精品解析：福建龙岩市附属实验学校2026～2027学年上期校本作业综合练习（一） 九年级数学试题（2026.10.10）

附属实验学校2026～2027学年上期校本作业综合练习（一） 九年级数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（ ） A. y＝2x2+3 B. y＝﹣2x2﹣3 C. y＝（x﹣2）2﹣3 D. y＝（x+2）2+3 4. 对于一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：两根之和是 乙：两根之积是5 丙：没有实数根 丁：有两个不相等的实数根 老师看后说只有一个同学的结论是正确的，则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆约200人次，第三个月进馆约288人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 10. 已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（ ） … … … … A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 二次函数的图像的顶点坐标是______． 12. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为________． 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围是____________． 14. 若实数，满足，则的值为________． 15. 二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则________． 16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的序号是_____． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0． （1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 19. 已知二次函数． （1）将解析式化为的形式； （2）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 20. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 21. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，并且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：下列方程①；②中，是3倍根方程的有______（填序号即可）； （2）若是3倍根方程，求的值． （3）一般规律探究：若一元二次方程是“3倍根方程”，则满足什么数量关系？ 23. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式； （2）每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24. 某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ （3）已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中？ 25. 如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； （3）如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 附属实验学校2026～2027学年上期校本作业综合练习（一） 九年级数学试题 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列等式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解其定义是解题关键． 利用一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、是一元一次方程，不合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不合题意； D、含有分式不是一元二次方程，不合题意． 故选：A． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答． 【详解】解：移项，得： ， 配方，得：， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法． 3. 将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（ ） A. y＝2x2+3 B. y＝﹣2x2﹣3 C. y＝（x﹣2）2﹣3 D. y＝（x+2）2+3 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式． 【详解】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0）， 平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3）， 又因为平移不改变二次项系数， 所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 4. 对于一元二次方程，某学习小组给出了下列结论： 甲：两根之和是 乙：两根之积是5 丙：没有实数根 丁：有两个不相等的实数根 老师看后说只有一个同学的结论是正确的，则这位同学是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键，根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系分析即可得解． 【详解】解：∵方程中，， ， ∴此方程没有实数根， ∴四位同学中只有丙说法正确， 故选：C． 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 6. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 7. 如图，抛物线与轴的两个交点分别为和，当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题，根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．直接从图上可以分析：时，图象在轴的下方，共有2部分：一是的左边轴的下方 部分，即时图象；二是的右边轴的下方部分，即时函数图象． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与轴两交点为，， ，图象在轴的下方，所以答案是或． 故选：B． 8. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆约200人次，第三个月进馆约288人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵第一个月进馆人次，月增长率为， ∴第二个月进馆人次为， ∴第三个月进馆人次为， ∵第三个月进馆人次， ∴． 9. 如果某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行的时间（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）秒． A. 18 B. 9 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将化为顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，s有最大值，此时． ∵飞机滑行到最大距离时停下来，此时时间也为最大值， ∴， 故选：A． 10. 已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（ ） … … … … A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为，对称轴为，根据抛物线经过点，得到抛物线也经过点，将方程变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出的根． 【详解】解：由抛物线经过点（0,3）得c=3， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线经过点（0,3）和（6,3）， ∴抛物线对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线也经过点， 方程变形为， ∴方程的根可以理解为二次函数的函数值为1时所对应的自变量的取值， 所以方程的根为． 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点，并能将方程变形为是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 二次函数的图像的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数表达式为，是顶点式，直接根据二次函数图像与性质得到二次函数的图像的顶点坐标是，从而得到答案 【详解】∵二次函数的解析式的顶点式为， ∴二次函数的图像的顶点坐标是 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟记由二次函数顶点式得到函数图像顶点坐标是解决问题的关键． 12. 已知，分别是一元二次方程的两个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵，分别是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴有两个交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，利用判别式大于0即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 14. 若实数，满足，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴(不合题意，舍去)，， ∴的值为8． 故答案为：8． 15. 二次函数（b为常数，且）的图象经过和两点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，先求出对称轴，再利用二次函数对称轴公式计算的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过和两点，两点纵坐标相同 ∴二次函数的对称轴为直线 ∴ ∵，约分化简得 ∴ 16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数，都有，其中正确结论的序号是_____． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图象及对称轴即可判断a、b、c的符号；②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为，由图得，易得，③由对称轴性质得，当二次函数图象开口向上时，距离对称轴越远的点对应的函数值较大，即可判断；④由对称轴是直线，可求，由图得：当时，，同时结合即可判断；⑤当时，的值最小，可得，据此即可判断． 【详解】①二次函数的图象开口向上， ， 二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ， 对称轴为直线， ， ， ，故①错误； ②设抛物线与轴负半轴的交点横坐标为，与轴另一交点横坐标为， 对称轴是直线， ， 由图象得：， ， ，即， ，故②正确； ③对称轴是直线， ， ， ，故③错误； ④对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ， ， ∴， ，故④正确； ⑤当时，的值最小， ， 对于任意实数，都有，故⑤错误； 综上所述，即②④都正确， 故答案为：②④． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， ∴， 解得， 【小问2详解】 解：∵ ∴， 即 ∴或， 解得，． 18. 已知关于x的方程x2+mx+m﹣3＝0． （1）若该方程有一个根为﹣3，求方程的另一根； （2）求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）方程的另一根为0； （2）证明：Δ＝m2﹣4（m﹣3） ＝（m﹣2）2+8， ∵（m﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）先把x＝﹣3代入求出m＝3，则方程变形为x2+3x＝0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到﹣3+t＝﹣3，然后解关于t的方程即可； （2）计算判别式的值得到Δ＝（m﹣2）2+8，利用非负数的性质得到Δ＞0，然后根据判别式的意义得到结论． 【详解】解：（1）把x＝﹣3代入方程得9﹣3m+m﹣3＝0，解得m＝3， 方程变形为x2+3x＝0， 设方程的另一个根为t， 根据题意得﹣3+t＝﹣3，解得t＝0， 即方程的另一根为0； （2）略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 19. 已知二次函数． （1）将解析式化为的形式； （2）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 （3）函数的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式； （2）根据顶点式的特点即得出函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由（1）可知函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，函数取得最小值为； 当时，函数取得最大值为； ∴当时，函数的最大值为，最小值为． 20. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点坐标为、 【解析】 【分析】（1）利用交点坐标求出抛物线解析式即可； （2）三角形底边在轴上，长度固定，由面积求出点纵坐标的绝对值，再代入函数解析式求横坐标． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过，， 抛物线交点式：， 展开得：． 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：， ， 设， 的面积 ， 解得， 即或． 当时，， 即，，方程无实数解，舍去； 当时，， 即， 解得． 点坐标为、． 21. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 【答案】（1）的长为米． （2） 解：由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键； （1）设米，则米，再根据面积建立方程即可； （2）由面积可得，再结合根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． 【小问2详解】 略 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，并且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”． （1）请根据上述结论解决问题：下列方程①；②中，是3倍根方程的有______（填序号即可）； （2）若是3倍根方程，求的值． （3）一般规律探究：若一元二次方程是“3倍根方程”，则满足什么数量关系？ 【答案】（1）② （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）分别求出两方程的根，根据“3倍根方程”的定义判断即可； （2）求出方程的根，根据“3倍根方程”的定义求出、的关系，进而代入计算即可； （3）根据“三倍根方程”的概念得到原方程可以改写为，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 ①， 即或， 解得：， ∵， ∴不是3倍根方程； ②， ， 即或， 解得：， ∵， ∴是3倍根方程； 所以是3倍根方程的有②． 故答案为：②； 【小问2详解】 即或， 解得， ∵是3倍根方程， ∴或， 即或， ∴或； 【小问3详解】 根据“三倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为t和3t． ∴原方程可以改写为， 即 ∴， ∴， 即，则， ∴， 即． ∴a，b，c之间的关系是． 23. 某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件．如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件．设每件商品的售价下降元（为正整数），每天的销售利润为元． （1）求销售利润（元）与下降价格（元）的函数关系式； （2）每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元 【解析】 【分析】（1）根据利润（原售价降价）销售量进行求解即可； （2）根据（1）所求，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ； 【小问2详解】 解：由（1）得 ， ∵， ∴当时，y最大，最大值为1960， ∴每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系是解题的关键． 24. 某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，身高1.75米的小明将篮球从头顶上方0.25米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ （3）已知小明在距篮筐水平距离3.8米的位置，在只改变起跳高度的情况下，通过计算说明小明要竖直起跳多少米才能直接投中？ 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球； （3）小明要竖直起跳0.138米才能直接投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用. （1）设抛物线的解析式为，把点代入求解即可； （2）将代入计算即可； （3）设改变起跳高度后的抛物线解析式为将点代入计算即可. 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线顶点坐标为， （米）， 当时，， 设抛物线的解析式为， 把点代入， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 令，则， 解得． 要在球上升的过程中截住篮球， ， 在球上升的过程中，小刚与小明的距离在0.5米以内才能在空中截住篮球； 【小问3详解】 改变起跳高度只是对抛物线进行上下平移，而篮球飞行的抛物线形状不变， 设改变起跳高度后的抛物线解析式为 小明距篮筐水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米， 将点代入， 得， 解得， 小明要竖直起跳0.138米才能直接投中． 25. 如图，抛物线分别交轴于点，交轴于点，顶点为． （1）求该二次函数的解析式； （2）如图①，点是轴上一动点，连接，是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及此时的周长，若不存在，请说明理由； （3）如图②，点是轴上方抛物线上的一个动点，连接，若直线将四边形的面积分为的两部分，求直线的解析式． 【答案】（1）二次函数的解析式为 （2）存在的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为 （3）直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线交轴于点，顶点为，运用顶点坐标公式，代入计算即可求解； （2）根据两点之间距离的计算可得，如图所示，作点关于轴对称点，则，连接，当点三点共线时，的值最小，最小值为，的周长为，此时周长最小，设直线的解析式为，运用待定系数法可得直线的解析式为，由此可得点的坐标，再根据两点之间距离公式的运用可得的长，由此即可求解； （3）根据二次函数图象的性质可得，设，根据题意，分类讨论：①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点，由坐标与图形的关系可得，结合，可解；②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点，同理即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于点，顶点为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在，理由如下， ∵， ∴， 如图所示，作点关于轴对称点，则，连接， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， ∵的周长为， ∴的周长为，此时周长最小， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， ∴的周长最小时，点的坐标为，此时的周长为； 【小问3详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是轴上方抛物线上的一个动点， ∴设， ①如图所示，当时，点在二次函数对称轴右边的函数图象上，设与轴交于点， ∴，， ∴， ∵直线将四边形的面积分为的两部分， ∴， ∵ ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 把点代入直线得，， 解得，，， ∴不符合题意，，此时直线的解析式为； ②如图所示，当时，点在二次函数对称轴左边的函数图象上，设与轴交于点， 同理，，， ∴， 解得，， ∴（不符合题意，舍去），， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为，把点代入得，， 解得，（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）； 综上所述，直线将四边形的面积分为的两部分，直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形-轴对称最短路径，二次函数与四边形的综合，两点之间的距离公式的运用，二次函数与图形面积的计算，掌握二次函数与几何图形的综合，两点之间距离公式的计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $