精品解析：山东省泰山中学2026-2027学年高二上学期10月月度质量检测数学试题

山东省泰山中学2025级高二上学期月度质量检测数学试题 一、选择题 1. 已知向量，，若，，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用两个向量平行和垂直的公式求解. 【详解】，，， ，，，， . 故选：A. 2. 空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合空间直角坐标系中点的对称性即可求得. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得: 关于平面的对称点的竖坐标和纵坐标不变，横坐标相反， 即所求的坐标为. 故选：B 3. 两平行直线之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把化成，然后利用两平行线距离公式求解即可. 【详解】由题意即为直线， 所以两平行直线之间的距离为． 故选：C 4. 平面直角坐标系中点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线，即， 点到直线的距离为． 故选：B 5. 已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜率公式数形结合可得. 【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又，所以直线l的斜率满足． 故选：D. 6. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方向向量计算斜率，代入点斜式方程化简得到直线方程. 【详解】直线的方向向量为，则斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，整理得， 即直线的方程为. 7. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可. 【详解】当直线过原点时，其方程是，符合题意; 当直线不过原点时，设直线方程为，代入， 可得：，解得：，所以方程是. 故选：C. 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行则法向量共线计算可判断A；根据直线与平面垂直则直线的方向向量与平面法向量共线计算可判断B；根据直线的方向向量与平面法向量垂直则直线与平面平行或直线在平面内可判断C；根据法向量垂直则面面垂直可判断D. 【详解】对于A，由，得，则，解得，故A错误； 对于B，由，得，则，解得，故B错误； 对于C，由，得，则或，故C错误； 对于D，由，得，则，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 【答案】AC 【解析】 【分析】运用两直线平行性质可判断A项，运用两直线垂直的性质可判断B项，提取参数后计算可判断C项，由截距定义可求得a的值进而可判断D项. 【详解】对于A项，若，则，解得或， 经检验，均符合，故A项正确； 对于B项，若，则，解得或，故B项不成立； 对于C项，因为， 则由得，所以l恒过点，故C项正确； 对于D项，若直线n在x轴上的截距为6，即直线n过点， 则，得， 所以直线n的方程为，斜截式为，故D项不成立． 故选：AC. 10. 已知三条直线：直线不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可知，三条直线中有两条相互平行或三条线过同一点的情况下满足题意，分类讨论即可求得实数的值. 【详解】若中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形， 若，由两直线平行与斜率之间的关系可得； 若，由两直线平行与斜率之间的关系可得； 联立可得，可知的交点为， 若交于同一点，可得， 故选：ABC. 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 在正方体中，棱长为4， 动点在正方体表面上（不包括边界）， 连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接， 建立空间直角坐标系如下图所示， ， ∴， ∴∥， ∵面，面， ∴∥面， ∴当点在处时，面， ∴存在点，使得∥面，故A正确； B项，在面中，， 设面的法向量为， 即，解得， 当时，， 若面，则，， ∵动点在正方体表面上， ∴，此时，与重合， ∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误； C项，因为，与的夹角为， 所以与所成的角为， 则 由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即）， 在中，，，， ∴， ∴点的轨迹长度为：，C正确； D项，为面的中心，作点关于平面的对称点， 连接，当最小时，， ∴，， ∴，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出两直线交点坐标，再根据所求直线与直线垂直，确定所求直线斜率，再利用点斜式即可得到答案. 【详解】根据题意可得，解得，则两直线交点坐标为， 又所求直线与直线垂直，则所求直线的斜率为， 则所求直线方程为，整理得， 故答案为：. 13. 已知直线，直线，若直线与的交点在第一象限，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可. 【详解】由题意得两直线不平行，即，得， 由得， 由于直线与的交点在第一象限， 所以，解得，则实数的取值范围为， 故答案为：. 14. 在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的性质可得向量与向量夹角为，先求出的值，进而可得答案. 【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为， 所以 向量 在向量 方向上的投影向量是 向量 在向量 方向上的投影向量的模是， 故答案为： 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，则，代入，求解即可； （2）设直线的方程为：，在直线取点，利用点到直线的距离等于点到直线的距离，求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知点在直线上， 所以设， 所以中点， 又因为点在直线上， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 设直线的方程为：， 又因为， 所以直线的方程为：， 又因为的角平分线所在的直线方程为， 在直线取点， 则点到直线的距离等于点到直线的距离， 即有，整理得， 解得：或， 当时，所求方程即为直线的方程， 所以， 所以直线的方程为： . 16. 如图1，在平面五边形中，，，，是正三角形，为中点，将沿翻折到，形成四棱锥，如图2所示． （1）求证：； （2）当时，求直线与平面所成角的正切值； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最小值． 