精品解析：江苏省苏州第十中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试卷

江苏省苏州第十中学2026～2027学年第一学期 2025级高二年级10月阶段性检测 数学试卷 2026.10 一、单项选择题：本题包括6小题，每小题5分，共计30分．每小题只有一个选项符合题意． 1. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 30 D. 49 2. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. -4 B. -16 C. -32 D. -64 3. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 4. 已知是等比数列的前n项和，，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为372，则写错之前这个数为（ ） A. 64 B. C. 100 D. 6. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为 A. 4072 B. 2026 C. 4096 D. 2048 二、多项选择题：本题包括3小题，每小题6分，共计18分．每小题至少有二个选项符合题意． 7. 下列数列中，为递增数列的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中最小项为 9. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. 为等差数列 D. 为等比数列 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共计15分． 10. 已知正项等差数列的首项为2，若，，成等比数列，则__________． 11. 若数列的前项和为，且，则___________． 12. 已知正项数列的前项积为，且满足，则__________. 四、解答题：本题包括3小题，共计37分． 13. 已知数列的首项，且满足． （1）设，求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数． 14. 记是数列的前项和，，且数列是等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 15. 设为等差数列的前项和，其中，且． （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州第十中学2026～2027学年第一学期 2025级高二年级10月阶段性检测 数学试卷 2026.10 一、单项选择题：本题包括6小题，每小题5分，共计30分．每小题只有一个选项符合题意． 1. 已知数列的通项公式为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 30 D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】由通项公式分别求出即可得. 【详解】由， 得，， 所以. 故选：C. 2. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. -4 B. -16 C. -32 D. -64 【答案】D 【解析】 【分析】用首项和公差表示出已知条件并求解，再由等差数列前项和公式计算. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以， 故选：D 3. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】借助等比数列求和公式求出首项，然后利用等比数列通项公式基本量的运算求解即可. 【详解】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为， 则，公比，所以， 所以，所以第4层“浮雕像”的数量为. 故选：C 4. 已知是等比数列的前n项和，，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列性质求得，，即可得结果. 【详解】设等比数列的公比为q，可得， 则， 所以． 故选：B. 5. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为372，则写错之前这个数为（ ） A. 64 B. C. 100 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案. 【详解】，则其前20项和为 , 设写错项为，则，解得，， 故写错之前这个数为． 6. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列的前55项和为 A. 4072 B. 2026 C. 4096 D. 2048 【答案】A 【解析】 【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可． 【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1， 若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则Tn， 可得当n＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072， 故选A． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 二、多项选择题：本题包括3小题，每小题6分，共计18分．每小题至少有二个选项符合题意． 7. 下列数列中，为递增数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用与零作比较判断数列单调性即可. 【详解】对于A， , 所以为递增数列，A正确. 对于B，，所以，所以不是递增数列，B错误. 对于C，，所以，所以不是递增数列，C错误. 对于D，当时，，所以当时为递增数列， 当时，，所以当时为递增数列， 又因为，所以是递增数列，D正确. 8. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中最小项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用关系及等差数列通项公式得判断A；根据已知及A项分析得，进而确定的符号判断C；根据A、C项分析确定数列正负分界项，再由等差数列前n项和确定对应n的最小值判断B；根据以上分析确定各项符号判断D. 【详解】根据题意：，即， 两式相加，解得，当时，最大，故A正确； 由，可得，所以， 故， 所以，故C错误； 由以上可得：， ，而， 当时，；当时，； 所以使得成立的最小自然数，故B正确. 当或时；当时； 由， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD 9. 已知数列满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为等比数列 C. 为等差数列 D. 为等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】用累乘法，计算出，对于A选项，；对于B选项，，不是常数；对于C选项，，是常数；对于D选项，，是常数. 【详解】由可得，，则， ， 即， 因为，所以，两边乘，可得， 则，所以， 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，则， 则， 所以不是等比数列，故B错误； 对于C选项，，则， 则， 所以为等差数列，故C正确； 对于D选项，，则， 则， 所以为等比数列，故D正确. 三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共计15分． 10. 已知正项等差数列的首项为2，若，，成等比数列，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的公差为（），则，. 因为成等比数列，所以， 即，得， 因为，所以. 因此. 11. 若数列的前项和为，且，则___________． 【答案】682 【解析】 【详解】， . 12. 已知正项数列的前项积为，且满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设得，且，进而得到，由等比数列定义写出通项公式，即可得. 【详解】由题意，且，所以， 又，且， 所以，则，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题包括3小题，共计37分． 13. 已知数列的首项，且满足． （1）设，求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数． 【答案】（1），， 所以，即，又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）2025 【解析】 【分析】（1）对递推式两边取倒数得，变形为，然后根据等比数列定义证明即可； （2）由（1）可得，利用分组求和思想求和后结合函数单调性解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以， 设数列的前n项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为上单调递增函数， ， 所以满足的最大整数的值为2025. 14. 记是数列的前项和，，且数列是等差数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列是等差数列，求得，从而得，再由与的关系，求得的通项公式； （2）由（1）求得，根据等差数列前项和公式求得奇数项的和，由裂项相消求和法求得偶数项的和，即可求得数列的前项和． 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以， 所以. 当时，， 所以； ，符合上式， 所以. 【小问2详解】 ， 所以， . 所以 . 15. 设为等差数列的前项和，其中，且． （1）求常数的值，并写出的通项公式； （2）记，数列的前项和为． ①求； ②若对任意的，都有，求常数的最小值． 【答案】（1）; （2）①②常数的最小值为4. 【解析】 【分析】（1）由等差数列得到，再根据得到,，于是可得，进而得到公差，通项公式为； （2）①求得，用错位相减法得到； ②由，代入化简得，利用得到为递减数列，依次验证各项，可得到常数的最小值为4. 【小问1详解】 令，则，所以， 令，则，即，所以 因为为等差数列，所以前三项成等差数列， 所以，即，所以. 所以，所以公差， 所以通项公式为. 【小问2详解】 ①， （1） （2） 所以（1）减去（2）可得 所以. ②由可得，即， 设，则， 因为，所以， 所以为递减数列，又因为， 所以当时，恒有，所以常数的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $