湖北省黄石市云学联盟2026-2027学年高二上学期10月学科素养测评数学试题

高二数学学科素养测评 评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D A A A D ACD BC BCD 22 12.5(或4.4) 13.6V5 14.(4,4,5) 15.(13分) (1)由题意： ki= 1-21 -03 …2分 →m=3. …4分 (2)设C(n,0) 当n=0或者n=3时直线AC的倾斜角和直线BC的倾斜角不互补… …5分 1 当n≠0且n≠3时， huc =-2 n 3-n. ……7分 由题意K4c+kc=0. … …11分 2+1=0今n=2 即n3-n 故点C坐标为(2,0) …3分 l6.(1)由正弦定理：sin AcosC+V3 sin AsinC-sinB-sinC=0 3 sin Asin C=cos Asin C+sin C →V3sinA-cosA=1.... …2分 →4-引月 …3分 …4分 A Aπ 故66， …6分 be (a (2)由题意： sin Bsin C （sinA …8分 1 SAnc =bcsin A= 5 则 1211分 由余弦定理： r=+e-2加cas4=4B+e-号→6+g=9=6+e=3 ……12分 1 设内切圆半径为r,由等面积法： SAuwc-(a+b+c)r 13分 →r= 2SAABC3 a+b+c 6 …15分 17.(1)方法一：几何法 取BD中点P,取AD中点G,由题意有BG⊥AD,CF⊥BD …1分 ·平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,CF⊥BD,CFC平面BCD 则CF⊥平面ABD 3分 又ADC平面ABD→AD⊥CF.. …4分 又E为AD四等分点，则EFIIBG,则AD⊥EF 5分 又CF∩EF=E,且CFC平面CER,EFc平面CEF→AD⊥平面CER ……6分 又CEC平面CEF,则AD⊥CE …7分 方法二：建系 建立如图所示的空间直角坐标系， B(0,0,0).A(0,-1,5).C(51,0).D0,2,0)」 204'4 …2分 AD=(0,3,-V3) …4分 压-9 6分 →AD.CE=0故AD⊥CE. …7分 (2)设平面4CD的法向量为%=(：，，Z) AD=(0,3,-3).AC=(3,2,-V5) m·AC=0V3x+2y-√3z,=0 元·AD=03y-V3z=0 ,平面ACD的一个法向量为 =(1V5,3) …9分 设平面ABC的法向量为八，=(x,2,3) 2·AB=0 y2-V3z2=0 n·AC=0 V3x+2-5,=0,平面4Bc的-个法向至为=(，5.1 …11分 则平面ABC与平面ACD的夹角的余弦值 3+3-1 V65 cosθ √513 13 …15分 18. (1)所有样本点为 (1,1).1,2).1,3).(1,4).1,5).(1,6) (2,1).(2,2).(2,3).(2,4).(2,5).(2,6) (3,1).(3,2).(3,3).(3,4).(3,5).(3,6). (4,1).(4,2).(4,3).(4,4).(4,5).(4,6). (5,1).(5,2).(5,3).(5,4).(5,5).(5,6). (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). …3分 0=PB)=3PAB)=362 2 3=1=P(4P(B) ∴.事件A与事件B相互独立. …6分 21 P=- (2)由题意：游戏①通关的概率为 63 。。。。。。。。。。。。。 …7分 游戏②的实验样本空间2=(m,m)川m,n∈{红，2,3,4,5,6且m<n以，满足通关条件的样本点有1,2)(1,4) 1,6(2,3)(2,5)(3,4)(3,6)(4,5)(5,6)共9个 93 P2= 则游戏②通关的概率为 155.... …8分 设游戏③通关的概率为p 1.31131.2 若把游戏①放中间位置，则至少连续两次通关游戏的溉率为3×P+了×行 9+5*335×p=5+i 515P …10分 31.3131.2 -X一+一Xp-一×一Xp=一+一p 若把游戏②放中间位置，则至少连续两次通关游戏的概率为535 35 55 ……12分 1,31、3.11 ×p+ 若把游戏③放中间位置，则至少连续两次通关游戏的概率为3 p3x5 15P …14分 因为只有把游戏③安排在中间位置时他拿走大奖的概率最大 11。、12.11。、12 3 所以15P> *>5+15P p> ,解得 …15分 当m=6时，满足两球编号之和大于m的样本点有，6)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6) 93 此时 =155不符合 当m=5时，满足两球编号之和大于m的样本点有(L,5)(山，6)(2,4)(2,5)(2,6(3,4)(3,5)(3,6)(4,5) (4,6)(5,6) 11.3 p= 此时155符合题意 综上所述，的最大值为5… …17分 S球看△MBc=(Q+B+y-π)R2=元R2 19.(1)代入可 12 …3分 (2)①证明：由余弦定理可得： AC2=R2+R2-2R2cos0 BC2=R2+R2-2R2 cos0, 4B2=R+R2-2R cos.C2+BC2=4B 所以4R2-2R2(Cos8+cos8,)=2R2-2R2cos8. 2R2-2R2(cos0+cos0)=-2R2cos0, 消去2R2,则有：1-(cos日+cos8,)=-cos0, 即cos8+cos02-cosL=1 又c0s20=2cos20-1 所以 2 2 2 …7分 ②由题意可知AD是球的直径，则有AB⊥BD,AC⊥CD, 又AC⊥BC,BC∩CD=C 所以AC⊥平面BCD, 又因为BDC平面BCD, 所以AC⊥BD 又因为AC∩AB=A, 所以BD⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以BD⊥BC」 以C为坐标原点，以CB,CA所在直线为x,y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立空间直角坐标 系： ZA D 0 (b a h 以C为原点，A(0,a,0). B(b,0,0) 0气2'2"则Db0,2 下 直线DA,DC与平面ABC所成的角分别为6,4， 2h 1 Va2+b2+4h2 2即12h2=a2+b2 2h 2 √b2+4h22.即4h2=b2 解得b=2h,a=2V2h,取h=1 C(0,0,0),A(0,2V2,0).B(2,0,0).01,V2,1).D(2,0,2) S(0,V2,0).T(1,0,0).E(2,0,2t) 平面OBC的法向量为乃=(0,1，-V2) 平面S7的法向量为乃，=(-2V21,-2,V2) 2t+2 c0s0= 则 √5V12r2+22 化简得：142-8t-1≤0 4+V30 e04 …】7分 高二数学学科素养测评 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则 A． B． C． D． 2．一组数据，，…，的方差是2.5，则数据，，…，的方差是 A．4 B．5 C．9 D．10 3．已知直线l经过两点，，则直线l的倾斜角为 A． B． C． D． 4．在中，，，，则 A．1 B．2 C． D． 5．某圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 6．一个不透明箱子中装有5支签，其中有两支中奖签，某同学随机从中抽取两支签，至少有一支中奖的概率是 A． B． C． D． 7．空间中从P点出发的三条射线PA，PB，PC满足：，，则直线AP与平面PBC所成角为 A． B． C． D．无法确定 8．一个半圆柱容器中盛有水，半圆柱的高，底面半径，若侧面水平放置时（如图），水面恰好没过线段CD，此时，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．湖北省某校高二年级组织了一次开学考试，随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．下列说法正确的是 A． B．估计该年级成绩的众数为70 C．估计该年级80分及以上的学生人数约占40% D．估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 10．在中，，，，O是的外接圆圆心，N是AB边上一点，且CN是角C的角平分线，下列说法正确的是 A． B．AB边上的中线 C． D． 11．已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某高中为了解学生视力情况，按分层随机抽样方法分别从高一、高二、高三年级按照2∶4∶4的比例随机抽取部分学生进行调查，结果显示高一年级学生平均视力为4.6，高二年级学生平均视力为4.5，高三年级学生平均视力为4.2，则可估计该校全体学生的平均视力为_________ 13．已知一个正三棱柱存在内切球，且其外接球的体积为，则该三棱柱体积为_________ 14．已知空间向量，，，三个点均在平面内，则向量在平面内的投影向量坐标为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知经过，两点的直线的方向向量为． （1）求m的值； （2）点C为x正半轴上一点，若直线AC的倾斜角和直线BC的倾斜角互补，求点C坐标． 16．（15分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，且，求的面积以及内切圆的半径． 17．（15分）如图，平面平面BCD，，且，为正三角形，点E是线段AD上靠近点D的四等分点． （1）证明：； （2）求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值． 18．（17分）一个不透明的箱子中装有6个相同的球，分别编号1，2，3，4，5，6． （1）从中有放回地随机抽2次球，每次抽1个，记“第1次抽出的球的编号为3”为事件A，“两次抽出的球的编号之和为奇数”为事件B，请列出所有样本点，并通过计算判断事件A与事件B是否相互独立； （2）现某商场为顾客准备了如下抽奖游戏，游戏①：从上面的箱子中随机抽一个球，若抽到球的编号为3或6，则该轮游戏通关；游戏②：从上面的箱子中随机一次性抽两球，若两球编号之和为奇数，则该轮游戏通关；游戏③：从上面的箱子中随机一次性抽两球，若两球编号之和大于m（m为整数且）则该轮游戏通关．要求顾客三个游戏各玩一次，各轮游戏是否通关互不影响，且顾客可自行安排游戏的先后顺序，顾客至少连续两次通关游戏方能拿走超市的大奖，现已知顾客只有把游戏③安排在中间位置时他拿走大奖的概率最大，求m的最大值． 19．（17分）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科，如图一，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，设表示以O为圆心，且过B，C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，的大小分别为，，，那么球面三角形的面积公式为． （1）球O的半径为R，球面上三点A，B，C构成球面三角形，已知三个二面角分别为，，，求该球面三角形ABC的面积； （2）若将图一中四面体OABC截出得到图二，若平面三角形ABC为直角三角形，，设，，． ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，连接BD，CD，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，，S为AC中点，T为BC中点，E在线段BD上，，，设平面OBC与平面EST的夹角为，若，求t的范围． 学科网（北京）股份有限公司 $