精品解析：江苏省扬州中学2026-2027学年高一上学期10月自主学习评估数学试题

江苏省扬州中学2026~2027学年10月自主学习评估 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 2. 集合中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【详解】集合且， 共个元素． 3. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 4. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 5. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】分析充分性： 若成立， 举反例验证：取，，此时，， 但，，显然不成立，即不成立， 因此充分性不成立. 分析必要性： 若成立， 由绝对值的性质：， 因为，所以，即a为正数， 当时，， 又因为，结合，可得， 即， 因为， 所以， 因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 6. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜．于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”．已知，，根据“糖水不等式”判断，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】将的分子分母同乘变形后，结合糖水不等式即可比较与的大小. 【详解】首先对进行等价变形，分子分母同乘正数，分数值不变，则 ，已知， 又因为，满足糖水不等式的前提条件， 令，则， 根据糖水不等式： 若，则，代入可得： ， 即，所以. 7. 若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 8. ，恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】对不等式变形分离参数，利用齐次特征换元转化为单变量函数，借助基本不等式求函数最小值，从而得到的最大值. 【详解】，， 令，由，得，， 问题转化为：在恒成立.求，即求最小值， 令， ， 由基本不等式：，当且仅当取等， ， ，即，， 所以，最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的解集的特征可得A；利用解集可得、、间关系，即可得B；利用、、间关系，计算可得C、D. 【详解】对A：由关于的不等式的解集为，可得，故A正确； 对B：由题意可得， 故，，则，故B错误； 对C：，由，故，即，故C正确； 对D：， 由，则该不等式解集为，故D正确. 10. 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件．现有下列命题：①是的充分条件而不是必要条件；②是的必要条件而不是充分条件；③是的必要条件而不是充分条件；④是的充分条件而不是必要条件.则正确命题序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知的充分条件和必要条件可得到推出关系；由推出关系依次验证各个选项中的推出关系能否成立，从而得到结果. 【详解】由题意得：推出，推不出；推出；推出；推出， ，推不出，所以是的充分条件而不是必要条件，①正确； ，，所以是的充要条件，②错误； ，推不出，则有，推不出， 是的必要条件而不是充分条件，③正确； ，，则是的充要条件 ，④错误. 11. 已知满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为6 D. 的最小值为6 【答案】BC 【解析】 【分析】由约束条件，结合基本不等式和二次函数求最值的应用，逐个分析选项判断正误. 【详解】选项A：由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故的最大值为，A错误； 选项B：， 当且仅当即时取等号，B正确； 选项C：时，有， 则有， 因，故当时，取得最小值6，此时符合条件，C正确； 选项D：取代入得，且当时，故最小值不可能为6，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，的最小值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】将利用“1”的代换变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】将变形为，由基本不等式， 故，当且仅当时取等号． 故答案为：. 13. 已知实数满足，则______ 【答案】 【解析】 【详解】因为且，易得， 由，因，则得， 故． 14. 已知全集，命题甲：已知集合，，；命题乙：已知集合，，且．若命题甲和乙中至少有一个真命题，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】分别将命题甲转化为两个区间端点的限制，将命题乙转化为一元二次方程有正实根的条件，再对两者对应的参数范围取并集． 【详解】命题甲中，，． 要使，故只需，解得． 命题乙为真等价于方程至少有一个正实根． 当方程有实根时，设其两根为（可相等），由韦达定理得，， 所以两根同号，至少有一个正实根等价于两根均为正实根． 因此，由判别式及两根之和的符号可知，命题乙为真的充要条件为，解得． 命题甲和乙中至少有一个真命题，故实数的取值范围为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求及. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出集合与，再根据交并补的运算性质求出及即可；（2）由是的充分不必要条件，则，列出不等关系求出的取值范围即可. 【小问1详解】 由题可得，则或， 当时，，所以，； 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则，又，所以，则，即， 所以，当时，且等号不能同时取到，解得，所以， 当时，，不合题意，所以的取值范围为. 16. 回答下列问题 （1）若，求的最小值 （2）已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【小问1详解】 因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. 【小问2详解】 令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 17. 设． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）时解集为；时解集为． 【解析】 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【小问1详解】 当时不满足题意， 当时，需使， 解得． 【小问2详解】 由题设，则， 因为，不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 18. 若实数满足，则称比更远离． （1）若比更远离1，求实数的取值范围； （2）已知，若，证明：比更远离． （3）已知方程的两根为，其中一个根在区间上，另一个根在区间上，且比更远离3，求实数的取值范围 【答案】（1） （2）证明：要证明比更远离，即证明， 因为，所以，令， 由，则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以，又， 由，则， 所以比更远离. （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义得出绝对值不等式，利用解绝对值不等式的方法解出即可； （2）利用基本不等式先得出，结合定义去绝对值分析证明即可； （3）根据二次方程的实根的分布情况，转化为二次函数零点分布情况建立不等式组解出满足的条件，然后结合定义以及零点分布情况去掉绝对值，将不等式平方，根据不等式的性质得出，再结合根与系数的关系求出的取值范围，最后可得出结论. 【小问1详解】 若比更远离1，则由题意得：，即， 两边平方得：，即，解得：， 所以实数的取值范围为：. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 设函数， 由题意知方程的两实根，即为函数的两个零点，且满足， 则，解得：， 因为比更远离3，所以，① 由，则①化为：， 所以，即， 因为，所以，所以， 又，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为：. 19. 已知集合，， （1）若，求 （2）当时，若，求满足的整数的集合 （3）是否存在实数和使得与同时成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不存在的值，满足题意，理由如下： 由等价于方程有整数解， 即方程有整数解， 则，① 同时等价于，② 所以①②得：，这与矛盾， 故不存在实数和使得与同时成立. 【解析】 【分析】（1）利用集合交集运算即可得出； （2）将代入集合中，根据等价于方程有整数解，然后根据二次方程有实数根的情况以及二次方程的根的特点，结合分类讨论即可得出结论； （3）根据二次方程有解得出，再由得出，最后利用不等式的性质分析即可说明. 【小问1详解】 当时，， 由，解得：或， 所以. 【小问2详解】 当时，， 此时若等价于方程有整数解， 则，解得：， 此时方程的解为：， 要使得为整数，则必须为3的正整数倍， 设， 当时，，所以，即， 因为，所以， 当时，，解得：，此时或满足题意； 当时，，解得：，此时或不满足题意； 当时，，解得：，此时或满足题意； 当时，，解得：，此时或不满足题意； 当时，，解得：，此时或满足题意； 综上所述：整数的集合为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2026~2027学年10月自主学习评估 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试卷共4页，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系中正确的个数为（ ） ①；②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 集合中元素的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 化简（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜．于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”．已知，，根据“糖水不等式”判断，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 7. 若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. ，恒成立，则实数的最大值为（ ） A. 8 B. 4 C. 6 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 10. 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件．现有下列命题：①是的充分条件而不是必要条件；②是的必要条件而不是充分条件；③是的必要条件而不是充分条件；④是的充分条件而不是必要条件.则正确命题序号是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 已知满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最大值为 C. 有最小值为6 D. 的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，且，的最小值为________． 13. 已知实数满足，则______ 14. 已知全集，命题甲：已知集合，，；命题乙：已知集合，，且．若命题甲和乙中至少有一个真命题，则实数的取值范围是________ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求及. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 回答下列问题 （1）若，求的最小值 （2）已知，且，若恒成立，求的取值范围 17. 设． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 18. 若实数满足，则称比更远离． （1）若比更远离1，求实数的取值范围； （2）已知，若，证明：比更远离． （3）已知方程的两根为，其中一个根在区间上，另一个根在区间上，且比更远离3，求实数的取值范围 19. 已知集合，， （1）若，求 （2）当时，若，求满足的整数的集合 （3）是否存在实数和使得与同时成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $