湖南省邵东市第一中学2025-2026学年高二上学期第三次监测数学试题

2025年下学期高二第三次监测数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人： 1、 单选题（本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1、已知复数满足，其中是虚数单位，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】,.故选：A. 2、已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】，数列是以为公差的等差数列 ， 数列是以为公差的等差数列，.故选：B. 3、已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以， 因为函数是定义在上且周期为的函数， 所以，所以，所以， 因为当时，，所以，所以，故选：A. 4、已知，则（ ） A. B.－ C. D.－ 【答案】D 【详解】由得，①，②， 即，， ∴ ∵，∴. 故答案为：D. 5、已知函数，若数列满足，且对任意的正整数恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知数列是单调递增数列， 则函数在上为增函数，可得， 函数在上为增函数，可得，可得， 且有，即，即，解得或. 综上所述，. 故选：B. 6、已知,且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则，则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7、已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】根据已知有，圆心，半径，因为弦， 所以圆心到所在直线的距离， 又因为为的中点，所以有， 所以的轨迹为圆心为，半径为的圆，的轨迹方程为； 令直线为，则到直线的距离为， 则，即，所以当最大时，也取得最大值， 由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍， 设圆心到直线的距离为，则，所以， 所以的最大值为6. 故选：C. 8、已知函数，若关于x的方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 当时，，在单调递减，， 在单调递增，； 当时，，在单调递减，， 在单调递增，，作出的图象如下： 若关于x的方程有四个不同的实数解，结合图像可知，在只有一个解， 记， ①当有两个零点时，则一个零点为负数，另一个零点在， 由题意，有，解得； ②当有且仅有一个零点时，，即或时，需要才行，无解， 所以综上①②，a的取值范围是，故D正确. 因为，由得，所以，故B错误； 又，根据韦达定理可知中， ，， 所以，故C错误，A错误. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分． 9、已知函数的部分图象如图所示， 下列说法错误 的是（    ） A． 函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．该图象向右平移个单位可得的图象 【答案】CD 【详解】由函数的图象可得，周期，所以， 当时，函数取得最大值，即，所以，则，又，得，故函数. 对于A，当时，，即点是函数的一个对称中心，故A正确； 对于B，当时，，即直线是函数的一条对称轴，故B正确； 对于C，令，解得，则函数的单调递减区间为，故C错误； 对于D，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，即D错误. 故选：CD. 10．已知抛物线C:的焦点为，过的直线交于,两点，过,分别作的准线的垂线，垂足分别为,，则下列说法正确的是（    ） A．以线段为直径的圆与轴相切 B． 【答案】ABD 【详解】设，，如图，    对于A：由抛物线定义知，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B：由题意知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 所以，， 由得， 所以， 因为，， 所以，所以，故B正确； 对于C： 所以，故C错误； 对于D：当，可得即，又，∴ 11、已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆的直径长为．若为底面圆周上不同于 的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥的侧面积为 B．面积的最大值为 C．圆锥的外接球的表面积为 D．若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】对A：由题意可知：， 故圆锥的侧面积为，A错误； 对B：面积， 在中，，故为钝角， 由题意可得：， 故当时，面积的最大值为，B正确； 对C：由选项B可得：，为钝角，可得， 由题意可得：圆锥的外接球即为的外接圆，设其半径为， 则，即； 故圆锥的外接球的表面积为，C正确； 对D：将平面与平面展开为一个平面，如图所示， 当三点共线时，取到最小值，此时， 在，，则为锐角， 则， 在，则， 由余弦定理可得， 则，故的最小值为，D正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12、已知e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=－e1+2e2+μe3,若α∥β,则λ+μ=______ 答案：-5 ∵e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,∴{e1,e2,e3}可以作为空间的一个基底, 又平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,且α∥β,∴a∥b, 设a=tb,t∈R,则e1+λe2+3e3=t(-e1+2e2+μe3), ∴解得∴λ+μ=-5. 13、已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则 等于 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 由，得，化简得. 由与的等差中项为5，得，即. 将代入上式，得，故. 联立，两式相除得，解得.代入，得. 前5项和. 故答案为：31 14、已知双曲线，斜率为的直线交于、两点，为上异于、的点，且．直线、均不过坐标原点．设与的重心分别为、，的外心为，直线、、的倾斜角分别为、、．若，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】设、、， 因为、、都在双曲线上，所以①，②，③， 与的重心分别、， 直线、的斜率分别为： ，， 所以，， 的外心为是三角形三边重直平分线的交点， 因为，所以是直角三角形，其外心是三角形斜边的中点， 所以，直线的斜率为，所以， ①②得，所以，即， 同理可得，， 由题意可知，， 所以，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、已知圆C与y轴相切，圆心在直线上，且被x轴截得的弦长为． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【解答过程】（1）设圆C的标准方程为， ∵圆心C在直线上，，① ∵圆C与y轴相切，，② 又∵圆C被x轴截得的弦长为，，③ 联立①②③解得，，，，圆C的方程为．……6分 （2）∵圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1， 圆心C到直线l的距离． 当直线l斜率不存在时，直线l的方程为， 圆心C到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率不存在时，设直线l的方程为， 即， 圆心C到直线l的距离，解得， 直线l的方程为． 综上，所求直线l的方程为或．……13分 16、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为锐角，. （1）求A； （2）若，且边上的高为，求的面积. 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）由得， 由余弦定理得，所以， 由正弦定理得，是三角形内角，， 所以，又A为锐角，所以． …………………………7分 （2）由余弦定理得：，， 又∵，则 ∴， ∴． …………………………15分 17、 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC， M为棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，（i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）,（ii）存， 【解析】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点，，，，，，， 四边形是平行四边形，，又平面，平面， 平面…………………………4分 （2），，，，， 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又，平面，，，又， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示。 则，，，，，， （i）故，设平面的一个法向量为， 则，令，则，，， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ∵二面角的平面角为锐角 ∴二面角的余弦值为 …………………………10分 （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,，， 点到平面的距离是，，． …………………………15分 18、已知数列的前项和为，，. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【解答过程】（1）由得，又， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列……………………3分 ∴，即 ∴当时，， 又不满足上式，所以.……………………6分 （2）的前n项和为（错位相减法，过程略）…………………11分 （3）由（1）知， 则 ∴ ∴当时，； 当时，，即 所以的最大值为， 依题意，即，解得或. 所以实数的取值范围是：.……………………17分 19、已知是椭圆的右焦点，椭圆离心率，且椭圆上任意一点与点距离的最大值为3.    (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，椭圆在点处的切线交轴于点. ①求的最小值； ②设分别为椭圆的左､右顶点，不垂直轴的直线交椭圆于另一点，直线与直线交于点，问直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由. 【答案】(1)(2)①；②是，直线方程为，理由见解析 【详解】（1）由已知，解得， 所以，所以椭圆方程为； ……………………3分 （2）①因为切线交轴于点，所以，， 因为点在椭圆上，所以，即， 又， 因为，所以，所以 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为； ……………………8分 ②由已知设直线：，， 由消元得， 则，，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 所以即点，所以直线的方程为， 与直线联立，得， 因为，所以，代入上式可得 ， 即，解得 即点在直线上 ……………………17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025年下学期高二第三次监测数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的) 1、已知复数z满足(1-)z-2i,其中i是虚数单位，则=() A.√2 B.√5 C.2 D.3 2、已知数列a满足a+1Fa,+6,a,的前n项和为S,则器器=（) A.12 B.6 C.3 D.2 3、已知f(x)是定义在R上且周期为4的奇函数，当2<x≤4时，f(x)=√4-x,则f)=() A.-1 B.1 C.√5 D.-5 4、已知sinacosp=2 cosinB,si血(C+B)=4,则sin(B-网=（） A.月 B.8 C. D. 5、己知函数f(x)= (3-ax-3,x≤7 d-6,x>7 若数列{a,}满足a=f(mmeN), 且对任意的正 整数n,有a+1>a,恒成立，则实数a的取值范围是() A.[2,3) B.(2,3) D 6、已知x>0,y>0,且x+y=5,若 +1'y+2 ≥2m+1恒成立，则实数m的取值范围是() c D.(-o,4] 7、己知A,B是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB=2V2,点M(xoy)是线段AB的中点，则 xo+4|的最大值为() A.12 B.6V2 C.6 D.3V2 8、己知函数f(x)= [nx-x>0,若关于x的方程[f]'+a寸)+a=0有四个不同 [x2+2x+1,x≤0 的实数解，它们从小到大依次记为x1,x2,x,七4，则下列结论正确的是（) 1 A.0≤x1x2≤1 B.1<xg<e C.0<xxY<e2 D. ≤a<0 2 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，错选得0分。 9、已知函数f()=4sin(ax+p4>0ow0号 的部分图象如图所示，下列说法错误 的是() A.函数y=∫(x)的图象关于点 ，0对称 6 B.函数y=∫(x)的图象关于直线x= 5亚对称 1 Oππ 2ππ 123 C.函数y=f(x)在 36 单调递减 D.该图象向右平移个单位可得y=2sin2x的图象 3 10、己知抛物线Cy2=2p.x(>0)的焦点为F(1,0),过F的直线交C于A,B两点，过A,B分别 作C的准线的垂线，垂足分别为P,9,则下列说法正确的是() A.以线段AF为直径的圆与V轴相切 B.PF⊥QF C.PO=AF BF D当AF=2甜时，△4FO的面积为35 2 11、已知圆锥顶点为S,高为1，底面圆O的直径AB长为2√2.若C为底面圆周上不同于A,B 的任意一点，则下列说法中正确的是() A.圆锥SO的侧面积为6v2π B。△S4C面积的最大值为 C.圆锥SO的外接球的表面积为9元 D.若AC=BC,E为线段AC上的动点，则SB+BE的最小值为V7+4N2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、己知e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量，平面a和平面邹的法向量分别为Fe1+e2+3e3和 F一e+2e2+μe3,若a/∥B,则+u=」 13、己知等比数列{a}满足a2·a4=a,且a与2a的等差中项为5，Sn为其前n项和，则S 等于 14、已知双曲线C三三=1(a心0，b>0),斜率为2的直线1交C于M、N两点，P为C上异于 M、N的点，且MP⊥NP.直线MP、NP均不过坐标原点O.设△MOP与△NOP的重心 分别为D、E,△MNP的外心为T,直线OD、OE、OT的倾斜角分别为a、B、Y.若 tanatan6tany=-108,则C的离心率为 2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、己知圆C与y轴相切，圆心在直线x+y1=0上，且被x轴截得的弦长为2V3. (1)求圆C的方程： (2)己知直线1过点(1，-3)，圆C上恰有三个点到直线1的距离等于1，求直线1的方程. 16、△48C的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知A为锐角，sinB-cosC=c2- 2ab (1)求A: (2)若b-5。 c,且BC边上的高为2V5,求A8C的面积 I7、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD,AD⊥DC,AB∥DC, AB-;CD=AD=1,M为棱PC的中点 M D C B (1)证明：BM//平面PAD; (2)若PC=√5，PD=1,(i)求二面角P-BM-D的余弦值： (i在楼PA上是否存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是5V6?若存在，求出PQ的 18 长；若不存在，说明理由. 18、已知数列{a,}的前n项和为S,4=1,S+1-2S+2*1 (1)证明数列 2n了 是等差数列，并求数列{a的通项公式： (2)求数列{S}的前n项和： (3)设b,-产，若对任意正整数m,不等式b,<心+18恒成立，求实数m的取值范围。 27 1 19、已知F是椭圆E:,+发=1(a>b>0)的右焦点，椭喷离心率e=2'且椭圆上任意一 点与点F距离的最大值为3. R M A P OF A （1)求椭圆E的方程： (2)点M(:,片)(：>0，乃>0)在椭圆E上，椭圆在点M处的切线1：+以=1交x轴于 43 点P ①求FP-4FM的最小值： ②设A,A,分别为椭圆E的左、右顶点，不垂直x轴的直线MF交椭圆于另一点N,直线A 与直线MA,交于点P,问直线MN与直线PQ的交点R是否在一条定直线上？若是，求出该 直线方程；若不是，请说明理由