福建省长乐华侨中学2026-2027学年上学期九年级10月数学学情自测卷

2026-2027学年九年级10月数学反馈练习 出卷人：叶云　　　　　　审核人：九年级备课组 满分：150分　考试时间：120分钟 姓名：____________　班级：____________　座号：____________ 一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．下列属于一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．二次函数 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．-2，3，-7　　　　　　B．-2，-3，-7 C．2，-3，-7　　　　　　D．-2，-3，7 3．用配方法解方程 时，左右两边需同时加上的常数是（　　） A．16　　　B．4　　　C．2　　　D．1 4．抛物线 的顶点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．已知 3 是关于 的方程 的一个根，则这个方程的另一个根是（　　） A．2　　　B．5　　　C．-2　　　D．-3 6．把抛物线 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　） A．　　　　B． C．　　　　D． 7．已知 、 是关于 的方程 的两根，下列结论一定正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．下表是若干组二次函数 的自变量 与函数值 的对应值： x … 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 … y … 0.36 0.13 -0.08 -0.27 -0.44 … 那么方程 的一个近似根（精确到 0.1）是（　　） A．3.4　　　B．3.5　　　C．3.6　　　D．3.7 9．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m。若水面再下降 1.5m，则水面宽为（　　） A．4.5m　　　B．　　　C．　　　D． 10．如图，抛物线 的对称轴为 ，与 轴分别交于点 ，，且 。下列结论： ①；②（ 为实数）； ③当 时， 随 的增大而增大； ④若方程 的两个实数根分别为 ，，且 ，则 。正确的有（　　） A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．关于 的一元二次方程 的一个根是 2，则 =＿＿＿＿＿。 12．，， 在抛物线 上，比较 ，， 的大小＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 13．某品牌新能源汽车 4 月份销售 8 万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到 6 月份销售量将比 4 月份增加 3.52 万辆。设从 4 月份到 6 月份销售量的平均月增长率为 ，则可以列方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 14．发射一枚炮弹，经 秒后的高度为 米，且时间与高度的关系为 。若此炮弹在第 7 秒与第 15 秒时的高度相等，则第＿＿＿＿＿秒时，炮弹位置达到最高。 15．抛物线 的部分图像如图所示，则当 时， 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 16．已知函数 ，当 时，有最大值 5，最小值 1，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 三、解答题（本大题共 8 小题，共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10 分）选择适当的方法解下列方程： (1)　　　　　　　　(2) 18．（9 分）已知二次函数 。 (1)用配方方法将解析式化为 的形式； (2)二次函数 中 和 满足下表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 -3 -4 -3 m … 直接写出当 时， 的取值范围＿＿＿＿＿＿＿＿； (3)在给定的直角坐标系中，直接画出这个函数的大致图象。 19．（8 分）关于 的方程 。 (1)求证：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是 ，求另一个根及 的值。 20．（9 分）如图，已知抛物线 与直线 交于点 A、B 两点， (1)求 A、B 两点的坐标；（6 分） (2)若 ，请直接写出 的取值范围＿＿＿＿＿＿＿。（3 分） 21．（10 分）在二次函数 中。 (1)若函数图像的顶点在 轴上，求 的值； (2)若点 在抛物线上，令 ，求证：。 22．（13 分）文化商场经营某种新型电子产品。购进时的价格为 20 元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售价为 40 元/件时，销售量为 200 件，销售单价每降低 1 元，就可多售出 20 件。 (1)求出销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系式； (2)求出销售该产品所获利润 （元）与销售单价 （元）之间的函数关系式，并求出商场获得的最大利润； (3)若商场想获得 4000 元的利润，同时要完成不少于 320 件的该产品销售任务，该商场应该如何确定销售价格。 23．（13 分）投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏。投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分。箭在空中飞行的轨迹可以近似看作抛物线。同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为 1m）。某同学将箭从 处抛出，箭的飞行轨迹为抛物线 的一部分，且当箭的最高点高度为 2m 时，距离抛出点的水平距离为 1m。把壶近似看作矩形 ，已知壶口的宽度 ，壶的高度 。 (1)求抛物线 的表达式； (2)若箭刚好由 处擦边投入壶中，求人离壶的距离 ； (3)若(2) 中人离壶的距离 不变，该同学站在原地再次投掷，只调整了将箭抛出时的高度，抛物线形状不变，要使得箭再次投入壶中，求出 的取值范围。 24．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求点 A、B、C 的坐标及顶点 D 的坐标； （2）点 为直线 上方抛物线上的一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标； （3）将抛物线向左平移 个单位得到抛物线 ， 与 轴交于 M、N 两点（点 M 在点 N 的左侧），与 轴交于点 Q。若 △QMN 的面积为 45，求 的值。 参考答案与解析 一、单选题（每小题 4 分，共 40 分） 1．C（4分）　一元二次方程须为整式方程且只含一个未知数、最高次数为 2。A 含两个未知数；B 是分式方程；D 最高次数为 3；只有 C 符合。 2．A（4分）　y=-2x²+3x-7 中，二次项系数为 -2，一次项系数为 3，常数项为 -7，故选 A。 3．B（4分）　配方时加上一次项系数一半的平方：(-4/2)²=4，故两边同时加上 4。 4．C（4分）　y=-x² 中 a=-1，顶点坐标为 (0,0)。 5．A（4分）　设另一根为 x₂，由根与系数关系 3+x₂=5，得 x₂=2。 6．D（4分）　y=3x² 向左平移 2 个单位得 y=3(x+2)²，再向上平移 5 个单位得 y=3(x+2)²+5。 7．A（4分）　判别式 Δ=a²+16>0 恒成立，方程总有两个不相等的实数根，即 x₁≠x₂，A 正确；x₁+x₂=a 不一定为正，B 错误；x₁·x₂=-4<0，C 错误；D 与 C 矛盾，错误。 8．B（4分）　由 x=1.4 时 y=0.13、x=1.5 时 y=-0.08，知零点在 1.4 与 1.5 之间且更接近 1.5，即一根约为 1.5；由对称轴 x=2.5，另一根约为 5-1.46≈3.54，精确到 0.1 为 3.5，故选 B。 9．D（4分）　以水面中心为原点、竖直向上为 y 轴正方向，设抛物线为 y=ax²+2。由水面宽 4m 得拱脚过点 (2,0)，代入得 a=-1/2，即 y=-½x²+2。水面下降 1.5m 后水面高度为 y=-1.5，令 -½x²+2=-1.5，解得 x²=7，x=±√7，此时水面宽为 2√7（m），故选 D。 10．A（4分）　由图象知抛物线过原点，故 c=0，开口向下 a<0，对称轴 x=1 得 b=-2a>0。①abc=0，错误；②当 t=1 时 at²+bt=a+b，不满足严格小于，错误；③在对称轴左侧（x<1）y 随 x 增大而增大，而 1<x<2 时 y 随 x 增大而减小，错误；④抛物线顶点值为 2>1，且与 x 轴交于 (0,0)、(2,0)，直线 y=1 与抛物线的两交点横坐标必在 0 与 2 之间，即 m<x₁<x₂<n，正确。综上只有 ④ 正确，选 A。 二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．　【解析】把 x=2 代入 x²+2x-m=0，得 4+4-m=0，所以 m=8。 12．　【解析】抛物线 y=-(x-1)²+3 开口向下，对称轴 x=1。y₁=-(1/2-1)²+3=11/4，y₃=-(0-1)²+3=2，y₂=-(-2-1)²+3=-6。因三点均在对称轴左侧或比较函数值直接计算可得 y₁>y₃>y₂。 13．　【解析】4 月份 8 万辆，月增长率为 x，则 6 月份销售量为 8(1+x)² 万辆；6 月份比 4 月份增加 3.52 万辆，即 8(1+x)²=8+3.52=11.52。 14．11　【解析】第 7 秒与第 15 秒高度相等，由对称性，对称轴为 x=(7+15)/2=11，即第 11 秒时炮弹位置达到最高。 15．　【解析】由图象知对称轴为 x=1，与 x 轴的一个交点为 (-1,0)，由对称性另一交点为 (3,0)。开口向上，y>0 时图象在 x 轴上方，故 x<-1 或 x>3。 16．　【解析】y=x²-4x+5=(x-2)²+1，最小值 1 在 x=2 处取得，故区间须含 x=2，即 m≥2；最大值 5 由 f(0)=5 给出（x=4 处也为 5，但须 m≥4），且右端点函数值不超过 5：(m-2)²+1≤5 得 m≤4。综上 2≤m≤4。 三、解答题（共 86 分） 17．（10分） (1)　，因式分解得 ， 解得 ，。 (2)　，因式分解得 ，即 ， 解得 ，。 18．（9分）(1) ； (2) 当 x=3 时 y=9-6-3=0，故 。当 0<x<3 时，函数在 x=1 处取最小值 -4，x 趋近 3 时 y 趋近 0（不含 0），故 ； (3) 图象为开口向上、顶点 (1,-4)、过点 (-1,0)、(0,-3)、(2,-3)、(3,0) 的抛物线（在(2)表所给坐标系中描点连线即可）。 19．（8分）(1) 证明：。因为 ，所以 恒成立，故不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根。 (2) 设方程两根为 、，其中 。由根与系数关系 ，得 ； 又 ，得 ，所以 。 20．（9分）(1) 联立 与 ，得 ，整理得 ，即 ，解得 ，。代入 y=2x+2 得对应 y 值 -4 与 4，故 ，。 (2) 由图象，抛物线在直线上方时 。 21．（10分）(1) 顶点在 x 轴上，即判别式等于 0：，解得 。因为 ，所以 。 (2) 证明：点 (t,s) 在抛物线上，则 ， 所以 。 因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立。 22．（13分）(1) 销售价为 x 元（20≤x≤40）时，降价 (40-x) 元，销售量 ，即 。 (2) 。因为 -20<0，当 x=35 时，w 取最大值 4500，即售价定为 35 元时商场获得最大利润 4500 元。 (3) 令 ，得 ，解得 ， 或 。当 x=30 时，y=1000-600=400≥320，符合；当 x=40 时，y=200<320，不符合。故销售价格应定为 30 元/件。 23．（13分）(1) 由题意，顶点为 (-1,2)（最高点高度 2m，距抛出点水平距离 1m，箭向壶的方向飞出），设 。过点 A(0,1.5)：，得 。故 。 (2) 壶口高度为 EF=0.72，箭擦 G 边投入，即轨迹过点 G，且 G 的纵坐标为 0.72。令 ，得 ，。箭沿下落分支进入壶口，取 ，即 G(-2.6, 0.72)。由壶口宽 GF=0.2，得 F(-2.4, 0.72)，E(-2.4, 0)。故 。 (3) 设抛出点高度为 h（即 OA=h），形状不变，则顶点仍为距抛出点水平距离 1m 处，即 (-1, h+1/2)：。 箭投入壶口需下落分支与 y=0.72 的交点横坐标落在壶口内 (G、F 之间)：令 y=0.72，。由 ，得 ，即 ，解得 。 24．（14分）（1）令 y=0：，即 ，，得 或 。令 x=0，y=16。顶点 ，。故 ，，，。 （2）直线 BC：过 (0,16)、(8,0)，。设 （0<x<8），则 ， PF=。当 x=4 时 PF 最大，最大值为 16，此时 。 （3）左移 t 个单位后与 x 轴交点为原交点左移 t：M(-2-t,0)、N(8-t,0)，MN=10。令 x=0 得 。 △QMN 面积=，即 ，，。因为 ，所以 。 第 页（共 页） 学科网（北京）股份有限公司 $