安徽省淮北市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

准北一中2026-2027高一（上)第一次月考数学试题卷 考试时间：120分钟；满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.命题“Vx>0,x2-x+1>0”的否定为() A.Vx>0,x2-x+1≤0 B.x≤0，x2-X+1≤0 C.3x>0,x2-x+1≤0 D.3x≤0，x2-x+1≤0 2函数断)=吾的定义域为() A.(-∞，2] B.(-∞，1)U(1,2]C.(-∞，1)U(1,2)D.(0,2) 3.己知a∈R,则“a>1”是“<1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.下列说法正确的是()· A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2>ab>b2 D.若a<b,则片>君 5.设集合M=x=音+后k∈Z,N=x=名+，k∈Z,则M、N的关系为() A.M∈N B.M=N C.M2 N D.M∈N 6.若不等式1≤a-b≤2,2≤a+b≤4，则4a-2b的取值范围是() A.[5,10] B.(5,10) C.[3,12] D.(3,12) 7.命题：3xER,ax6-ax。-2>0为假命题的一个充分不必要条件是() A.(-∞，-8]U[0,+∞) B.(-8,0) C.(-∞，0] D.[-8,0] 8.非空数集A∈R,同时满足如下两个性质：(I)若a,b∈A,则ab∈A;(2)若a∈A,则片∈A.则称A为一 个“封闭集”，以下叙述： ①若A为一个“封闭集”，则1∈A: ②若A为一个“封闭集”且a,bEA,则号eA; ③若A,B都是“封闭集”，则A∩B是“封闭集”的充要条件是A∈B或B∈A: ④若A,B都是“封闭集”，则AUB是“封闭集”的充要条件是ACB或B二A. 正确的是() 第1页，共4页 A.①②④ B.①②③④ c.①②③ D.①③④ 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知A={xIax2+2x+a=0,a∈R}只有一个元素，则实数a的取值可以是() A.-1 B.0 C.1 D.2 10.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x1<x<3},则() A.a<0 B.a+b+c=0 C.4a+2b+c<0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集是xx<-1或x>- 11.已知a,b为正实数，且ab+2a+b=16,则() A.ab的最大值为8 B.2a+b的最小值为8 C品+南的最小值为号 D.b+ga的最小值为6 10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数y=x2+2x,x∈[-2,1]的值域是_ 13.准北一中第49届秋季田径运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛 的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有24人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有 学生人数为一· 14.己知a∈R,b>0,若存在实数x∈[0,1)，使得Ibx-a≤b-ax2成立，则的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 设集合A={x1a+1<x<3a-2,B={x|x2-5x-6≤0}. (1)若a=3,求C(AnB): (2)若AUB=B,求实数a的取值范围. 第2页，共4页 16.(本小题15分) 若集合A={x1x2+5x-6=0,B={x1x2+2(m+1)x+m2-3=0} (1)若m=0,写出AUB的子集： (2)设命题p:x∈A;命题q:x∈B,若q是p的充分条件，求实数m的取值范围. 17.(本小题15分) ()尼知正实数a,b,c,求证：号+号+号≥a+b+c (2)若a∈R,解关于的x不等式ax2+(a-1)x-1>0. 第3页，共4页 18.(本小题17分) 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离( 并根据车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹 车.若将报警时间划分为4段，分别为准备时间to、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3,相应 的距离分别为do,d1,d2,d3,如下图所示.当车速为v(米/秒)，且v∈(0,33]时，通过大数据统计分析 得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，k∈[1,2]）. 报警距离d ---危险距离 阶段 0.准备 1.人的反应 2.系统反应 3制动 时间 to t1=0.8秒 t2=0.2秒 ta 距离 d0=10米 d d2 d=0米 (1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式d()；并求当k=2,在汽车达到报警距离 时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间： (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/ 秒？ 19.(本小题17分) 己知有限集A={a1,a2,,am(n≥2，n∈N),如果A中的元素a(i=1,2,…,n)满足a1+a2+…+am= a1×a2X…Xan,就称A为“完美集”. (1)判断：集合{-1-√3，-1+√3是否是“完美集”并说明理由： (2)a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，求证：a1、a2至少有一个大于2： (3)若a:为正整数，求：“完美集”A. 第4页，共4页淮北一中2026-2027高一（上)第一次月考数学参考答案 【答案】 1.C 2.B 3.A4.C 5.D 6.A 7.B 8.A 9.ABC 10.ABD 11.ABD 12.[-1,3] 13.58 14[-1,] 15.解：(1)当a=3时，A={xI4<x<7),B={xlx2-5x-6≤0}={xl-1≤x≤6， 因此AnB={xl4<x≤6}， 所以CR(AnB)={xIx≤4或x>6: (2)由AUB=B,得A∈B, 当A=e时，则a+1≥3a-2,解得a≤多，满足AcB,因此a≤ 当A≠时，由AcB,得-1≤a+1<3a-2≤6解得<a≤号 所以实数a的取值范围是a≤号 16.解：(1)当m=0时，B={xx2+2x-3=0}={-3,1}, A={xx2+5x-6=0}={-6,1}, AUB={-6,-3,1, 其子集为：0，{-6，{-33，{1，{-6-3，{-6,1，{-3,1，{-6，-3,1 (2)由题意，q是p的充分条件，则q→p,.B∈A, 当B=e时，此时△=[2m+1)]2-4(m2-3)<0,解之得：m<-2,符合题意： 当B≠时，则B={-6}或B={1或B={-6,1}, 若B为单元素集，则△=[2(m+1)]2-4(m2-3)=0, 解得m=-2,此时B={xx2-2x+1=0}={1},符合题意： (△=[2(m+1)]2-4(m2-3)>0 若B={-6,1,则有 -2(m+1)=-6+1,无解. m2-3=-6×1 综上所述，实数m的取值范围为{mm≤-2}. 第1页，共9页 17.解：(1)证明：a,b,c>0, 由基木不等式有：号+a≥2，号+b≥2，号+c≥2a, 三式相加可得：2+a+号+b+兰+c≥2b+2c+2a, c2 当且仅当a=b=c时，取等号， 即吧t后+≥a+b+e C (2)当a=0时，ax2+(a-1)x-1>0台-x-1>0→x<-1: 当a≠0时，ax2+(a-1)x-1>0台(ax-1)x+1)=a(x-)x+1)>0, 当a>0时，有后>-1，则此时不等式解集为：（-∞，-1)U(后+∞)： 当a<0,ax-a)x+1)>0台(x-a)x+1)<0. 若是<-1，即-1<Q<0时，不等式解集为：（合-1）： 若：>1，即a<-1时，不等式解集为：(-1，)： 若日=-1，即a=-1时，不等式解集为空集。 综上，Q=0时，解集为(-∞，-1)； a=-1时，解集为a a>0时，解集为(-∞，-1)U(日，+∞)： -1<a<0时，解集为（后-1）： a<-1时，解集为(-1，)： 18.解：(1)由题意得，d(v)=do+d1+d2+d3, v2 6d(0)=10+0.8u+0.2v+地=10+v+20 v2 当k=2时，d(m)=10+v+40' 则(0)=9+0+121+29×品=1+1=2（秒）（当且仅当=20时等号成立）. 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒： (2)要求对任意k∈[1,2]，d()<50恒成立， 即对任意k1,2,10+p+示<50，即<9-拒成立. v2 由k∈1,2，得∈[品1， 第2页，共9页 “分<9日即2+20p-800<0.解得-40<D<20 .0<v<20 即汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下. 19.解：(1)由(-1-V3)+(-1+√3)=-2， (-1-V3)(-1+V3)=-2, 则集合{-1-V3,-1+V3是“完美集”： (2)若a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2是“完美集”， 设a1+a2=a1'a2=t>0, 根据根和系数的关系知，a1=2和a2相当于x2-tx+t=0的两根， 由4=t2-4t>0,解得t>4或t<0(舍去)， 所以a1·a2>4,又a1,a2均为正数， 所以a1、a2至少有一个大于2； (3)不妨设A中a1<a2<a3<<an 由a1a2…an=a1+a2+…+an<nan, 得a1a2…an-1<n, 当n=2时，即有a1<2, 又a为正整数，所以a1=1, 于是1+a2=1×a2,则a2无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当n=3时，a1a2<3, 故只能a1=1,a2=2,求得a3=3, 于是“完美集”A只有一个，为1,2,3}： 当n≥4时， 由a1a2…an-1≥1×2×3×…×(m-1), 即有n>1×2×3×…×(n-1), 而n-(m-1)(m-2)=-n2+4n-2 =-(n-2)2+2<0, 又(m-1)(n-2)≤1×2×3×…×(m-1), 因此n<1×2×3×…×(n-1),故矛盾， 第3页，共9页 所以当n≥4时不存在完美集A 综上知，“完美集”A为1,2,3. 【解析】 1.【分析】 本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题. 根据全称量词命题的否定判断各选项. 【解答】 解：“Vx>0,x2-x+1>0”的否定为“x>0,x2-x+1≤0”. 故选：C 2.【分析】 本题考查求函数的定义域，属于基础题， 列出使函数有意义的不等式组，求解即可. 【解答】 解：要使得f(x)= 平有意义，应满足促-18解得x∈(-，0u4,☒. 所以f()-2= X-1 的定义域为(-∞，1)U(1,2]. 故选B. 3.【分析】 本题考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题， 根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【解答】 解：若a>1,则0<<1成立， 当a=-1时，满足<1，但a>1不成立. a>1是<1的充分不必要条件. 4.【分析】 根据各选项的条件取特殊值，即可判断ABD,由不等式的基本性质，即可判断C. 本题考查了不等式的基本性质，属基础题. 【解答】 解：A.当a>b>0时，取c=0,则ac2>bc2不成立，故A错误； B.当a>b时，取a=0,b=-1,则a2>b2不成立，故B错误； 第4页，共9页 C.当a<b<0时，由不等式的基本性质知a2>ab>b2>0,故C正确： D.当a<b时，取a=-1,b=1,则哈>不成立，故D错误. 故选：C 5.【分析】 本题考查集合关系.可通过化简集合中元素的一般形式或用列举法写出两集合一段数值大小连续的元素来 判断，这是此类题的两种常见解法. 通过化简集合中元素的一般形式，比较分析来判断集合关系. 【解答】 解：x-音+名石2k+1).keZx=言+写言c+2,keZ, 2k+1为奇数，k+2可取任意整数， s.M∈N, 故选D. 6.【分析】 本题考查不等式的基本性质，属于中档题 利用待定系数法，令4a一2b=x(a一b)+y(a+b),求出满足条件的x,y,利用不等式的基本性质，可 得4a-2b的取值范围 【解答】 解：令4a-2b=x(a-b)+y(a+b) 即42解得：x=3y=1 即4a-2b=3(a-b)+(a+b) .1≤a-b≤2,2≤a+b≤4， 3≤3(a-b)≤6 .∴.5≤4a-2b≤10 故选：A. 7.【分析】 本题的知识点是命题真假的判断与应用，充分必要条件的判断，属于基础题. 将存在量词命题转化为全称量词命题，进而转化为恒成立问题即可求解， 【解答】 解：命题]x∈R,ax2-a-2>0”为假命题，命题“Vx∈R,ax2-ax-2<0”为真命题， 当a=0时，-2≤0成立， 当a≠0时，a<0,故方程ax2-ax-2=0的4=a2+8a≤0解得：-8≤a<0, 第5页，共9页 故a的取值范围是：[-8,0]， 要满足题意，则选项是集合[-一8,0]真子集，故选项B满足题意 故选B. 8解：对于①，~A为一个“封闭集”， 由定义可知ae小，则片eA,a×1eA,故①正确： 对于②，A为一个“封闭集”， a,bEA,5eA,号eA,故②正确： 对于③，A=,1,2,B=行，1,3，AnB=1都是封闭集， 则ACB或BSA不成立，故③错误： 对于④，充分性：A,B都是“封闭集”，若ASB或BSA,则由题意知AUB是“封闭集”， 必要性：若AUB是“封闭集”，令AUB=C, 假设A不包含于B且B不包含于A, 则存在a∈A,a庄B,b∈B,b庄A,同时a∈C,b∈C, AUB=C是“封闭集”， “abcC,∈C,分两种情况讨论， 若abeA,又aeA,则片eA, ∴abx日=bEA,这与假设矛盾， 若abEA,又beB,则片eB, “ab×=aeB,这与假设矛盾， 假设不成立，原结论AUB是“封闭集“，则A∈B或B二A,必要性成立，故④正确. 故选：D. 由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 本题考查新定义、交集、并集、子集、反证法等基础知识，是中档题 9.解： 当a=0时，A={xax2+2x+a=0}={x2x=0}=0},满足题意： 当a≠0时，△=4-4a2=0a=士1 故选：ABC 10.【分析】 第6页，共9页 本题主要考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，解含参的一元二次不等式，属于基础题. 由己知结合二次不等式与二次方程的转化关系检验各选项即可判断： 【解答】 解：因为不等式ax2+bx+c>0的解集是{x1<x<3}, 所以a<0,且1,3为方程ax2+bx+c=0的两根，故A正确： 故{ 1+3=-6 1×3=e 所以b=-4a,c=3a, 所以a+b+c=a-4a+3a=0,故B正确： 4a+2b+c=4a-8a+3a=-a>0,故C错误： 由不等式cx2-bx+a=3ax2+4ax+a<0, 可得3x2+4x+1>0, 解得x<-1或x>-子故D正确。 故选：ABD. 11.解：a,b为正实数，由ab+2a+b=16,得(a+1)(b+2)=18, ÷b=8-2,由b>0,知0<a<8. a+1 对于Ab=-2a=18-(2a+)=20-2a+1)+<20-22a+1)品=8. 当且仅当Q+1=即a=2,b=4时，取得最大值，A正确： 9 对于8,2a+b=2a+品-2=2a+1)+品-422a+10品4=8， 当且仅当a+1=品，即a=2,b=4时，取等号，8正确： 对干，本+京+岩>2品容=号 当且仅当中-告即a=3V2-1,b=3V2-2时，联等号，是然C不正确； 对于D,b+,克。=品-2+克。=（品+a+1+9-)-2 8+1+18(9-@a+1, 1 、1 a+1 2+9a]-2019+2、 18(9-a)a+1 a+19-a 2-0 019+6v②-2 6V2-1 10, 当且仅当=告即a=品时，取得等号， a+1 9-a1 第7页，共9页 所以b+,的最小值为，D正确。 故选ABD. 12.【解答】略 13.【分析】 本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题. 根据题意，设出集合，结合集合的运算，即可求解. 【解答】 解：设该班级的总人数构成全集U,报名田赛的学生构成集合A,报名径赛的学生构成集合B,既不报名田 赛也不报名径赛构成集合C, 则集合A=21,集合B|=18,集合C=24,IA∩B1=5, 则|U川=|A+|B-|AnB|+IC=21+18-5+24=58人. 故答案为：38. 14.【分析】 本题考查不等式的恒成立问题，涉及了函数最值的求法，考查转化思想，函数思想以及运算求解能力，属 于难题， 不等式两边同除以b,先将题意转化为x-t≤1-tx2在x∈[0,1)上有解，即得tx2-1≤x-t≤1-tx2, 设f=-右，9)=站xe0,).即 ts2+1 x2+1 1在x∈[0,1)上有解，即t≥f()mn且t≤g(x)max, 再求出函数对应最值即可得出结果。 【解答】 解：由于b>0,故不等式两边同除以b,得x-1≤1-x2, 令号=teR,即不等式x-≤1-tx2在x∈D,1)上有解， 去绝对值即得tx2-1≤x-t≤1-tx2,即r2-1≤x- x-t≤1-tx2 x2+1 (t≥1 1在x∈[0,1)上有解， 1-x2- x+1 设f)=-9=岩xe0,1) 即t≥f(x)min且t≤g(x)max即可， fy=-本i在xe[o,1)上， 第8页，共9页 x+1e1,2)e(分 即f()∈[-1，-)，故t≥fx)mm=-1: g6倒=品-+2x4品2 x+1 利用基本不等式c+1)+异1≥2W2, 当且仅当x+1=2即x=V2-1e[0,1)时等号成立， x+1 故g6闭≤2-，即g6nx-,故虹≤ 2 综上，t的取值范围为-1≤t≤2+出， 2 即哈的取值范围为-1≤号≤， 故答案为：[11 15.详细解答和解析过程见【答案】 16.详细解答和解析过程见【答案】 17.本题考查一元二次不等式的求解以及不等式的证明问题，考查基本不等式，属于中档题 18.本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，考查恒成立问题的求解方法及分式 不等式的解法，是较难题， (①由题意得到d(o)=10+v+,取k=2后，再由基本不等式求最值： (2)对任意k∈[1，A:d0)<50恒成立，即对任意k∈1，习，石<9拒成立，由k的范围求得对的最 大值，转化为关于v的不等式求解的范围，即可得到汽车的行驶速度的限制范围。 19.本题考查集合的新定义问题元素与集合的关系，一元二次方程的解集及其根与系数的关系，属于较难 题 (①)根据“完美集”的定义，进行判断即可： (2)根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； (3)设A中a1<a2<a3<<an,得到a1a2…an-1<n,分n=2,n=3,n≥4进行分类讨论， 第9页，共9页