第五单元 圆 第5课时 圆的面积 知识清单-2026-2027学年数学六年级上册苏教版

《第五单元 圆 第5课时 圆的面积》知识清单 苏教版·2026-2027学年·数学六年级上册　（本文 π 取近似值 3.14 计算） 一、知识梳理 本课学习圆的面积（教材 P79-P81 例5、例6与“练一练”），核心知识如下表。先弄清“圆所占平面的大小”是指什么，再经历数方格估算与剪拼转化，最后掌握面积公式 S＝πr² 并学会计算。 要点 具体内容 圆的面积的意义 圆所占平面的大小叫作圆的面积。圆的面积是圆“面”的大小，圆的周长是圆“边线”的长短，两者是不同的量，不能混为一谈。 面积与什么有关 圆的面积与它的半径有关：半径越大，圆所占的平面就越大，圆的面积就越大；半径越小，面积就越小。 数方格估算 用边长等于圆半径的正方形作面积单位，1个面积单位就是 r²。圆的面积比 2个面积单位大、比 4个面积单位小；把面积单位细分后再数一数、算一算，圆的面积大约是 r² 的3倍多一些。 剪拼转化 把圆平均分成若干份（8份、16份、32份……），可以拼成一个近似的平行四边形；平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。剪拼前后图形的形状变了，面积没有变。 拼成的长方形与圆的关系 长方形的面积与圆的面积相等；长方形的长相当于圆周长的一半，即 ＝＝πr；宽相当于圆的半径 r。 圆的面积公式 由长方形的面积＝长×宽，得圆的面积＝πr×r＝πr²，即 S＝πr²。S 表示圆的面积，r 表示半径，计算时 π 一般取 3.14。 已知直径求面积 题目给的是直径时，要先求出半径 r＝d÷2，再代入 S＝πr² 计算，不能直接把直径代入公式。 面积单位 面积要用面积单位，如平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）；半径用长度单位，两者不能混用。 公式的适用范围 本课只学圆的面积：由半径用 S＝πr² 求面积。求扇形、圆环的面积以及面积的综合应用是后面的内容，本课不涉及。 二、算理剖析 圆是曲线图形，它的面积为什么能算？公式又是怎么来的？把这几个“为什么”想明白，公式就记得牢、用得对。 ① 为什么圆的面积不好直接求？长方形、正方形的边是线段，可以用数格子的办法直接数出它包含多少个面积单位；圆是曲线围成的，直接数格子时边缘的格子有整有缺，数不准，所以要另想办法。 ② 数方格为什么能得到“3倍多一些”？以半径为边长的小正方形面积是 r²，把这样的正方形放进圆里比一比，圆比2个正方形大、比4个正方形小；把面积单位继续细分，把圆内完整的格子数出来、再估计不完整的格子，就能数出圆面积大约是 r² 的3倍多一些。 ③ 为什么能把圆“变成”长方形？把圆沿半径剪成若干个完全一样的小扇形，再把它们一正一反地拼起来——拼成的图形边线由一段段小弧组成，近似于直线，所以看起来像平行四边形、像长方形。分的份数越多，每段的弧越短、越接近直线，拼成的图形就越接近长方形。 ④ 拼成的长方形与圆有什么关系？剪拼只是改变了形状，把圆重新摆放，材料没多也没少，所以长方形的面积与圆的面积相等；长方形的长由圆的一半周长拼成，等于 ＝πr；长方形的宽就是圆的一条半径 r。 ⑤ 公式是怎么推出来的？长方形的面积＝长×宽，长是 πr，宽是 r，所以圆的面积＝πr×r＝πr²。用字母表示就是 S＝πr²。整个推导没有用“规定”，而是一步一步算出来的。 ⑥ 计算时为什么先算 r²？公式 S＝πr² 里，r² 表示 r×r，要先把半径的平方算出来，再乘 π。例如半径5米，先算 5²＝5×5＝25，再算 3.14×25＝78.5（平方米）；如果把 5² 算成 5×2＝10，结果就错了。 ⑦ 已知直径为什么要先除以2？因为公式里的 r 是半径，而直径 d 是半径的2倍。题目给直径时，半径＝直径÷2，先求出半径，才能代入 S＝πr²。直接把直径当半径，算出的面积会变成正确答案的4倍。 注意：本课只学圆的面积公式 S＝πr²，不要与圆的周长公式 C＝πd、C＝2πr 混用。面积单位要写“平方……”，如 cm²、m²。 三、方法归纳 （一）求圆的面积的方法 ① 看清已知条件：题目给的是半径还是直径。已知半径，直接把 r 代入 S＝πr²；已知直径，先求半径 r＝d÷2，再代入公式。 ② 先算半径的平方：r²＝r×r，这一步最容易出错，算完再乘 π（一般取3.14）。 ③ 写全格式：按“写公式—代入—计算—答语”四步书写，结果后面写清面积单位（cm²、dm²、m² 等）。 （二）估算圆面积的方法（数方格法） ① 定单位：以圆的半径为边长画一个小正方形，1个这样的面积单位就是 r²。 ② 先夹逼：把面积单位放进圆里，发现圆的面积比2个面积单位大、比4个面积单位小，确定范围。 ③ 再细分：把面积单位不断细分，数出圆内完整的格子、估计不完整的格子，得到圆面积大约是 r² 的3倍多一些。数得越细，估计得越准。 （三）剪拼推导公式的思路（转化法） ① 剪：把圆沿半径平均剪成若干份完全一样的小扇形。 ② 拼：把小扇形一正一反地拼起来，拼成一个近似的平行四边形或长方形；分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 ③ 找对应：长方形的长相当于圆周长的一半 πr，宽相当于半径 r；面积不变。 ④ 推导：由“长方形的面积＝长×宽”推出“圆的面积＝πr×r＝πr²”。 四、易错警示 ✗ 错误：半径5米的圆，S＝3.14×(5×2)＝3.14×10＝31.4（平方米），把 5² 算成了5×2。 → ✓ 正确：5²＝5×5＝25，S＝3.14×25＝78.5（平方米）。 ✗ 错误：圆形鸡圈直径18米，S＝3.14×18²＝3.14×324＝1017.36（平方米），把直径当成了半径。 → ✓ 正确：先求半径 r＝18÷2＝9（米），S＝3.14×9²＝3.14×81＝254.34≈254（平方米）。 ✗ 错误：把圆的面积和圆的周长混在一起，用 C＝2πr 去求面积。 → ✓ 正确：求面积用 S＝πr²；C＝2πr 是求周长的公式，两者不能混用。 ✗ 错误：面积单位写成“米”“厘米”等长度单位。 → ✓ 正确：面积要用面积单位，半径是“米”时面积单位是“平方米”，半径是“厘米”时面积单位是“平方厘米”。 ✗ 错误：认为把圆剪拼成长方形后面积变大了（或变小了）。 → ✓ 正确：剪拼只是改变了形状，材料没有增减，圆的面积与拼成的长方形面积相等。 ✗ 错误：认为分的份数越多，就“正好”拼成准确的长方形。 → ✓ 正确：无论平均分成多少份，拼成的图形只是“越来越接近”长方形；分的份数越多，越接近，但边线仍由小弧组成。 ✗ 错误：把 r² 与 2r 混为一谈，认为 r²＝2r。 → ✓ 正确：r² 表示 r×r，2r 表示 r＋r；如 3²＝9，而 3×2＝6，两者不相等。 五、典型例题 例1　圆的面积的意义（教材P79 例5） 右边圆的面积指的是什么？圆的面积与什么有关？ 解：圆所占平面的大小叫作圆的面积，可以把这个圆涂上颜色表示出来。圆的面积与它的半径有关，半径越大，圆所占的平面越大，面积就越大。 点睛：面积是“面”的大小，周长是“边线”的长短。涂色时把整个圆面涂满，涂出的就是圆的面积。 例2　数方格估算（教材P79） 用边长等于圆半径的正方形作为面积单位去量圆，圆的面积大约是多少？ 解：1个面积单位就是 r²。把面积单位放进圆里比一比，圆的面积比2个面积单位大、比4个面积单位小；把面积单位细分后再数一数、算一算，圆的面积大约是 r² 的3倍多一些。 点睛：数方格只是估算，得到的是近似值；要想得到准确结果，还要靠剪拼转化的办法推导出公式。 例3　剪拼推导面积公式（教材P80） 把圆平均分成若干份拼成近似长方形，长方形的长和宽各相当于圆的什么？圆的面积公式怎样推导？ 解：长方形的长相当于圆周长的一半，即 ＝＝πr；宽相当于圆的半径 r；长方形的面积与圆的面积相等。因为长方形的面积＝长×宽，所以圆的面积＝πr×r＝πr²。 点睛：推导的关键是“面积不变”和“长宽对应”。把长写成 πr，是先用 ＝πr 做了转化，这一步千万不能少。 例4　已知半径求面积（教材P81 例6） 一个自动喷水器的最远喷水距离大约是5米。它旋转一周喷灌的面积大约是多少平方米？ 解：喷水器旋转一周喷灌的区域是一个圆，最远喷水距离5米就是这个圆的半径。S＝πr²＝3.14×5²＝3.14×25＝78.5（平方米）。 答：它旋转一周喷灌的面积大约是78.5平方米。 点睛：先算 5²＝25，再乘3.14；不要把 5² 算成 5×2。答语要写完整，单位是“平方米”。 例5　已知直径求面积（教材P81 练一练） 小春家有一个圆形鸡圈，直径是18米。这个鸡圈的占地面积大约有多少平方米？（得数保留整数） 解：先求半径 r＝18÷2＝9（米）；S＝πr²＝3.14×9²＝3.14×81＝254.34（平方米）。 得数保留整数：254.34≈254（平方米）。答：这个鸡圈的占地面积大约是254平方米。 点睛：题目给的是直径，第一步必须先除以2求出半径，再代入公式；最后按要求保留整数，写“≈”并写清答语。 六、拓展延伸 ① 面积与 r² 的倍数关系：数方格估算告诉我们，圆的面积大约是 r² 的3倍多一些；用公式 S＝πr² 精确计算后可以发现，这个“倍”其实就是 π（≈3.14）。例如半径5米，面积 78.5平方米，而 r²＝25，78.5÷25＝3.14，正好就是 π。这说明课初的估计和课末的公式是一致的。 ② 半径（直径）的变化引起面积的变化：由 S＝πr² 可以看出，圆的面积与半径的平方有关。半径扩大到原来的2倍，面积就扩大到原来的4倍；半径扩大到原来的3倍，面积就扩大到原来的9倍。直径扩大到原来的2倍，半径也随之扩大2倍，面积同样扩大到原来的4倍。 ③ 转化思想的一般性：把圆剪拼成长方形，和以前把平行四边形转化成长方形、把三角形和梯形转化成平行四边形是同一个思路——把不会算的图形变成会算的图形。转化是解决图形面积问题的重要方法，以后学习其他图形时还会用到。 ④ 估计与精确配合：数方格估算能给我们一个范围（比2r² 大、比4r² 小）和一个粗略结果（大约3倍多一些），公式计算能给出精确结果。先估后算、用估验算，是良好的数学学习习惯。例如算出半径5米的圆面积是78.5平方米，就可以用“大约3个 r²（75）多一些”来检验结果是否合理。 七、本课小结 1. 圆所占平面的大小叫作圆的面积；圆的面积与它的半径有关，半径越大，圆的面积越大。 2. 用边长等于半径的正方形作面积单位，圆的面积比2个面积单位大、比4个面积单位小；细分后数一数，圆的面积大约是 r² 的3倍多一些。 3. 把圆平均分成若干份，可以拼成近似的平行四边形，分的份数越多越接近长方形；剪拼前后面积不变。 4. 拼成的长方形的长相当于圆周长的一半 ＝πr，宽相当于半径 r，由此推出圆的面积公式 S＝πr²。 5. 计算圆的面积：先算半径的平方 r²＝r×r，再乘 π（取3.14）；已知直径要先求半径 r＝d÷2；结果要写面积单位。 6. 例6：自动喷水器最远喷水距离5米，喷灌面积 3.14×5²＝78.5（平方米）；练一练：直径18米的圆形鸡圈，占地面积 3.14×9²＝254.34≈254（平方米）。 学科网（北京）股份有限公司 $