精品解析：湖北省荆州中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

荆州中学2025级高二10月月考 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到，再计算即可. 【详解】由题知：， 所以. 故选：D 2. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据斜二测画法的性质，原图形面积与直观图面积满足关系：， 直观图为等腰梯形，上底，下底，腰长，， 故梯形的高为：， 则，则，D正确. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简得，故或者，进而可判断出三角形的形状 【详解】因为，由正弦定理可得：， 整理可得：， 即，所以或者， 所以或， 而当时则， 所以三角形为直角三角形， 所以， 则中，这时，分母为0无意义 所以， 故选：A． 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或，又，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或，又，则或与相交，故B错误； 对于C：若，，则，又，则与平行或异面，故C错误； 对于D：若，，则或， 若，则在平面内存在直线，使得，又，则， 又，所以； 若，又，所以； 综上可得，由，，，可得，故D正确. 故选：D 5. 设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 6. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中大于20的数有：26，35，53，62，71，80，故所求事件的概率为. 7. 在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出坐标，进而可得，由题意，设，利用，化简整理，即可得出答案. 【详解】由题意得， 所以，又， 令，则，， 因为， 所以，即， 又， 设，则， 所以，解得，即， 当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：B 8. 已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角和的正切值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由圆锥体积求出底面半径．分别作，，利用二面角的平面角得到，与，的关系；再利用圆的性质和直角三角形的中位线关系求出即可． 【详解】设圆锥底面半径为． 由得，所以． 作，垂足为；作，垂足为，如图所示． 因为 底面，底面，所以． 又，故 平面，平面，从而． 因此 为二面角的平面角． 所以 同理，为二面角的平面角，故 因为为圆心，，，所以，分别为弦，的中点． 又为直径，所以． 在中，为的中点，为的中点，为的中点， 因此 于是 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数（为虚数单位）的共轭复数 B. 复数（为虚数单位）是纯虚数，则 C. 一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D. 若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，，的平均数和方差分别为和 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由（为虚数单位）是纯虚数， 则，解得，故B错误； 对于C，因样本数据7，12，13， 17，18，20，32的平均数为， 若去掉这个数据，则新的一组数据的平均数也是17，故C错误； 对于D，因样本的平均数和方差分别为2和3， 则的平均数为，方差为，故D正确. 10. 在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为的4个神秘书签，书签除编号外完全相同.小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号（ ） A. 小张不可能两次都抽出编号为1的书签 B. “两书签编号之和为6”的概率是 C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为5”相互独立 D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为5”的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据不放回抽样的特点直接判断即可；对于选项B、C、D，先利用排列数计算基本事件总数， 再分别列举出各事件包含的基本事件数，进而计算出相应概率，最后结合事件独立性定义和概率加法公式进行判断即可. 【详解】选项A，不放回抽取，第一次抽到编号为1的书签后，第二次不可能再抽到编号为1的书签， 因此“两次都抽出编号为1的书签”是不可能事件，所以A正确； 选项B，不放回抽取书签的所有可能结果有种，“两书签编号之和为6”的有序数对为和， 共2种结果，概率为，所以B错误； 选项C，设事件“抽到第一张书签编号为奇数”，事件“两书签编号和为5”， 对事件：第一张书签编号为奇数（1或3），有2种可能，第二张书签编号无要求，共种结果，所以； 对事件：两书签编号和为5的有序数对为，共4种结果，所以. 因此事件：抽到第一张书签编号为奇数且两书签编号和为5，有，共2种结果，. 由于，所以事件与事件相互独立，所以C正确； 选项D，根据上述分析，，所以D正确. 11. 在长方体中，，，M为棱的中点，点P为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（ ） A. 满足的点P有且只有两个 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为 D. 若平面，四棱锥的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质得到，求出即可判断A；根据得到轨迹，进而求得轨迹长度，即可判断B；应用等体积公式结合三棱锥体积公式计算判断C，由线面平行的向量证明可得到点与重合时，其外接球的体积最大，即可判断 D. 【详解】对于A，因为平面，平面，所以. 若，则，即点在以点为圆心，2为半径的圆上，满足的点P是弧， 在侧面内存在满足该条件的点无数个，故A不正确； 对于B：因为平面，平面，所以. 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 因为，即点P的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，三棱锥的体积， C选项正确； 对于D：取是中点，取是中点，因为平面，平面，所以平面， ，所以是平行四边形，所以平面，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以当取时，四棱锥的顶点都在球O上,球O体积的最大， 此时球的半径满足，即，所以球的体积为，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于轴的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于轴的对称点的特点即可得到答案. 【详解】根据空间对称性得点关于轴的对称点的坐标为. 故答案为：. 13. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据满足与平面成的角可得的轨迹为线段和个圆（），故可求其长度. 【详解】 因为与平面成的角， 故在为对称轴且轴截面顶角的一半为的圆锥面上（除去）， 而在正方体表面上且由正方体的性质有， 故的轨迹为线段和个圆（）， 故点轨迹的长度为， 故答案为：. 14. 设集合，，从所有函数中随机选取一个，则满足函数为常函数的概率为____________  ． 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知函数共有个，且要使为常函数，则，进而可知共有个，结合古典概型运算求解即可. 【详解】由题意可知：函数共有个， 要使为常函数，则，理由如下： 若，则对任意，， 则都等于同一个常数（或），故为常函数； 若为常函数，取和，则， 假设，若，，则，，则， 若，，则，，则， 二者不相等，与为常函数矛盾，所以； 满足条件的函数个数：，有种取法；任意，有种取法，故共有个， 所以满足函数为常函数的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小； （2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以， 所以． 又，所以， ，则 所以．又， 所以； 【小问2详解】 由已知及正弦定理得． 因为，所以，所以． 由余弦定理得， 所以，所以， 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 显然，，两两垂直，则可以为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，，，， ，，， 则， 所以，， 又， 所以，， 又因为，平面，， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）可建立适当空间直角坐标系，再求出空间向量计算得到、，再利用线面垂直判定定理即可得证； （2）求出平面与平面的法向量后，结合空间向量加角公式计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，又， 设平面的法向量为， 则，令，得，，即， 又平面，故可取平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 17. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 【答案】（1） （2）平均数为69.5，第80百分位数为77.5. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，解得即可； （2）根据平均数、百分位数的定义计算可得； （3）根据根据分层抽样的方差公式计算可得. 【小问1详解】 由图得，解得； 【小问2详解】 根据题意知， 因为，， 设第百分位数为，所以，， 解得， 故这100名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问3详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 ，，，，且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 18. 为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响. （1）求甲两轮测试总分为30分的概率； （2）求乙在第一轮测试中得40分的概率； （3）试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？ 【答案】（1） （2） （3）乙 【解析】 【分析】（1）利用和事件、对立事件、独立事件的相关概念计算即可； （2）利用古典概型计算概率即可； （3）分类讨论甲乙两人的得分情况，根据第二问的结论及独立事件的乘法公式计算比较概率大小即可. 【小问1详解】 设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分， 第二轮答对一题得30分”为事件；“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件. 则； 【小问2详解】 对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答， 则有共10种， 设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有 共6种， 则乙在第一轮得40分的概率为：； 【小问3详解】 由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分， 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时， 甲和乙晋级复赛的概率分别为：； ； 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： ； 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： 当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲获得面试资格的概率分别为：， 甲获得面试资格的概率为：； 乙获得面试资格的概率为： 乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单. 19. 如图，在矩形中，为线段上的点，且，将沿折起，点翻折至位置，连接，形成四棱锥. （1）若为棱上的点，且满足平面，求的值； （2）若二面角的平面角大小为，求到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造一个与平面平行的平面，由面面平行的性质得出再利用相似即可计算出的值； （2）通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合的长度即可求出到平面的距离； （3）先证明三点共线，再证面面垂直找到线面角的平面角，找到其最大值得到其正切值的取值范围. 【小问1详解】 在中，，则 在线段上截取，连接，由 可得四边形为平行四边形，则， 又平面平面，则平面， 因为平面，又，则平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又，则 【小问2详解】 过点作，垂足为，则，易知， 为二面角的平面角的补角， 又，故到平面的距离为； 【小问3详解】 （3）连接，在中，，则，又在中，，则，故三点共线. 易得平面，又平面平面平面，则即直线与平面所成角 由题可知，在以为圆心，为半径的圆上，则当直线与圆相切，最大值，此时.故直线与平面所成角的正切值取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆州中学2025级高二10月月考 数 学 试 题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 5. 设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到大于20的数的概率是（    ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知圆锥的高为1，体积为．为的一条直径，为上一点（不与，重合）．设二面角和的正切值分别为，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数（为虚数单位）的共轭复数 B. 复数（为虚数单位）是纯虚数，则 C. 一组样本数据为，，，，，，，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 D. 若样本，，…，的平均数和方差分别为2和3，则，，，的平均数和方差分别为和 10. 在图书馆的借书抽奖活动中，工作人员准备了编号为的4个神秘书签，书签除编号外完全相同.小张依次不放回地抽取两张书签，依次抽出后记录编号（ ） A. 小张不可能两次都抽出编号为1的书签 B. “两书签编号之和为6”的概率是 C. “抽到第一张书签编号为奇数”与“两书签编号和为5”相互独立 D. “抽到第一张书签编号为奇数或两书签编号和为5”的概率为 11. 在长方体中，，，M为棱的中点，点P为侧面内的动点（包含边界），则下列说法正确的有（ ） A. 满足的点P有且只有两个 B. 若，则点P的轨迹长度为 C. 三棱锥的体积为 D. 若平面，四棱锥的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点关于轴的对称点的坐标为________． 13. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为______． 14. 设集合，，从所有函数中随机选取一个，则满足函数为常函数的概率为____________  ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 16. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数； （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. 18. 为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响. （1）求甲两轮测试总分为30分的概率； （2）求乙在第一轮测试中得40分的概率； （3）试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？ 19. 如图，在矩形中，为线段上的点，且，将沿折起，点翻折至位置，连接，形成四棱锥. （1）若为棱上的点，且满足平面，求的值； （2）若二面角的平面角大小为，求到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $