精品解析：山东省济南市名校协作体2026-2027学年高二上学期第一次学情检测数学试题

高二上学期第一次学情检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示，列方程求解，得的值. 【详解】由题可知，，解得. 故选：A. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】通过斜率求出倾斜角 【详解】整理得,直线斜率为，， 所以倾斜角为. 故选：A 3. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 4. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD， 则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 5. 设直线l的斜率为k，且，求直线l的倾斜角的取值范围 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围. 【详解】直线l的斜率为k，且， ∴，. ∴. 故选：D. 【点睛】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的对应关系，属于基础题. 6. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 7. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直求出实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为直线和直线， 若，则，解得或， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 8. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】根据题意易知两两相互垂直， 由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设， 则 故，， 设所成角为，， 则， 所以，即与所成角的正弦值是. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则（ ） A. 恒过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 【答案】AC 【解析】 【分析】通过分离参数法求得直线恒过定点判断A选项，由两直线平行于垂直时直线方程中系数的关系建立方程，解得，判断BC选项，整理直线方程，得到斜率，由斜率为0建立方程，由方程的解判断D选项. 【详解】，直线恒过定点，A选项正确； 若，则，∴， 且当时，，，也成立，B选项错误； 若，则，即，则，C选项正确； 时，斜率不存在，倾斜角为，时，直线斜率为，倾斜角不是， 于是无论如何取值，倾斜角不可能是，D选项错误. 故选：AC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若，则四点共面 D. 若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，由，得向量的夹角是锐角或0，A错误； 对于B，根据空间向量共面定理知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，B正确； 对于C，对空间中任意一点，，由，得四点共面，C正确； 对于D，若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，但向量可以平移到同一个平面，D错误． 11. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为； C. 与平面所成角的正弦值为 D. 到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助向量模长公式可得A；借助向量夹角余弦公式计算可得B；求出平面法向量后，借助向量夹角余弦公式计算可得C；求出平面法向量后，借助空间中点到平面距离公式计算可得D. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、、； 对A：，则，故A错误； 对B：，， 则， 故异面直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对C：，，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，故， 则有， 则与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对D：，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，，故， 又，则到平面的距离，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分为直线过原点和不过原点两种情况，不过原点时，设直线方程为，根据题意即可求解. 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为. 综上，直线方程为或. 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量和向量，再代入空间点到直线的向量距离公式计算即可. 【详解】由点，，，得： ， , ， ， , 根据空间点到直线的距离公式 . 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： （1）倾斜角为135°； （2）与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； （3）与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 【答案】（1）m＝－或1 （2）m＝或－3 （3）m＝或－1 【解析】 【分析】（1）倾斜角是，斜率为，由两点坐标计算出斜率，等于－1可得值； （2）求出过两点(3,2)，(0，－7)的直线的斜率，由斜率互为负倒数可得； （3）求出过两点(2，－3)，(－4,9)的直线的斜率，由斜率相等可得． 【小问1详解】 由kAB＝＝－1，解得m＝－或1. 【小问2详解】 由kAB＝，且＝3，∴＝－，解得m＝或－3. 【小问3详解】 令＝＝－2，解得m＝或－1. 16. 已知向量.求： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过“数乘向量”分别计算、，再通过“向量减法”得到的坐标，最后利用“空间向量模长公式”（）计算模长； （2）先通过“空间向量点积公式”计算，再分别计算、的模长，最后代入“向量夹角公式”（），结合夹角范围确定最终角度. 【小问1详解】 ，， ， 故. 【小问2详解】 ， ， ， ， 因为向量夹角范围是，所以 . 17. 已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. （1）求的长； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间的基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. （2）由（1）中信息，利用数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在三棱锥中，点为的中点，， ，而，， ， 所以 . 【小问2详解】 由，得， 所以 . 18. 在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． （1）证明：平面平面． （2）求点D到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）设，的中点分别为M，N，连接，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，平面，所以． 又，且，是平面内的两条相交线， ，是平面内的两条相交线，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行判定定理的推论由，证明面面平行即可; （2）将点D到平面的距离看作三棱锥的高，利用等体积法求解即可; （3）设平面与平面夹角为，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，可得，又， 所以平面，则， 在中，， 所以， 设点D到平面的距离为h，则． 易知平面，所以是三棱锥的高， 所以， 由，得，所以， 所以点D到平面的距离为． 【小问3详解】 如图，以M为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 可得，可取，， 所以．设平面的法向量为， 则，即，可得，可取，， 所以． 设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 19. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. （1）求证：； （2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由. 【答案】（1） 证明：连接交于点， 因，则 由平面侧面，且平面侧面， 得平面，又平面，所以. 三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以. 又，从而侧面， 又侧面，故. （2）存在，点E为线段中点 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线结合面面垂直的性质证明侧面，从而证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标,再求相关的向量坐标，求平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，则直线与平面所成的角, 所以，又，所以 假设在线段上存在一点E，使得二面角的大小为, 由是直三棱柱，所以以点A为原点，以AC､所在直线分别为y，z轴,以过A点和AC垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 且设， ， 得 所以， 设平面的一个法向量，由，得： ，取, 由（1）知平面，所以平面的一个法向量, 所以，解得, ∴点E为线段中点时，二面角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期第一次学情检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 已知空间向量，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 设直线l的斜率为k，且，求直线l的倾斜角的取值范围 A. B. C. D. 6. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则（ ） A. 恒过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 的倾斜角可能为0 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若，则四点共面 D. 若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 11. 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为； C. 与平面所成角的正弦值为 D. 到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 13. 已知点，点，则点到直线的距离为________. 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： （1）倾斜角为135°； （2）与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； （3）与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 16. 已知向量.求： （1） （2） 17. 已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足. （1）求的长； （2）求的值. 18. 在如图（1）所示的平面图形中，四边形是直角梯形，，，，，和是两个正三角形．分别沿，将两个正三角形折起，使得平面和平面都与平面垂直，连接，，，得到如图（2）所示的几何体． （1）证明：平面平面． （2）求点D到平面的距离． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. （1）求证：； （2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $