江苏南京市第十三中学、第九中学等校2026-2027学年高二上学期10月学情调研数学试题

2025级高二10月学情调研参考答案 1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7．B 8．A 9．ABD 10．AB 11．ABD 12．-2 13．12 14．2 15．（本题13分） 解：（1）因为直线和直线平行， 则，解得或-2， 4分 经检验时两条直线重合舍去，所以． 7分 （2）因为直线与直线垂直， 所以，即， 11分 解得或． 13分 16．（本题15分） 解：（1）由直方图的数据得①， 2分 由评分在的快递车比内的多40辆，得 ，解得②， 4分 联立①②，解得，． 5分 （2）达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数．从低分段累计频率： ，，第70百分位数落在区间， 设分数线为x，则， 8分 解得，估计A等车的分数线为85分． 10分 （3）分层抽样：评分超过80分的车辆组80辆，组20辆辆． 按比例抽取5辆：组：辆，组：辆． 12分 编号：将组4辆车记为，，，；组1辆车记为． 列举所有等可能基本事件（5选2，无序）共10种等可能基本事件， 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自组，不含）： ，，，，，共6种． 两车评分均不超过90分的概率为． 15分 17．（本题15分） 解：（1）设圆心，由垂直直线，得， 解得，故． 3分 半径， 4分 圆C的方程为． 5分 （2）为直角三角形，且，故直角在C， 斜边，所以圆心到直线l的距离为2． 斜率存在时，设直线，即， 由，解得，直线为； 8分 斜率不存在时，直线到圆心的距离为2，符合条件． 故直线l的方程为或． 10分 （3）设，，， 则．由圆的方程得， 代入得，即． 设，直线与圆C有交点，故，解得． 由，得，， 所以． 15分 18．（本题17分） 解：（1）证明：因，：则， 又因E是的中点，则，且， 在中，，则， 又因Q是的中点，则， 因，则由，可得， 因，，平面，故平面． 5分 （2）（ⅰ）因平面，M在上，则平面， 因平面平面，则， 又因P是的中点，则M是的中点，故． 10分 （ⅱ）取的中点O，连接，因P是的中点，则，且， 在平面中，作于点H，连接． 由（1）得平面，则平面，因面，则， 因，，平面，则平面， 又平面，则，故即二面角的平面角． 连接，易得，， 因平面，平面，则，则， 故，又，， 由可得， 在中，由等面积可得， 故在中，， 则， 即二面角的正切值为． 17分 19．（本题17分） 解：（1）在中，， 因为P点为布洛卡点，所以，所以， 所以． 4分 （2）由，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 即，解得①， 在中，由正弦定理得，， 即，解得②， 联立①②得，即． 在中，由正弦定理有， 与两边相乘： ，得， 所以，解得． 10分 （3）由题意知，， 则 ， 13分 所以， 又因为，（当且仅当时，等号成立），解得， 又由三角形边的关系知，则，即， ，整理得，解得，即， 而时，单调递减，，， 所以的值域为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二10月学情调研 数 学 （时间：120分钟 满分150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则（ ） A． B． C． D． 2．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A．6 B．9 C．16 D．18 3．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．直线倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 5．甲、乙两支足球队进行两场友谊赛，每场比赛两队平局的概率是，甲队获胜的概率是，则乙队两场友谊赛只获胜一场的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则（ ） A． B． C． D． 7．一条光线从点射出，经y轴反射后，与圆相切于M点，则光线P点到M点经过的路程为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，E，F分别是，上的点，且，，连接，，交点为D，连接，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9．某中学高二（2）班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示．在班级里随机选一人，事件A=“选到男生”，事件B=“选到女生”，事件C=“选到团员”，则（ ） 团员 非团员 合计 男生 15 10 25 女生 12 8 20 合计 27 18 45 A． B． C．事件B与事件C互斥 D．事件A与事件C相互独立 10．已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A．直线l恒过定点 B．圆C被x轴截得的弦长为 C．圆C与圆相交 D．圆C上的点到直线l的最大距离为13 11．在直三棱柱中，，且，M为线段上的动点，则（ ） A． B．三棱锥的体积不变 C．长度的最小值为 D．当M是的中点时，过，M，三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．已知向量，，若与共线，则__________． 13．已知两平行直线与之间的距离是，则__________． 14．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，侧面为正三角形，，则四棱锥体积的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题13分） （1）若直线和直线平行，求m的值． （2）已知直线，直线，且，求m的值． 16．（本题15分） 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 17．（本题15分） 已知圆C的圆心在直线上，且圆C与直线相切于点． （1）求圆C的方程； （2）过点的直线l与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求直线l方程； （3）已知点，若圆C上存在点P满足，求实数的取值范围． 18．（本题17分） 如图，在三棱锥中，，，，．E是的中点，Q是的中点，． （1）求证：平面； （2）若P是的中点，M在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 19．（本题17分） 如图，若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．某同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索并得到许多正确的结论，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： （1）若，求． （2）已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， （ⅰ）若，，求b； （ⅱ）若的周长为6，试把表示为b的函数，并求的值域． 学科网（北京）股份有限公司 $