【答案】（1） 设为的中点，连接、、， 因为，且，故四边形为平行四边形，则， 所以， 因为，则，故为等腰直角三角形， 由为正三角形及为等腰直角三角形得：，， 因此翻折之后，因为，且、平面，所以平面， 又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设为的中点，连接、、，推导出，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立； （2）证明出平面，然后直角三角形内过作于，又线面垂直的性质得出，可得出平面，于是可知为直线与平面所成的角，分析的形状，即可得出的大小，即可得解； （3）以为原点，、所在直线为，轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法结合二次函数的基本性质可求得平面与平面夹角的余弦值的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，由（1）得， 因为，且、平面，所以平面， 又平面，即， 因为，，、平面，所以平面， 在直角三角形内过作于， 因为平面，则， 因为，、平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 因为，，则，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 又，所以为等腰直角三角形， 所以，， 所以直线与平面所成角的正切值为. 【小问3详解】 由（1）知在翻折过程中，因为， 则点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 因为平面，以为原点，、所在直线为，轴， 过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系如图， 则、、、， 设，， 则，， ，． 设平面的法向量为，则由， 取，则，，则． 设平面的法向量为，则由， 取，则，，则， ， ， 设为平面与平面的夹角， 则．， 令，则，则， 则， 当，即，时，取最小值，且最小值为， 所以平面与平面夹角的余弦值的最小值为． 17. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，根据的中点在直线上，求出点的坐标，再求得关于直线对称的点，进而可求直线的方程； （2）根据题意确定点到直线的距离相等，从而得直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离，列式求解即可． 【小问1详解】 如图，由点在直线上，设，则的中点在直线上， 所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 显然在上，则直线的斜率为， 则直线的方程为，整理得． 【小问2详解】 点到直线的距离为． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则有，解得或4， 所以直线的方程为或． 18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，且侧面底面，是的中点，． （1）已知是的中点，求证：平面平面 （2）求证：平面； （3）当时，在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为是的中点，是的中点，所以为的中位线，即， 又平面，平面，所以平面， 又，是的中点，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面平面； （2） 由（1）得，四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形， 所以， 又，是的中点，平面，所以， 又侧面底面，侧面与底面相交于， 所以底面， 又平面，所以， 又平面，平面，且、相交于点， 所以平面； （3）存在，，理由如下： 当时，可得，，是的中点，则，， 在直角三角形中，根据勾股定理，可得， 为等腰直角三角形，其面积， 所以， 设三棱锥的高为，三棱锥的高为， 则，又， 所以， 又点在棱上，所以. 所以，在棱上存在点，使得三棱锥的体积为，此时，的值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，，再结合面面平行的判定定理，即可证明； （2）根据题意，可得，，再结合线面垂直的判定定理，即可证明； （3）设三棱锥的高为，三棱锥的高为，则，又，，所以可得，故在棱上存在点，使得三棱锥的体积为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出直线的方向向量，平面的法向量，再利用线面角的向量法求解即得. （2）根据给定条件，求出平面的法向量及所过的一个点，再利用空间向量求出点到平面的距离. 【小问1详解】 依题意，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 依题意，平面的法向量为，且平面过点，由，得， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省泰山中学2025级高二上学期月度质量检测数学试题 一、选择题 1. 已知向量，，若，，则（ ） A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 2. 空间直角坐标系中，已知，则点关于平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 两平行直线之间的距离为（ ） A. B. 3 C. D. 4. 平面直角坐标系中点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知直线l经过点，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线l过点，且l的一个方向向量为，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多项选择题 9. 已知直线l：与n：，下列选项正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 直线l恒过点 D. 若直线n在x轴上的截距为6，则直线n的斜截式为 10. 已知三条直线：直线不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 11. 已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得∥面 B. 存在点，使得面 C. 若与的夹角为，则点的轨迹长度为 D. 若为面的中心，则的最小值为 三、填空题 12. 过两直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为______． 13. 已知直线，直线，若直线与的交点在第一象限，则实数的取值范围为___________． 14. 在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，的角平分线所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 16. 如图1，在平面五边形中，，，，是正三角形，为中点，将沿翻折到，形成四棱锥，如图2所示． （1）求证：； （2）当时，求直线与平面所成角的正切值； （3）求平面与平面夹角的余弦值的最小值． 17. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 18. 如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，且侧面底面，是的中点，． （1）已知是的中点，求证：平面平面 （2）求证：平面； （3）当时，在棱上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $