间＝路程求出总路程，再结合取3的条件，通过半圆周长与半径的倍数关系求出半径，进而得到直径。 【解答】（米） 半圆周长 ＝ 弧长 ＋ 直径 ＝ 代入，得： （米） 直径：（米） 答：这个半圆形花坛的直径是252米。 题型8：圆的面积的认识及应用 【例8】小欣点了一个直径是12厘米的披萨，被告知12厘米的卖完了，用两个直径为6厘米的披萨来抵偿，小欣同意了。如果不同尺寸的披萨材料和厚度都一样，那么小欣（    ）。 A．赚了 B．亏了 C．不赚不亏 D．无法确定 【答案】B 【分析】利用圆的面积公式，分别计算出原计划披萨的面积和实际补偿披萨的总面积，通过比较两者的大小来判断小欣是否吃亏。 【解答】 （厘米） （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 原计划披萨面积大于补偿披萨总面积，所以小欣亏了。 【练15】钟面上，分针长8厘米，从9：30至10：00，分针的尖端走过的路程是（ ）厘米，分针扫过的面积是（ ）平方厘米；如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】25.12 100.48 28.26 【分析】从9：30至10：00，分针经过了30分钟。分针60分钟转一圈，30分钟转半圈，即分针的尖端走过的路程是半径为8厘米的圆周长的，分针扫过的面积是半径为8厘米的圆面积的；根据圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，分别求出分针的尖端走过的路程和扫过的面积。 如果在一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸上画一个最大的圆，那么这个最大圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积。 【解答】10时－9时30分＝30（分钟） 30÷60＝ 分针的尖端走过的路程： 2×3.14×8×＝25.12（厘米） 分针扫过的面积： 3.14×82× ＝3.14×64× ＝100.48（平方厘米） 长方形内最大圆的面积： 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 【练16】孙悟空要去打妖怪，为了保证唐僧的安全，他用金箍棒在地上画了一个周长是18.84米的圆圈将唐僧、八戒和沙僧圈住，请你算一算，这个圆圈的面积有多大？ 【答案】28.26平方米 【分析】根据圆的周长＝2×π×半径，半径＝周长÷2÷π，据此求出这个圆圈的半径，再根据圆的面积＝π×半径2，据此解答。 【解答】18.84÷2÷3.14 ＝9.42÷3.14 ＝3（米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个圆圈的面积有28.26平方米。 题型9：圆环的面积的认识及应用 【例9】一个圆形养鱼池的直径是40m，在这个鱼池的周围有一条1m宽的石子路，这条石子路的面积是（    ）m2。 A．136.44 B．128.74 C．113.04 【答案】B 【分析】石子路为环形，内圆半径＝养鱼池的直径÷2，外圆半径＝内圆半径＋路宽，小路面积＝π（R2－r2） 【解答】内圆半径：40÷2＝20（m） 外圆半径：20＋1＝21（m） 石子路面积： 3.14×（212－202） ＝3.14×（441－400） ＝3.14×41 ＝128.74（m2） 【练17】某圆形舞台的直径是18米，由于元旦演出需要，现将这个圆形舞台的半径增加1米，增加半径后舞台的半径为（ ）米，面积为（ ）平方米，比原来的面积增加了（ ）平方米。 【答案】10 314 59.66 【分析】在同圆或等圆中，直径是半径的2倍。圆的面积＝πr2，圆环的面积＝π（R2－r2）。 【解答】18÷2＋1 ＝9＋1 ＝10（米） 3.14×102 ＝3.14×10×10 ＝314（平方米） 18÷2＝9（米） 3.14×（102－92） ＝3.14×（10×10－9×9） ＝3.14×（100－81） ＝3.14×19 ＝59.66（平方米） 【练18】某地准备新建一个直径为20米的圆形观赏湖（如图），并在观赏湖的外围铺上一圈宽2米的人行道（涂色部分）。 （1）人行道的面积是多少平方米？ （2）如果要沿着人行道的外围，最远每隔10米安装一盏路灯，至少需要准备多少盏路灯？ 【答案】（1）138.16平方米 （2）8盏 【分析】（1）求人行道的面积就是求环形的面积，先用圆形观赏湖的直径除以2，求出内圆半径，再加上人行道的宽求出外圆半径，最后根据，计算即可。 （2）先同（1）求出外圆半径，根据，求出人行道的外围长度，再除以10，解得即可。 【解答】（1）20÷2＝10（米） 10＋2＝12（米） 3.14×（） ＝3.14×（144－100） ＝3.14×44 ＝138.16（平方米） 答：人行道的面积是138.16平方米。 （2）20÷2＝10（米） 10＋2＝12（米） 2×3.14×12 ＝6.28×12 ＝75.36（米） 75.36÷10＝7.536≈8（盏） 答：至少需要准备8盏路灯。 题型10：最大面积问题 【例10】在一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】353.25 【分析】在一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸上画一个最大的半圆，这个半圆的直径则等于长方形的长，圆的面积＝π，把数据代入公式再除以2即可解答。 【解答】30÷2＝15（厘米） 3.14×÷2 ＝3.14×225÷2 ＝706.5÷2 ＝353.25（平方厘米） 即这个半圆的面积是353.25平方厘米。 【练19】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【解答】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 【练20】草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 【答案】113 【分析】由题意可知：喷洒的最大面积等于半径是6米的圆的面积，将数据代入圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【解答】3.14×62 ＝3.14×36 ≈113（平方米） 这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是113平方米。 题型11：含圆的组合图形的周长 【例11】一个长方形的长是100米，宽是40米，以宽为直径在两侧作两个半圆，形成一个环形跑道，那么它一圈的周长是（    ）米。 A．200＋40π B．280＋40π C．280＋20π 【答案】A 【分析】跑道的周长由两条长方形的长和两个直径为40米的半圆的长度组成，两个半圆可以拼成一个完整的圆，分别计算两部分长度再求和即可。 【解答】（米） 【练21】小集用圆规画了一个心形贺卡设计图（如下图），她想在心形边线上贴上一圈金丝线，需要金丝线（ ）厘米。 【答案】50.24 【分析】观察图形可知，需要的金丝线的长度相当于两个半径是2×2＝4厘米的圆的周长之和。圆的周长＝2r（r是圆的半径），需要的金丝线的长度＝圆的周长×2。 【解答】2×2＝4（厘米） 2×3.14×4×2 ＝6.28×4×2 ＝25.12×2 ＝50.24（厘米） 【练22】黄师傅想把两根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起（如下图），捆2圈至少用铁丝多少厘米？（接头部分的长度忽略不计） 【答案】102.8厘米 【分析】捆一圈的铁丝长度由一个完整的圆的周长和两条直径的长度组成，圆的周长公式是C＝πd，π取3.14，先利用公式求出圆的周长，再加上两条直径的长度得到捆一圈的长度，最后乘2求出捆2圈的总长度。 【解答】3.14×10＋10×2 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 51.4×2＝102.8（厘米） 答：捆2圈至少用铁丝102.8厘米。 题型12：含圆的组合图形的面积 【例12】如图中，三角形的面积是6平方米，圆的面积是（    ）平方米。 A．37.68 B．9.42 C．28.26 D．18.84 【答案】D 【分析】根据图示可知，正方形的面积等于三角形面积的4倍，再根据圆的直径等于正方形的边长，6×4计算正方形的面积，再除以4就是圆的半径的平方，再乘π计算圆的面积即可。 【解答】6×4÷4×3.14＝18.84（平方米） 圆的面积是18.84平方米。 【练23】松阳江泰广场的电玩城中有一款游戏（如图），双人对战，将圆片推进对方洞中获胜。圆片直径为2分米，那么圆片的面积是（ ）平方分米，在2米米的桌面上，圆片始终不能滑到的面积是（ ）平方分米。 【答案】3.14 0.86 【分析】根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出圆片的面积。圆片在长方形桌面上滑动时，由于圆片是圆形的，而桌面的四个角都是直角，圆片无法完全贴合到桌面的四个角。每个角不能滑到的区域，是一个边长为圆的半径的小正方形面积，减去一个圆心角为90°的扇形面积，即圆的面积的，桌面一共有4个角，所以不能滑到的面积等于4个小正方形面积之和减去4个圆的面积，据此进行解答。 【解答】3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） （2÷2）×（2÷2）×4－3.14×（2÷2）2 ＝1×1×4－3.14×12 ＝1×4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 【练24】学校运动场两端是半圆形，中间是长方形。体育刘老师对操场进行了测量，请你算一算操场的周长和面积分别是多少？ 【答案】225.6米；3256平方米 【分析】操场由中间长方形和两端半圆组成，两个半圆合起来是一个完整的圆。周长＝圆的周长＋长方形两条长；面积＝圆的面积＋长方形的面积。圆的半径是20米，长方形长50米，宽等于圆的直径。圆的周长公式C＝2πr，圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，π取3.14，代入数值即可解答。 【解答】圆的直径：20×2＝40（米） 圆的周长：3.14×40＝125.6（米） 两条直道总长：50×2＝100（米） 操场周长：125.6＋100＝225.6（米） 圆的面积：3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方米） 长方形面积：50×（20×2） ＝50×40 ＝2000（平方米） 操场总面积：1256＋2000＝3256（平方米） 答：操场的周长是225.6米，面积是3256平方米。 题型13：方中圆或圆中方的问题 【例13】要剪一个面积是28.26平方厘米的圆形纸片，至少需要面积（    ）平方厘米的正方形纸片。 A．28.26 B．34 C．36 D．38 【答案】C 【分析】在正方形中剪最大的圆，正方形的边长等于圆的直径，先根据圆的面积求出半径，再乘计算出直径，即正方形边长，再根据正方形的面积等于边长乘边长计算正方形面积即可。 【解答】 329 可知圆的半径为厘米，直径为（厘米） （平方厘米） 【练25】我国民间艺术丰富多彩，剪纸深受各年龄段人们喜爱，几乎每位中国人都曾亲手尝试过。如果在边长20cm的正方形纸中剪出一个最大的圆，面积是（ ）cm。 【答案】314 【分析】在正方形里剪出最大的圆，这个圆的直径就等于正方形的边长，也就是20cm，所以圆的半径是20÷2＝10（cm）。根据圆的面积＝πr2，取π为3.14，代入计算即可求出面积。 【解答】圆的半径：20÷2＝10（cm） 圆的面积：3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（cm2） 【练26】春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，下图“福”字窗花中，圆的直径是30厘米，“福”字所在的圆与正方形之间的部分面积是多少？（正方形的边长等于圆的直径） 【答案】193.5平方厘米 【分析】由图可知，正方形边长等于圆的直径，正方形面积＝边长×边长；用直径长度除以2算出半径长度，圆的面积；最后用正方形面积减去圆的面积即可得到结果。 【解答】30×30＝900（平方厘米） 30÷2＝15（厘米） 3.14×152 ＝3.14×225 ＝706.5（平方厘米） 900－706.5＝193.5（平方厘米） 答：“福”字所在的圆与正方形之间的部分面积是193.5平方厘米。 一、选择题 1．下面各图形中，对称轴条数最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴，据此确定各选项图形对称轴的数量。 【解答】A．只有1条对称轴； B．有2条对称轴； C．有4条对称轴； D．只有1条对称轴。 对称轴条数最多的是。 2．如图，用两块三角板和一把直尺可以测量圆的直径，这是因为（    ）。 A．圆心经过直径 B．直径是圆内最长的线段 C．圆的周长是直径的π倍 D．同一圆内，半径相等 【答案】B 【分析】先分析测量方法的结构：两个三角板的直角边平行，夹在圆的两侧，测量的是两个平行边之间的距离。 明确圆的直径定义与相关性质：因为圆的直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，且是圆内最长的线段，所以平行边之间的距离等于圆的直径。 逐一匹配选项对应的性质，判断哪个性质是该测量方法的依据。 【解答】对选项逐一排查： A．“圆心经过直径”表述逻辑错误，直径是经过圆心的线段，该描述本身不符合数学定义，也完全不能解释测量直径的原理，排除。 B．直径是圆内最长的线段，当用两条平行的三角板直角边把圆夹在中间时，两条平行线的间距恰好等于圆内最长线段的长度，也就是圆的直径，这正是该测量方法的核心依据”该选项正确。 C．“圆的周长是直径的π倍”是周长和直径的数量关系，和本题直接测量直径的操作没有关联，无法解释该测量方法的原理，排除。 D．“同一圆内，半径相等”是圆的基本性质，但无法说明为什么两条平行线夹住圆得到的线段就是直径，不能支撑该测量操作的逻辑，排除。 对比各选项应选B。 3．春节贴“福”字，是我国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下边是一幅贴在门上的“福”字，已知圆的直径是，那么中间正方形部分的面积是（    ）。 A．784 B．392 C．196 D．87.92 【答案】B 【分析】组合图形有两条对称轴，分别为正方形对角线所在的两条直线。组合图形的中心点为正方形两条对角线的交点，也为圆的圆心。圆的直径与正方形的两条对角线长度相等；正方形的面积＝两个直角三角形的面积之和＝一个直角三角形的面积×2，直角三角形的面积＝底（一条对角线）×高（与圆的半径相等）÷2。 【解答】 如图，正方形的面积＝左边阴影直角三角形的面积＋右边空白直角三角形的面积。 28÷2＝14（cm） 28×14÷2＝196（cm2） 196×2＝392（cm2） 4．一个时钟的分针长3厘米，当它正好走一圈时，分针所扫过的面积是（    ）平方厘米。 A．9.42 B．15.7 C．18.84 D．28.26 【答案】D 【分析】分针走一圈扫过的区域是圆形，半径等于分针的长度，根据圆的面积公式，计算即可。 【解答】 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 5．一个圆的周长是12.56米，半径增加2米后，新的圆的面积是（    ）平方米。 A．113.04 B．50.24 C．25.12 D．12.56 【答案】B 【分析】根据圆的周长公式，用周长除以圆周率再除以2，可得原来的半径，再加2得增加后的圆的半径，再根据圆的面积公式，代入数据计算即可。 【解答】（米） （米） ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 6．如图是小梦画的小动物的一个眼睛，她以大圆的半径为直径画一个小圆，大圆的面积是小圆面积的（    ）倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】观察图形可知，大圆的半径等于小圆的直径，设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r，根据圆的面积公式：S＝πr2，分别求出大圆面积和小圆面积，再用大圆面积除以小圆面积，即可解答。 【解答】设：小圆的半径为r，则大圆的半径为2r。 小圆面积： 大圆面积： 大圆的面积是小圆面积的倍数： 7．白洋淀荷花大观园里的王莲十分出众，叶片呈圆形，叶片直径最长可达3米，能承受数十公斤的重量、是叶片最大的水生植物，有着“水上花王”的美称。那么王莲的叶片面积最大能达到（    ）平方米。 A．7.065 B．28.26 C．9.42 D．14.13 【答案】A 【分析】先根据“半径＝直径÷2”求出半径r；再根据“圆的面积＝πr2”计算。 【解答】 （平方米） 所以王莲的叶片面积最大能达到7.065平方米。 8．如图，四个圆的半径都是3厘米，圆心分别在四边形的四个顶点上，则阴影部分的面积是（    ）平方厘米。 A．18.84 B．28.26 C．25.12 D．15.7 【答案】B 【分析】四个圆的半径相同，圆心在四边形四个顶点上。阴影部分是四个扇形。四边形的内角和是360°，四个扇形拼在一起，圆心角是360°，也就是说正好是一个完整的圆。圆面积＝πr2，半径3厘米。 【解答】3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 阴影部分面积是28.26平方厘米。 二、填空题 9．观察下面的钟表，从10：00到10：10，分针的尖端经过的路程形成的扇形的圆心角是（ ）°。 【答案】60 【分析】60分钟分针会绕钟面转一圈，一圈正好是360°，即60分钟转360°，先计算出1分钟转的角度；从10：00到10：10，分针走了10分钟，再用每分转的角度乘分针走的分钟数。 【解答】10：10－10：00＝10（分） 360°÷60×10 ＝6°×10 ＝60° 10．考古挖掘中发现了一个圆形铜镜残片（如图所示）。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是（ ）cm。 【答案】3 【分析】圆规两脚张开的距离是所画圆的半径，图中标注的6cm是残片圆弧对应的直径长度，用圆的直径与半径的公式代入数值计算即可。 【解答】 圆规两脚之间张开的距离是3cm。 11．下图中圆的半径是（ ）cm，直径是（ ）cm，长方形的周长是（ ）cm。 【答案】2 4 20 【分析】看图可知，圆的半径＝长方形的长÷3，圆的直径＝半径×2，长方形的宽＝圆的直径，长方形的周长＝（长＋宽）×2。 【解答】半径：6÷3＝2（cm） 直径：2×2＝4（cm） 长方形的周长：（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（cm） 12．在一张长30厘米、宽14厘米的长方形纸上，若剪下一个最大的正方形，则这个正方形边长是（ ）厘米；若剪下一个最大的圆，则这个圆的半径是（ ）厘米，最多可以剪下（ ）个这样的圆。 【答案】14 7 2 【分析】在长方形中剪下一个最大的正方形，最大正方形的边长等于长方形的宽； 在长方形中剪下一个最大的圆，最大圆的直径等于长方形的宽，再除以2即为最大圆的半径； 分别用长方形纸的长和宽除以直径求出长方向和宽方向可以剪下的圆的个数，将整数结果相乘即可得到最多剪下的圆的个数。 【解答】长方形纸宽14厘米，所以剪下的最大正方形边长是14厘米； 14÷2＝7（厘米），最大圆的半径是7厘米； 30÷14＝2（个）……2（厘米） 14÷14＝1（个） 2×1＝2（个），最多可以剪下2个这样的圆。 13．李老师在家具城看中一套如图所示的圆形折叠餐桌，已知该餐桌桌面的直径是2米，折叠后是一个正方形，该正方形的面积是：_______平方米。 【答案】2 【分析】 如图：正方形是圆的内接正方形，所以正方形的对角线长度等于圆的直径2米。 将正方形沿对角线拆分为两个等腰直角三角形，等腰三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，用三角形的面积＝底×高÷2计算一个等腰三角形面积，再乘2就得到该正方形面积。 【解答】 （平方米） 该正方形的面积是2平方米。 14．如图，涂色部分是一个圆环，外圆半径是，内圆半径是。这个圆环的面积是（ ）。 【答案】235.5 【分析】圆环的面积＝π（－），代入求解。 【解答】3.14×（） ＝3.14×（100－25） ＝3.14×75 ＝235.5（） 15．一只挂钟时针长5厘米，分针长8厘米，经过半小时后，分针针尖所走的路程是（ ）厘米，扫过的面积是（ ）平方厘米（圆周率取3.14）。 【答案】25.12 100.48 【分析】分针针尖走过的轨迹是以分针长度为半径的圆，所以半径厘米。分针走1小时是1圈，经过半小时，分针走了圈。分针针尖所走的路程等于圆周长的一半，公式为。分针扫过的面积等于圆面积的一半，公式为。 【解答】分针针尖所走的路程： （厘米） 分针扫过的面积： （平方厘米） 16．如下图，大圆的直径是（ ）厘米，一个小圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】8 12.56 【分析】由图可知，大圆的直径等于2个小圆直径的和，也就是等于4个小圆半径的和；根据圆的面积＝πr，代入数据计算即可。 【解答】大圆直径：2×4＝8（厘米） 小圆面积：3.14×2 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 三、计算题 17．求下面图形中涂色部分的面积。（单位：m） 【答案】60m2；0.86m2 【分析】（1）左边凸出的半圆，和右边凹进去的半圆大小完全一样，把左边半圆移到右边空缺处，涂色部分就拼成一个长方形，利用长方形的面积＝长×宽即可解答； （2）正方形边长2m，四个角的扇形拼在一起正好是1个完整的圆，圆的半径（2÷2）m，涂色面积＝正方形面积－圆的面积，正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2。 【解答】根据题图，长方形的长宽分别为10m、6m，故涂色部分的面积为：10×6＝60（m2） 正方形的边长为2m，圆的半径为2÷2＝1（m），故涂色部分的面积为： ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（m2） 18．求下列各图阴影部分的周长。（单位：cm） （1）    （2） 【答案】（1）50.24cm （2）111.36cm 【分析】（1）由图可知，阴影部分周长包括半径为8cm的大圆周长的一半和两个直径为8cm的小圆周长的一半这三部分；两个直径相等的小圆周长一半可以组成一个直径为8cm的小圆周长，即阴影部分周长＝半径为8cm的大圆周长的一半＋一个直径为8cm的小圆周长。 （2）圆心角30°且半径36cm的扇形弧长占半径为36cm的圆的周长的＝，由此可知圆心角30°且半径36cm的扇形弧长为：×圆的周长。由图知，阴影部分周长包括直径为36cm圆的周长的一半、圆心角30°且半径36cm的扇形弧长和长度为36cm的线段这三部分。 【解答】（1）2×3.14×8×＋3.14×8 ＝3.14×8＋3.14×8 ＝25.12＋25.12 ＝50.24（cm） （2）3.14×36×＋×2×3.14×36＋36 ＝3.14×36×＋×2×3.14×36＋36 ＝3.14×18＋3.14×6＋36 ＝56.52＋18.84＋36 ＝111.36（cm） 四、作图题 19．下图中，每个小方格的边长表示1cm。 （1）以方格纸上的点O为圆心，先在长方形里画一个最大的圆，它的周长是（    ）厘米。 （2）画出这个组合图形的对称轴。 （3）这个长方形里最多可以裁（ ）个这样的圆。 【答案】（1）；12.56 （2） （3）3 【分析】（1）要在长方形里面画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。从方格图看出长方形宽是4厘米，即圆的直径d＝4cm，半径r＝4÷2＝2cm，以点O为圆心，2cm为半径，在长方形内部画圆即可，圆不能超出长方形。再根据圆周长公式C＝πd，π取3.14，计算周长。 （2）把一个图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫作它的对称轴。 组合图形是长方形，内部圆心O在长方形中心。长方形和内部圆共同的对称轴有2条：一条水平穿过点O，一条竖直穿过点O。沿着这两条线对折，两边可以完全重合。 （3）圆的直径是4cm，看长方形的长里面包含几个直径，就可以摆几个圆；宽等于直径，只能摆1行。长方形长12cm，用长÷直径求出圆的个数。 【解答】（1）4÷2＝2（cm） 图略 周长：3.14×4＝12.56（cm） （2）略 （3）12÷4＝3（个） 五、解答题 20．用一张长是12.5厘米、宽是7.2厘米的长方形彩纸最多能剪多少个半径是1厘米的圆？说一说你的理由。 【答案】18个；长方形彩纸的长有6个2厘米，宽里有3个2厘米。 【分析】半径是1厘米的圆的直径是2厘米，分别用长方形彩纸的长、宽除以2，求出长方形的长、宽厘分别有多少个2厘米，再把它们的个数相乘即可解答。 【解答】1×2＝2（厘米） 12.5÷2＝6（个）……0.5（厘米） 7.2÷2＝3（个）……1.2（厘米） 6×3＝18（个） 答：最多能剪18个半径是1厘米的圆。 理由：长方形彩纸的长有6个2厘米、宽里有3个2厘米。 21．作图计算。下图正方形的面积是10平方厘米，请你以它的一个顶点为圆心，以它的边长为半径画一个圆，并标上圆心O，再求出这个圆的面积。 【答案】31.4平方厘米 【分析】以正方形的一个顶点为圆心，以它的边长为半径画一个圆，据此作图即可；由题意可知，根据圆的面积公式：S＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，也就是正方形的面积相当于圆的半径的平方，据此进行计算即可。 【解答】如图所示： 3.14×10＝31.4（平方厘米） 答：这个圆的面积是31.4平方厘米。 【点睛】本题考查圆的面积，明确正方形的面积相当于圆的半径的平方是解题的关键。 22．为增加第15届全运会的知名度，广州市在美丽的珠江江面，建了两座全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”的夜光装置，该装置高15 米，底座是半径3米的圆。现为2座圆形底座装一圈彩灯带，共要彩灯带多少米？ 【答案】37.68米 【分析】求底座一圈彩灯带的长就是求圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，先求出一座底座的周长，再乘2求出两座的总长。 【解答】一座底座周长：2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（米） 两座总长：18.84×2＝37.68（米） 答：共要彩灯带37.68米。 23．一个圆形餐桌的周长是18.84分米，这张餐桌的面积是多少平方分米？如果一个人需要0.5分米宽的位置就餐，这张餐桌大约能坐多少人？（π取3.14） 【答案】28.26平方分米；37人 【分析】已知圆的周长，先求半径。周长＝2πr，半径＝周长÷π÷2。再求面积，面积＝πr²。能坐的人数用圆的周长除以每人需要的宽度。因为人坐在圆周上，用周长除以0.5即可。 【解答】半径： 18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 18.84÷0.5＝37.68，约能坐37人。 答：面积是28.26平方分米。大约能坐37人。 24．窗花是中国传统民间艺术之一。下图是一个圆形窗花，它的内圆周长是25.12厘米，外圆的直径是12厘米，内圆与外圆之间的距离是多少厘米？ 【答案】2厘米 【分析】内圆与外圆之间的距离就是圆环的环宽＝外圆半径−内圆半径。先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，用内圆周长除以2π求出内圆半径，再用外圆直径除以2求出外圆半径，最后相减。 【解答】25.12÷（2×3.14） ＝25.12÷6.28 ＝4（厘米） 12÷2＝6（厘米） 6－4＝2（厘米） 答：内圆与外圆之间的距离是2厘米。 25．公园要规划一片绿化区域，设计师给出了A、B两种方案（如图所示）。奇奇觉得方案B的绿化面积更大，你同意他的观点吗？请通过计算说明理由。 【答案】不同意； A方案：2＋8＋2＝12（米） 3.14 ×[（12÷2）2－（8÷2）2]÷2＝31.4（平方米） B方案：3.14×（12÷2）2÷2－2×3.14×22＝31.4（平方米） 所以两种方案面积一样大。 【分析】求绿化区域的面积，绿化面积等于大半圆的面积减去内部空白部分的面积。方案A是半圆环，用大半圆面积减去内部小半圆的面积；方案B是一个大半圆，里面挖掉两个完全相同的小圆，用大半圆面积减去两个小圆的面积。分别计算出A、B两个方案的绿化面积，对比面积大小，即可判断奇奇的观点是否正确。圆的面积公式S＝πr2，π取3.14。 【解答】方案A： 大半圆半径：（2＋8＋2）÷2 ＝12÷2 ＝6（米） 内部小半圆半径：8÷2＝4（米） 面积：3.14×（62－42）÷2 ＝3.14×（36－16）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（平方米） 方案B： 大半圆半径：12÷2＝6（米） 小圆半径2米 面积：3.14×62÷2－2×3.14×22 ＝3.14×36÷2－2×3.14×4 ＝56.52－25.12 ＝31.4（平方米） 因为31.4＝31.4，两个方案绿化面积相等。 答：不同意奇奇的观点，方案A和方案B的绿化面积一样大。 26．育才小学新建了一块符合国际标准的铅球场地，场地主要由两部分组成：投掷圈是直径为2.135米的圆形区域；落地区是以投掷圈圆心为顶点、圆心角为34.92°的扇形区域，扇形半径为25米（从投掷圈圆心到落地区远端边线）。 （1）投掷圈的周长大约是多少米？（结果保留两位小数） （2）落地区的占地面积大约是多少平方米？（结果保留整数） 【答案】（1）6.70米 （2）190平方米 【分析】（1）已知投掷圈是直径为2.135米的圆形区域，则投掷圈的周长即为圆周长，根据圆周长计算；（2）已知落地区是以投掷圈圆心为顶点、圆心角为34.92°，半径为25米的扇形区域，根据扇形面积计算。 【解答】（1）3.14×2.135≈6.70（米） 答：投掷圈的周长大约是6.70米。 （2） ＝ ≈190（平方米） 答：落地区的占地面积大约是190平方米。 27．如图，爷爷依墙围了一块菜地，呈半圆形，菜地的半径是6米。 （1）给这块菜地围上栅栏，需要多少米的栅栏？ （2）如果把这块菜地的直径增加4米，则菜地的面积增加多少平方米？ 【答案】（1）18.84米 （2）43.96平方米 【分析】菜地是半圆形，靠墙的一边是直径，不需要栅栏。 （1）栅栏长度就是半圆的弧长，弧长公式：×2πr＝πr。 （2）直径增加4米，先算出新的半径，分别求出新、旧半圆面积，相减得到增加的面积； 【解答】（1）×2πr＝πr＝3.14×6＝18.84（米） 答：需要18.84米的栅栏。 （2）原来半径r1＝6米 原来直径：6×2＝12米 新直径：12＋4＝16米，新半径r2＝16÷2＝8米 原来半圆面积： ×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝56.52（平方米） 新半圆面积： ×3.14×82 ＝×3.14×64 ＝100.48（平方米） 增加的面积： 100.48－56.52＝43.96（平方米） 答：菜地的面积增加43.96平方米。 28．为了扩大百姓的休闲活动空间，某社区准备建一个微型公园。下图中左侧的正方形是这个公园的平面设计图，空白部分是活动区域，涂色部分为绿植区域。 （1）以正方形中心O点为观测点，A点在正北方向上，与O点相距的实际距离是（ ）米。 （2）绿植区域的图形共有（    ）条对称轴，请你画出其中的一条。绿植区域的实际面积是多少平方米？ （3）在保证活动区域和绿植区域面积不变的情况下，还可以有不同的设计方案。请在上图右侧的正方形中用圆规画出新的设计图，给绿植区域涂色。 【答案】（1）15 （2）4；；193.5平方米 （3） 【分析】（1）图中的方向是上北下南，左西右东，正方形公园的边长是30米，点O与点A的实际距离是30米的一半。 （2）根据轴对称图形的特征，沿某一条直线对折后，两边能完全重合。绿植区域有4条对称轴。可以经过点A、点O画一条直线。绿植区域的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2。 （3）只要在正方形内画一个最大的圆作为活动区域，并把其他区域涂色即可。 【解答】（1）30÷2＝15（米） （2）绿植区域的图形共有4条对称轴；经过点A、点O画一条直线，就是它的对称轴。 30÷2＝15（米） 30×30－3.14×152 ＝30×30－3.14×225 ＝900－706.5 ＝193.5（平方米） 答：绿植区域的实际面积是193.5平方米。 （3）画出正方形的对角线，以对角线的交点为圆心，正方形边长的一半为半径画一个圆，并把圆外的区域涂色即可，（答案不唯一）。图略。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $