精品解析：湖北省罗田县第一中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷

罗田县第一中学2026年秋高二年级10月份考试 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，写在本试卷上无效，考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（本题共8道题，共40分） 1. 点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 2. 若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 3. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 6. 据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为( ) A. B. C. D. 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量两两的夹角均为，且，.若向量满足，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3道题，共18分） 9. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 点到平面的距离 C. 异面直线与所成的角为 D. 存在点，使得直线与平面所成的角为 10. 已知随机事件，满足，，则（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若，则 D. 若事件，互斥，则 11. 在棱长为3的正方体中，点E在棱上且，点F在正方形内运动（含边界），若平面，则（ ） A. 点F的运动轨迹为线段 B. 的最小值为 C. 存在点F，使得 D. 过F，D，B，C四点的球的表面积最小值为 三、填空题（本题共3道题，共15分） 12. 若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______. 13. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高，反之，降低，则甲以取得胜利的概率为______________. 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5道题，共77分） 15. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，． （1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率； （2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率． 16. 在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点． （1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由； （2）若，求点D到平面AEF的最大距离． 17. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. （1）求证: 平面 ； （2）若四面体的体积为 ，求； （3）在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 18. 甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. （1）求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； （2）求前4局中甲参与了3局的概率； （3）求第4局是甲、乙对打的概率. 19. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． （1）求四棱锥的体积的最大值； （2）若棱的中点为，求的长； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗田县第一中学2026年秋高二年级10月份考试 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，写在本试卷上无效，考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题（本题共8道题，共40分） 1. 点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 2. 若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【详解】∵，则， ∴，故. 故选：B. 3. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两次抽奖奖金之和为200元分为第一次与第二次都中二等奖，第一次中一等奖，第二次中三等奖，第一次中三等奖，第二次中一等奖三种情况，然后利用古典概型求概率的公式计算. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故选：B. 4. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解. 【详解】由题意可知， 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：D 5. 结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 6. 据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可． 【详解】用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法： 第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种； 第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种； 故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为． 故选：A． 7. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对立事件的概率与互斥事件的概率及概率的加法公式计算求解即可. 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 故选：A. 8. 已知空间向量两两的夹角均为，且，.若向量满足，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，取一个三棱锥，用其棱表示对应的向量，结合题中所给的条件，将相应的边长求出，之后应用空间向量运算法则，表示出对应的结果，从而判断出取最值时对应的情况，求值即可. 【详解】取一三棱锥，， 且，，所以， ， 令， 因为，， 根据数量积的运算率可知：，， 又，， 所以， 所以， 得， 分别取中点， 所以，，， 所以， 所以当四点共线且按此顺序排列时，的最大值为：， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关空间向量的运算问题，涉及到的知识点有空间向量运算法则，三角形中利用余弦定理求边长，属于较难题目. 二、多选题（本题共3道题，共18分） 9. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 点到平面的距离 C. 异面直线与所成的角为 D. 存在点，使得直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，证明出线面平行，得到点到平面的距离为定值，结合为定值，故四面体的体积为定值，A正确；B选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到点到平面的距离；C选项，利用异面直线夹角向量公式求出答案；D选项，设出点的坐标，利用线面角的向量求解公式得到，D正确. 【详解】A选项，因为，平面，平面， 所以平面， 又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离 ，B正确； C选项，，， 则， 故异面直线与所成的角不为，C错误； D选项，设，， 由B选项知，平面的法向量为 设直线与平面所成角为， 则， 令，解得，负值舍去， 故存在点，使得直线与平面所成的角为，D正确. 故选：ABD 10. 已知随机事件，满足，，则（ ） A. 若事件，互斥，则 B. 若事件，相互独立，则 C. 若，则 D. 若事件，互斥，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A.利用互斥事件的概率加法公式求解；B.利用独立事件的概率乘法公式求解；C. 利用事件的包含关系求解；D. 由，互斥得到，则，利用事件的包含关系求解. 【详解】，， A.因为事件，互斥，所以，故选项A正确； B. 因为事件，相互独立，所以， 与不符，故选项B正确； C. 因为，所以，则，故选项C正确； D. 因为事件，互斥，所以，则， ， 则，与不符，故选项D错误. 11. 在棱长为3的正方体中，点E在棱上且，点F在正方形内运动（含边界），若平面，则（ ） A. 点F的运动轨迹为线段 B. 的最小值为 C. 存在点F，使得 D. 过F，D，B，C四点的球的表面积最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点，建立坐标系，求得平面的法向量，结合，求得点的运动轨迹方程，可判定A正确；由点，求得，利用二次函数的性质，可判定B正确；由，求得，得到点坐标，可判定C不正确；设球心，由球的性质，求得，且，结合函数的性质和球的表面积公式，可判定D正确. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方体的棱长为3， 可得， 因为点在棱上且，可得， 对于A，由向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 因为点在平面，设，可得 又因为平面，可得， 整理得， 因为点在正方形内，可得， 当时，，对应的点在棱上； 当时，，对应的点在棱上， 所以点的运动轨迹为线段，所以A正确； 对于B，由点，点且， 可得，其中， 所以当时，取得最小值，且，所以，所以B正确； 对于C，由，点且，可得， 若，可得，解得， 当时，可得，此时点， 因为点在正方形内，即，此时， 所以点不在正方形的区域内，所以不存在满足条件的点，所以C不正确； 对于D，由点，可得都在的平面上， 设球心，半径为， 因为三点确定的圆是正方形的外接圆， 其圆心为的中点，半径为， 则球心必在过且垂直于底面的直线上，所以， 设，球的半径为， 因为点且，即在球面上，所以， 可得， 整理得，即，可得， 又由球的表面积为，要使得表面积最小，只需最小， 令，可得的图象开口向上，且对称轴为， 所以当时，取得最小值，最小值为，所以， 所以，所以D正确. 三、填空题（本题共3道题，共15分） 12. 若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量与的夹角为钝角，则·<0，求得λ的范围，在将与共线且反向的情况排除即可. 【详解】∵向量与的夹角为钝角， ∴·＝ 解得. 当与共线时，设＝k (k<0)， 可得， 解得， 即当时，向量与共线且反向， 此时·<0，但与的夹角不是钝角. 综上：λ的取值范围是. 故答案为： 13. 甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）.根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高，反之，降低，则甲以取得胜利的概率为______________. 【答案】0.174 【解析】 【分析】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、，则所求概率为： ，再根据概率计算公式计算即可. 【详解】设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件、、、， 由题意，甲要以取胜的可能是，，， 所以 =. 故答案为：0.174. 【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 14. 如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 【答案】##-0.125 【解析】 【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5道题，共77分） 15. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，． （1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率； （2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”，由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，根据互斥事件概率加法公式计算即可； （2）设事件，，，表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，然后分别求出对应的概率,根据互斥事件概率加法公式计算即可. 【小问1详解】 设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”． 由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以． 所以． 因此其得分低于4分的概率为； 【小问2详解】 设事件，，，表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，． 则“两次射击得分之和为8分”为事件， 且事件，，互斥，，， 所以两次射击得分之和为8分的概率. 16. 在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点． （1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由； （2）若，求点D到平面AEF的最大距离． 【答案】（1）为中点，证明如下： 设平面与平面的交线为， 因为平面，平面平面，平面 所以. 由正方体知，平面平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以，所以 取中点，连接，易知，所以， 又因为为中点，所以为中点. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面平行性质定理和面面平行性质定理推出，即可得到点的位置. （2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，然后用公式求解点D到平面AEF的最大距离. 【小问1详解】 为的中点，证明略； 【小问2详解】 以点为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，其中 设平面的法向量为 则有，不妨取， 则 所以，当，即点与点重合时，取等. 所以点D到平面AEF的最大距离为. 17. 如图，在三棱锥 中， 分别是 的中点. （1）求证: 平面 ； （2）若四面体的体积为 ，求； （3）在（2）的条件下，若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） .的中点为，则. . ，则， 故，即. 因为，，平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可证线面垂直； （2）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以. 而， 所以，解得：. 【小问3详解】 过作轴垂直平面，以方向分别为 则， ， 设平面法向量为 由得， 所以为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 所以 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 18. 甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. （1）求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； （2）求前4局中甲参与了3局的概率； （3）求第4局是甲、乙对打的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分第2局甲轮空，第3局乙轮空；和第2局乙轮空，第3局甲轮空两种情况分别计算即可； （2）分甲第2局轮空，第3局轮空，第4局轮空三种情况分别计算即可； （3）第4局是甲、乙对打，有两种情况：情况一，第2局为甲、丙对打，第3局为乙、丙对打；情况二，第2局为乙、丙对打，第3局为甲、丙对打.分别计算两种情况下第4局为甲、乙对打的概率. 【小问1详解】 若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. 【小问2详解】 分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. 【小问3详解】 第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 19. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． （1）求四棱锥的体积的最大值； （2）若棱的中点为，求的长； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值 【小问1详解】 取AM的中点G，连接PG， 因为PA=PM，则PG⊥AM， 当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大， 四棱锥的体积取得最大值， 此时PG⊥平面，且， 底面为梯形，面积为， 则四棱锥的体积最大值为 【小问2详解】 取AP中点Q，连接NQ，MQ， 则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线， 所以NQ∥AB且， 因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形， 所以CM∥AB且， 所以CM∥NQ且CM=NQ， 故四边形CNQM为平行四边形， 所以. 【小问3详解】 连接DG， 因为DA=DM，所以DG⊥AM， 所以∠PGD为的平面角，即， 过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM， 设， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，则， 设平面PBC的法向量为， 因为， 则 令，可得：， 设两平面夹角为， 则 令，，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为 【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $