江苏省宿迁市沭阳如东中学2025-2026学年高三上学期第一次阶段测试数学试题

沭阳如东中学2026届高三阶段测试一 202508 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.已知函数，则“”是“在上单调递增”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4.下列命题错误的是(    ) A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，若，，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 5.已知，为正数，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是(  ) A. B. C. D. 7.已知函数，若存在，使，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 8.已知函数定义域为，为偶函数，是奇函数且，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 10.已知正方体的边长为，点，，分别是棱，，的中点，下列说法正确的有(    ) A. B. 平面 C. 平面截正方体的截面面积为 D. 到平面的距离为 11.已知定义域为的连续函数满足，，则(    ) A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知函数其中为正实数，则          ． 13．已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是 ． 14.某高中为调查本校名学生周末玩游戏的时长，设计了如下的问卷调查方式：在一个袋子中装有个质地和大小均相同的小球，其中个白球，个红球，规定每名学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一个球，记下颜色．若“两次摸到的球颜色相同”，则回答问题一：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“”，否则画“”；若“两次摸到的球颜色不同”，则回答问题二：若玩游戏时长不超过一个小时，则在问卷中画“”，否则画“”当全校学生完成问卷调查后，统计画“”和画“”的比例，由频率估计概率，即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数．若该校高一（1）班有名学生，用表示回答问题一的人数，则的数学期望为          ；若该校的所有调查问卷中，画“”和画“”的比例为，则可估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学． 求的分布列； 求去执行任务的同学中有男有女的概率． 16.本小题分 如图，已知三棱锥，平面，，，，为的中点． 求证：； 求二面角的大小． 17..本小题分已知函数， 若，解关于的不等式 若函数的最小值为，求的值． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． 若、分别为棱，的中点，证明：平面 求与平面所成角的正弦值 若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19.本小题分 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 沭阳如东中学2026届高三阶段测试一 参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题． 解不等式求得集合，再根据交集的定义写出． 【解答】 解：集合， ， 则集合． 故选C． 2.下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 3.已知函数，则“”是“在上单调递增”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B  【解析】解：根据题意，若在上单调递增， 则解得， 又由， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件． 故选：． 4.下列命题错误的是(    ) A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于 B. 设，若，，则 C. 线性回归直线一定经过样本点的中心 D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查相关系数、二项分布的期望、方差、回归直线方程和超几何分布，属于基础题． 对选项逐个判断即可． 【解答】解：对于、因为随机变量服从正态分布，所以，故A正确； 对于、，解得，，故B正确； 对于、线性回归直线一定经过样本点的中心，故C正确； 对于、由于是不放回地随机摸出个球作为样本，所以由超几何分布的定义知服从超几何分布，且，故D错误． 5.已知，为正数，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：因为，为正数，，可得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是． 故选C． 6.如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是(  ) A. B. C. D. 【答案】  【解析】【分析】 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力，考查异面直线及其所成的角，属于基础题． 先取的中点，连接，，将平移到，则就是异面直线与所成角，在中利用余弦定理求出此角即可． 【解答】 解：取的中点，连接，， ， 就是与所成角， 设，则，，， 在中，． 故选A． 7.已知函数，若存在，使，则的取值范围是( A) A. B. C. D. 8.已知函数定义域为，为偶函数，是奇函数且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为函数定义域为，函数是奇函数，所以函数是定义域为的奇函数， 因此对恒成立，即对恒成立． 因为函数定义域为，函数是偶函数，所以函数是定义域为的偶函数， 因此对恒成立，即对恒成立． 因为，对都恒成立， 得， 所以对于任意，，因此是函数的周期． 因为对恒成立，所以． 因为，，所以由得： ，， 因此 ． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 10.已知正方体的边长为，点，，分别是棱，，的中点，下列说法正确的有(    ) A. B. 平面 C. 平面截正方体的截面面积为 D. 到平面的距离为 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查线面垂直的判定和性质，点到平面的距离的求法，以及正方体的对称性，考查推理能力和运算能力，属于中档题． 求得截面为正六边形，由等边三角形的面积公式和正六边形的性质可判断；由正方体的对称性和线面垂直的判定可判断． 【解答】 解：由点，，分别是棱，，的中点， 记，，的中点分别为，，， 结合平面的基本性质可得截面为正六边形， 且边长为，故截面面积为，故C正确； 由于，不垂直于，则不垂直于，即有不垂直于平面，故B错误； 由正方体的对称性可得对角线平面，且平面过的中点， 可得到平面的距离为，故D正确； 由正六边形可得，故A正确． 故选：． 11.已知定义域为的连续函数满足，，则(    ) A. B. 为奇函数 C. 在上单调递减 D. 在上的最大值为 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题主要考查抽象函数求值，判断函数的单调性，奇偶性，属于中档题． 令，得，判断；变形得，令，令，可判断奇偶性，判断；令，得，利用导数可判断在上单调递减，判断；由，可判断． 【解答】 解：对于，令，可得，A正确 对于，由可得，令，则，令，则，因为，所以，所以为奇函数，B正确 对于，因为，所以可令，则，，所以，，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减所以C错误， 对于，由，当时，，D正确， 故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知函数其中为正实数，则          ． 【答案】  【解析】解：函数 则． 所以． 故答案为． 13．已知函数，若，使得不等式成立，实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题意将问题转化为.，成立，利用二次函数的性质求解即可. 【详解】若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上单调递减，在上单调递增， ，对称轴， ①即时，在单调递增，恒成立； ②即时，在上单调递减，在上单调递增， ，所以，故； ③即.时，在上单调递减，， 所以，解得， 综上. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题首先需要读懂题意，进行转化；其次需要分类讨论，结合二次函数的性质最后进行总结，即可求出结果. 14.某高中为调查本校名学生周末玩游戏的时长，设计了如下的问卷调查方式：在一个袋子中装有个质地和大小均相同的小球，其中个白球，个红球，规定每名学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一个球，记下颜色．若“两次摸到的球颜色相同”，则回答问题一：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“”，否则画“”；若“两次摸到的球颜色不同”，则回答问题二：若玩游戏时长不超过一个小时，则在问卷中画“”，否则画“”当全校学生完成问卷调查后，统计画“”和画“”的比例，由频率估计概率，即可估计出玩游戏时长超过一个小时的人数．若该校高一（1）班有名学生，用表示回答问题一的人数，则的数学期望为          ；若该校的所有调查问卷中，画“”和画“”的比例为，则可估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二项分布的均值，全概率公式，相互独立事件的概率乘法公，属于中档题． 求出摸到同色球的概率为，则，根据二项分布的期望公式即可求解；根据全概率公式即可求解． 【解答】 解：依题意，每次摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， 两次摸球同色的概率为， 由于是有放回的抽取，则服从二项分布，所以， 所以． 设表示“回答问题一”，表示“回答问题二”，表示“在问卷中画”， 则有，，，因为， 由全概率公式， 得，解得， 所以估计该校学生玩游戏时长超过一个小时的人数为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学． 求的分布列； 求去执行任务的同学中有男有女的概率． 【答案】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 记事件去执行任务的同学中有男有女， 则．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题分 如图，已知三棱锥，平面，，，，为的中点． 求证：； 求二面角的大小． 【答案】解：证明：由平面，， 又因为，即．， 面，又因为面 ． 解：取中点，连接、过作于，连接， 因为是的中点，所以， 又因为面，面． 为二面角的平面角． 设，则，，， 在中，． 二面角的大小为．  【解析】本题考查了线线的位置关系，及二面角的求解，属于基础题． 通过证明，得到面即可； 取中点，连结、过作于，连接，因为是的中点，为二面角的平面角．在中，求即可． 17.本小题分已知函数， 若，解关于的不等式 若函数的最小值为，求的值． 【答案】解：时，由得， ，， 因为，所以，解得， 所以原不等式的解集为 因为 ， 令，因为， 所以，当且仅当时取得等号 则， 当，即时，在上单调递增， 当，即时，， 所以，解得，符合题意 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 所以，解得，不合题意，舍去． 综上，的值为．  【解析】本题考查复合型指数函数的性质，考查二次函数的单调性与最值，属于中档题． 根据指数函数的性质求解即可； 由题意得，再根据的取值范围分情况讨论求解． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． 若、分别为棱，的中点，证明：平面 求与平面所成角的正弦值 若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 【答案】解：证明：如图： 取线段的中点，连接、， 因为、分别为棱、的中点，底面是梯形，，所以、， 因为，平面，平面，所以平面， 同理可得：平面， 因为、平面，，所以平面平面， 而平面，因此平面． 连接， 因为平面，、平面，所以、， 因为底面是梯形，，，， 所以，因此、， 因为，所以，因此， 设点到平面的距离为， 因为，所以， 因此由得，解得， 设与平面所成角为，则， 即与平面所成角的正弦值． 如图： 由知：，， 因此由得， ，且， 由知：，因此， 因为，所以、， 因此， 设点到平面的距离为， 因为由知：， 所以由得：，解得， 因此三棱锥体积， 令，则， 因为由和得， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 因此当时，函数取得最大值， 即当时，三棱锥体积取得最大．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题分 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分和讨论即可； （2）（i）当时，显然不会有3个零点，当时，求出的两根，判断出的符号，利用零点存在性定理证明零点存在即可； （ii）根据得，则，最后根据对勾函数单调性即可证明. 【小问1详解】 的定义域为， . 当时，，所以恒成立， 所以在单调递增； 当时，， 所以的两根为， 且，所以， 所以，时，或时，． 所以在上单调递减，在和单调递增． 综上：当时，单调递减， 在和单调递增； 当时，在单调递增. 【小问2详解】 （i）由（1）可知当时，在单调， 不可能有三个零点； 当时，的两根为， 且，所以，且， 因为在上单调递减，所以， 因为，所以， 设， 在上单调递减，， 即，所以使. 因为， 又因为，所以， 所以使， 所以，当时，有三个零点， （ii）由（i）可知，的三个零点：， 因为，且，所以， 又因为，所以， 因为，所以函数单调递减，， 所以，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $$