精品解析：江苏省南通市海安市紫石中学2025-2026学年上学期第二次学研九年级数学 试卷

2025-2026学年第一学期第二次学研 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第二、第四象限 C. 第一、第四象限 D. 第二、第三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象与的关系． 根据反比例函数（为常数，）的性质，当时，图象位于第一、第三象限；当时，图象位于第二、第四象限，据此判断． 【详解】解：反比例函数（为常数，）： 当时，函数的图象在第一、第三象限； 当时，函数的图象在第二、第四象限． 在反比例函数中，，所以该函数的图象位于第一、第三象限． 故选：A． 2. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，直接根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为． 故选：D． 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0．熟练运用根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故选：B 4. 如图，点，在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设轴于点D，轴于点C，由题意求出，，则，，，由反比例函数的几何意义可得，然后代入即可求值． 本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点D，轴于点C， 由条件可知，， ∴，，， 由反比例函数的几何意义可得， ∴， 故选：C． 5. 不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，理解并掌握简单概率计算公式是解题关键．先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中装有3个红球，2个白球， ∴摸出红球的可能性大小为． 故选：D． 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， 故选：B． 7. 在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：B． 8. 如图，建筑物和旗杆的水平距离为6m，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键掌握锐角三角函数的定义．根据题意可得四边形是矩形，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差，即可解答． 【详解】解：由题意得：四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故选：D． 9. 如图，在半圆中，为直径，点为半圆的三等分点，连接，相交于点，连接交于点．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据是直径，点为半圆的三等分点，可得是等边三角形，，，，在中，，，由勾股定理得到，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∵点为半圆的三等分点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：B ． 【点睛】本题考查了半圆或直径所对圆周角的直角，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的运用，理解三等分点的含义，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 10. 如图，M为斜边上的中点，等腰的底边与交于点P，若，则的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，，，在以点为圆心的圆上，且为直径，过点作，可得，则，则当最最大值时，即取最小值，即当点在的中点时，亦即经过圆心（）时，点到弦的距离最大，如图，设，利用含的直角三角形可得，此时，，即可得的最小值为2． 【详解】解：∵为斜边上的中点，等腰的底边与交于点， ∴，， ∴，，，在以点为圆心的圆上，且为直径， 过点作，则， ∵， ∴， ∴， 由题意可知，为长度不发生变化， 则当最最大值时，即取最小值， 即：当点在的中点时，亦即经过圆心（）时，点到弦的距离最大，如图， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴，则， 此时，， 综上，的最小值为2； 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，圆的相关知识，得到，，，在以点为圆心的圆上，且为直径，再添加辅助线构造相似是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，11-12题每题3分，13-16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故答案为：15． 13. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 根据题意，根据画树状图法求概率即可求解． 【详解】解：画树状图，如图所示， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， ∴两名同学均来自相同班级的概率是， 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 15. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是___________．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可推出离对称轴越远，函数值越大，求出三个点到对称轴的距离，并比较大小即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵为二次函数的图象上的三点，且， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正方形的顶点是坐标原点，分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点，边上的点满足． （）若，则线段的长为______； （）若的面积为，则实数的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，进而根据正方形的性质可得，即可求解； （）过作于，可得四边形是矩形，即得，进而可证，得到，即得到，解方程即可求解； 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，正方形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是反比例函数图象上的点， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （）过作于，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程．熟悉利用因式分解法（提公因式法）和公式法解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）因式分解法解一元二次方程：通过变形统一形式的式子，再移项使方程右边为，提取公因式，将方程化为“因式乘积等于”的形式，进而求解． （2）公式法解一元二次方程：先确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，计算判别式，再代入求根公式求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得：， 括号内变为统一形式，得：， 提取公因式，得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 此方程中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 根据求根公式为，代入系数得： ， ∴方程的两个根为，． 18. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况． （1）列举出所有可能的情况； （2）求出至少有一辆车向左转的概率． 【答案】（1） 解：两辆车分别记为车1，车2，可以用表格列举出所有可能出现的情况， 车1 车2 直行 左转 右转 直行 （直行，直行） （左转，直行） （右转，直行） 左转 （直行，左转） （左转，左转） （右转，左转） 右转 （直行，右转） （左转，右转） （右转，右转） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）列表得出所有可能出现的情况即可； （2）由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种，再由概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，所有可能出现的情况共有9种，它们出现的可能性相等，至少有一辆车向左转的情况有5种， 所以（至少有一辆车向左转）． 19. 如图，在中，是高，矩形的顶点分别在上，在上，交于点，设，，，求矩形的面积． 【答案】矩形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，由矩形的性质证明四边形，是矩形，根据矩形的性质得，由，设矩形的边长为，则，，由矩形的性质可知，则，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可，掌握矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， ∵， ∴设矩形的边长为，则，， ∵四边形形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴矩形的边长为，， ∴矩形的面积为． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据题意得，进一步得，最后解方程即可； （2）由根与系数的关系得，，，进一步得，再根据勾股定理建立方程，最后求解并检验即可． 【小问1详解】 解：若四边形为菱形，则， ∴关于的一元二次方程有两个相等实数根， ， 即， 解得 ． 答：的值为． 【小问2详解】 解：由题意可知，，的长为方程的两个实数根， ，， ． 当四边形为矩形时，则有， 即， 解得，或． ，且，, 且， ． 答：的值为． 21. 如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 是的半径 ∴， （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） ∴（同弧或等弧所对的圆周角相等） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理，得 ，由圆周角定理，得； （2）可证得；中，勾股定理求得，于是. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 又∵ ∴（两角分别相等的两个三角形相似） ∴（相似三角形对应边成比例） ∵ ∴ 在中 ∴（勾股定理） 即 ∴. 【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用反比例函数解析式求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； （）求出点坐标，再根据解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的几何应用，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数中，得， 解得， ∴， 把代入反比例函数中，得， ∴， 把和代入一次函数得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方， ∴时的取值范围为或； 【小问3详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； （3）设点，在该抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 （3）时，或；时， 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）先把抛物线化为顶点式，再根据抛物线的顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求出a即可解决问题； （3）分与两种情况，根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 抛物线的对称轴是直线； 故答案为：直线； 【小问2详解】 ， ∴抛物线的顶点坐标是， 若抛物线的顶点在x轴上，则， 解得：， ∴抛物线的解析式为或； 【小问3详解】 当时，抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵，在该抛物线上，且，点在抛物线上， ∴或； 当时，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小， ∵，在该抛物线上，且，点在抛物线上， ∴； 综上，时，或；时，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基础题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24. 在中，，，点E在内部，以为斜边作等腰直角三角形，使得点D，E在AC的异侧，连接交于点M，点G在上，且满足． （1）如图1，求证：； （2）当点E是的中点时，连接，如图2，求的值； （3）连接，延长交于点F，如图3，求证：点F是的中点． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3）证明： 法一：延长至点H，使得，连接， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又， ∴， 即点F是EC的中点． 法二：过点B作，延长交于点N，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点F是EC的中点． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得，再运用角的和进行证明即可； （2）设，利用勾股定理，证明；根据，计算即可； （3）延长至点H，使得，连接，证明，得到，利用平行线分线段成比例定理，证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 在中，， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴，即， ∴ 过点G作交BD于点N， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ． 【小问3详解】 略 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角函数，勾股定理是解题的关键． 25. 【问题情境】 用两个直角边分别为a，b的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形．若可以拼成如图1所示的正方形，从而得到即当时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和．即于是我们可以得到结论a，b为正数，总有当且仅当时，代数式取得最小值2ab．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论：∴对于任意实数a，b总有且当时，代数式取最小值2ab，同理，对于正数a，b，总有当且仅当时等号成立． 【类比应用】 利用上面所得到的结论完成填空： （1）当时，代数式的最小值为__________． （2）当时，代数式有最小值为________． （3）如图2，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，试求的最小面积． 【拓展应用】 （4）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0．2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用参加活动的同学人数） （5）若正数a，b满足则的最小值为_______． 【答案】（1）4；（2）2；（3）2；（4）人数为60人，最低费用为36元；（5） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运用、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用材料提供的公式是本题解题的关键． （1）根据已知公式直接计算即可； （2）构造已知公式，然后进行计算即可； （3）设P点坐标，列出的面积表达式，根据已知公式求解即可； （4）假设参加人数，列出人均费用的表达式，根据已知公式求解最值； （5）将代入M，然后通分，取分式部分的倒数，根据已知公式求其最大值即为M的最小值． 【详解】解：（1），当且仅当时，等式成立，此时，， ∴的最小值为4． 故答案为：4． （2）． 故答案为：． （3）如图：设，过A作轴于B，过P作轴于Q， ∵ ∴，，， ∴ ． （4）设共有x人参加活动， ∴人均投入（元）， 当取等，即时，人均投入费用最低，最低费用是36元． （5）∵， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， 当取等时，，解得：，符合题意． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第二次学研 九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 反比例函数的图象分别位于（ ） A. 第一、第三象限 B. 第二、第四象限 C. 第一、第四象限 D. 第二、第三象限 2. 将抛物线向右平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 4. 如图，点，在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，，则的面积是（     ） A. 1.5 B. 3 C. 9 D. 13 5. 不透明的袋子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则摸出红球的可能性大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　） A. B. C. 2 D. 8. 如图，建筑物和旗杆的水平距离为6m，在建筑物的顶端测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的俯角为，则旗杆的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 9. 如图，在半圆中，为直径，点为半圆的三等分点，连接，相交于点，连接交于点．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，M为斜边上的中点，等腰的底边与交于点P，若，则的最小值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，11-12题每题3分，13-16题每题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：______． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 13. 某校举办书法比赛，获得一等奖的有甲、乙、丙、丁四位同学，其中甲、乙来自九年级（1）班，丙、丁来自九年级（2）班，现从中推荐两名同学代表学校去参加县级比赛．若随机推荐，则两名同学均来自相同班级的概率是__________． 14. 如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 15. 若为二次函数的图象上的三点，则，的大小关系是___________．（用“”号连接） 16. 如图，正方形的顶点是坐标原点，分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象与边分别交于点，边上的点满足． （）若，则线段的长为______； （）若的面积为，则实数的值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小都相同．有两辆汽车经过这个十字路口，观察这两辆车经过这个十字路口的情况． （1）列举出所有可能的情况； （2）求出至少有一辆车向左转的概率． 19. 如图，在中，是高，矩形的顶点分别在上，在上，交于点，设，，，求矩形的面积． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且这两根分别是四边形相邻两边，的长． （1）若四边形为菱形，求的值； （2）若四边形为矩形，且该矩形对角线的长为，求的值． 21. 如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于两点． （1）求一次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出时的取值范围； （3）求的面积． 23. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为______； （2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式； （3）设点，在该抛物线上，若，求m的取值范围． 24. 在中，，，点E在内部，以为斜边作等腰直角三角形，使得点D，E在AC的异侧，连接交于点M，点G在上，且满足． （1）如图1，求证：； （2）当点E是的中点时，连接，如图2，求的值； （3）连接，延长交于点F，如图3，求证：点F是的中点． 25. 【问题情境】 用两个直角边分别为a，b的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形．若可以拼成如图1所示的正方形，从而得到即当时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方形的面积等于4个直角三角形面积的和．即于是我们可以得到结论a，b为正数，总有当且仅当时，代数式取得最小值2ab．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论：∴对于任意实数a，b总有且当时，代数式取最小值2ab，同理，对于正数a，b，总有当且仅当时等号成立． 【类比应用】 利用上面所得到的结论完成填空： （1）当时，代数式的最小值为__________． （2）当时，代数式有最小值为________． （3）如图2，已知P是反比例函数图象上任意一动点，，试求的最小面积． 【拓展应用】 （4）某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0．2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入=支出总费用参加活动的同学人数） （5）若正数a，b满足则的最小值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $