精品解析：江苏南通市海安市海安八校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学学习评估 202610 （卷面分值：150分 答卷时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式的顶点式即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求解顶点坐标的方法是解题关键． 2. 已知点M（﹣3，4）在双曲线y＝上，则下列各点在该双曲线上的是（　　） A. （3，4） B. （﹣4，﹣3 ） C. （4，3 ） D. （3，﹣4） 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点(-3，2)在双曲线y= 上求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】∵点(−3,4)在双曲线y= 上，∴k=(−3)×4=−12， A. ∵3×4=12=k，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B. ∵(−3)×(−4)=12=k，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C. ∵3×4=12=k，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D. ∵3×（-4）=-12=k，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确. 故答案选：D. 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征 ，解题的关键是熟练的掌握反比例函数图象上点的坐标特征. 3. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：．故选A． 考点：二次函数图象与几何变换． 4. 把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较系数得出和的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方：方程两边同时加 ， ， 即 ， 与 比较，得 , ． 故选：D. 5. 若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标，设抛物线解析式为，问题随之得解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴设解析式为， 将代入得：， 解得， ∴． 6. 若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，随的增大而减小，推出，可知二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上，由此即可判断． 【详解】解：，随的增大而减小， ， 二次函数的图象的开口向下，与则交于负半轴上， 故选：A． 【点睛】本题参考二次函数的性质、正比例函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正比例函数以及二次函数的性质，属于中考常考题型． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的为（）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】看抛物线与轴交点，得，即可判断①，抛物线与轴两个交点，判别式，即可判断②，利用、求对称轴，代入对称轴公式得，即可判断③；时，，图像在轴上方，，即可判断④． 【详解】解：抛物线与轴交于点， 当时，，故①正确． 抛物线与轴有两个不同交点， 一元二次方程有两个不相等实数根， ，故②正确． 由图可知，点与关于对称轴对称， 抛物线对称轴为直线， 二次函数对称轴公式， ，整理得，故③正确， 当时，函数值， 又对应抛物线上的点在轴上方， ，即， 不成立，故④错误． 综上，①②③正确． 8. 二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线图象性质，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【详解】解：过点C作CA⊥y轴于点A， 根据抛物线的对称性得：OBD的面积等于CAO的面积， ∴阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积． ∵， ∴顶点坐标为C（2，－2）． ∴对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2=4． 故选B． 10. 已知点，在抛物线（是常数）上．以下四个结论：①抛物线一定经过点；②抛物线的对称轴是直线；③若，则；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式，在中，当时，，即可判断①；求出对称轴为直线，即可判断②，由得出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④，熟练掌握以上知识点并熟练运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，， 抛物线一定经过点，故①正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线，故②正确，符合题意； ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，，当时，；故③错误，不符合题意； ， 当时，，此时方程无解，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②，共个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，第11-15题每题4分，第16题每小题3分，共26分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则b的值是_____． 【答案】2． 【解析】 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0，解得b=2． 12. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求出对称轴和函数解析式是解题的关键． 先根据对称点求出对称轴为直线，继而求出b，再将代入函数解析式即可． 【详解】解∵抛物线经过两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 所以解析式为：， 当，则， 故答案为：． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______． 【答案】，. 【解析】 【分析】根据图像得抛物线的对称轴为x=2，方程的一个根为6，∴，确定即为方程的另一个根. 【详解】如图，抛物线的对称轴为直线x=2，方程ax2+bx+c=0的一个根为6，另一个根为x2， ∴， 解得= -2， ∴一元二次方程的解为=6，= -2， 故填，. 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握抛物线与x轴交点的横坐标为一元二次方程的两个根，对称轴与对称点横坐标的关系是解题的关键. 14. 若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是_______（用 < 连接）． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴和开口方向，根据开口向上时，点到对称轴的水平距离越大，函数值越大，计算三个点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中，， ∴，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线，点的横坐标到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点横坐标为，距离为， 点横坐标为，距离为， 点横坐标为，距离为， ∵， ∴． 15. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为__________m． 【答案】## 【解析】 【分析】建立以所在直线为轴、所在直线为轴的直角坐标系，根据顶点设其解析式为，把代入求得的值，据此可得其函数解析式，再求得时的值可得答案． 【详解】解：如图，以所在直线为轴、所在直线为轴建立直角坐标系， 由题意知，抛物线的顶点的坐标为、点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 则抛物线的解析式为：， 当时，有， 解得：（舍或， m， 答：水流的落地点到水枪底部的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解． 16. 已知二次函数 （1）若则函数的最大值为_______． （2）若当时，的最大值为5，则的值为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 1或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 三、解答题（本大题共9大题，共94分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） ． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将常数项移项到方程的左边，再因式分解求解即可； （2）将方程右边提取公因式后再移项，然后因式分解求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解： ，． 18. 已知与成反比例，并且当时，． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由与成反比例，设，把时，代入求值即可； （2）把代入函数解析式求y的值； （3）把代入函数解析式，解方程求x的值． 【小问1详解】 解：设， 当时，， ， ， ． 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当时，， ， 经检验，是所列方程的根． 19. 已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … （1）则 ； （2）求该二次函数的表达式； （3）当时，则y的取值范围是 ． 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）利用抛物线的对称性先确定抛物线的对称轴为直线，然后利用当和时函数值相等得到m的值； （2）设交点式为，然后把代入求出a即可； （3）先利用配方法得到，则当时，y有最小值，由于当时，；，，从而可确定当时，y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和 ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，， 即； 故答案为：0； 【小问2详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，即； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∵当时，；，， ∴当时，则y的取值范围是． 故答案为：． 20. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点，点P在抛物线上，且，求点P的坐标； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上， 则 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标为或， 21. 综合与实践 主题：建立二次函数模型解决数字乘积问题． （1）数学活动：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式是___________． ，，…，，． （2）阅读材料：对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路． 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为，求出y与x的函数关系式，并求出上述算式中的最大算式； （3）问题解决：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是9，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由； ，，…，，． 【答案】（1） （2）， （3） 的积最大．理由： 设两个乘数的积为w，其中一个乘数的后两位上的数组成的数为，则另一个乘数的后两位上的数组成的数为， 由题意得：， ， ∴当时，w有最大值， 的积最大． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解题意，根据题意建立二次函数模型是解本题的关键． （1）直接计算求解即可； （2）根据题意列出函数关系式，化为顶点式求解即可； （3）设两个乘数的积为w，其中一个乘数的后两位上的数组成的数为，则另一个乘数的后两位上的数组成的数为．根据题意列出函数关系式，化为顶点式求解即可． 【小问1详解】 解：通过计算可得出其中积最大的算式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， 当时，y有最大值， 的值最大； 【小问3详解】 略 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：无论取何值，函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该函数图象的顶点的纵坐标为，与轴的交点分别为，． ①___________；（用含的代数式表示） ②若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：令，则， ， ∵， ∴，即， ∴无论取何值，函数的图象与轴总有两个公共点； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）令，则，再计算判别式，判断其符号即可证明； （2）①将二次函数化为顶点式，即可求解；②根据题意可知，当和时对应，求出的范围，再结合①中的代数式，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵函数图象的顶点的纵坐标为， ∴， 故答案为：； ②当时，； 当时，； 由题意得，， 解得， 由①得，， ∵， ∴当时，取得最大值， ∵，，且， ∴当时，， ∴的取值范围为． 23. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】（1）175，3500 （2）（且为整数） （3）当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数的实际应用： （1）根据题意直接求解即可； （2）根据题意每件商品的售价上涨x元，则每件利润为元，销量减少为件，从而可求出总利润y，根据每件单价不能高于70元可求x的范围； （3）根据二次函数图像的性质即可求出最大利润及此时的销售定价． 【小问1详解】 解：若上涨5元，每个月可卖出（件）， 每个月的销售利润为（元）， 故答案为：175，3500； 【小问2详解】 解：由题意得：， 由知， 又为正整数， 故（且为整数）； 【小问3详解】 解：二次函数图像的对称轴为， ， ∴二次函数图像开口向下， 根据二次函数图像的对称性可知，当或时，二次函数取到最大值， ∴当售价定为每件57或58元，每个月的利润最大，最大的月利润是3542元． 24. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值； （3）结合图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）， （2）的最大值为 （3）自变量的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点求解、二次函数的最值应用及函数不等式的解集，解题的关键是利用交点坐标确定二次函数的解析式，通过构造线段差表示三角形的高来求面积最值，结合函数图像确定不等式的解集． （1）先由一次函数求出A、B的坐标，代入二次函数解析式列方程求解b、c； （2）设P点坐标，用一次函数与二次函数的纵坐标差表示高，构造面积的二次函数，求其最大值； （3）结合图像直接得出二次函数图像在一次函数下方时自变量的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，，故； 当时，，故； 将、代入，得， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）知二次函数的解析式为． 设，过作轴交于，则， ， ， 配方得， 当时，的最大值为． 【小问3详解】 解：由图像可知，当时，自变量的取值范围是． 25. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】（1）该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）；（2）y=-x2+4x；（3）2≤m≤4． 【解析】 【分析】（1）根据完美点的定义设该完美点的坐标为（m，m），代入y=x2+4x+2可得关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可得答案； （2）由二次函数的图像上有且只有一个完美点可得ax2+4x+c=x时，方程有两个相等的实数根，可得4ac=9，方程的根为=，可求出a值，进而可求出c值，即可得答案； （3）根据（2）中解析式可得出顶点坐标及对称轴，根据二次函数的增减性即可得m的取值范围． 【详解】（1）设该完美点的坐标为（m，m）， ∵a=1，c=2， ∴二次函数解析式为y=x2+4x+2， ∴m2+4m+2=m， 解得：m1=-1，m2=-2， ∴该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）． （2）∵二次函数的图像上有且只有一个完美点， ∴方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=9-4ac=0，即4ac=9， ∵完美点坐标为， ∴方程ax2+3x+c=0的根为=， 解得：a=-1， ∴c=， ∴该函数解析式为y=-x2+4x． （3）∵y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）， ∵-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x的增大而增大， 当y=-3时，-x2+4x-3=-3， 解得：x1=0，x2=4， ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴m的取值范围为：2≤m≤4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及根的判别式，利用数形结合的数学思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学习评估 202610 （卷面分值：150分 答卷时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点M（﹣3，4）在双曲线y＝上，则下列各点在该双曲线上的是（　　） A. （3，4） B. （﹣4，﹣3 ） C. （4，3 ） D. （3，﹣4） 3. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若抛物线经过，，三点，则抛物线对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若正比例函数，随的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论： ①；②；③；④．其中正确的为（）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ③④ 8. 二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 10. 已知点，在抛物线（是常数）上．以下四个结论：①抛物线一定经过点；②抛物线的对称轴是直线；③若，则；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，第11-15题每题4分，第16题每小题3分，共26分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则b的值是_____． 12. 已知抛物线经过两点，则t的值为_____． 13. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为______． 14. 若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是_______（用 < 连接）． 15. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷水口A距地面，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪所在直线的距离为，且到地面的距离为，则水流的落地点C到水枪底部B的距离为__________m． 16. 已知二次函数 （1）若则函数的最大值为_______． （2）若当时，的最大值为5，则的值为_______． 三、解答题（本大题共9大题，共94分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） ． 18. 已知与成反比例，并且当时，． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当时，求y的值； （3）当时，求x的值． 19. 已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … （1）则 ； （2）求该二次函数的表达式； （3）当时，则y的取值范围是 ． 20. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点C为抛物线与y轴的交点，点P在抛物线上，且，求点P的坐标； 21. 综合与实践 主题：建立二次函数模型解决数字乘积问题． （1）数学活动：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式是___________． ，，…，，． （2）阅读材料：对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路． 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为，求出y与x的函数关系式，并求出上述算式中的最大算式； （3）问题解决：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是9，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由； ，，…，，． 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：无论取何值，函数的图象与轴总有两个公共点； （2）若该函数图象的顶点的纵坐标为，与轴的交点分别为，． ①___________；（用含的代数式表示） ②若，直接写出的取值范围． 23. 某商品的进价为每件35元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖7件（每件单价不能高于70元），每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每个月的销售利润为y元． （1）若上涨5元，每个月可卖出_______件，则每个月的销售利润为______元； （2）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 24. 如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值； （3）结合图象直接写出当时，自变量的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $